【同步学案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--课时5.4 三角函数的图像与性质 学案（Word版含答案）

课时5.4.3  正切函数的性质与图象

01考点梳理

一、正切函数的性质与图象

1.正切函数的性质

2.正切函数的图象

(1)正切函数的图象如右图所示.

(2)正切函数的图象叫做           .

(3)正切函数的图象的特征:

正切曲线是被与y轴平行的一系列直线             所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.

答案：π  奇函数  (-+kπ,+kπ)(k∈Z)  单调递增  R  正切曲线  x=+kπ,k∈Z

02考点解读

题型一  正切函数的图象的应用 

1．函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由，

则

所以，即函数是偶函数

故排除A，C，

当时，，排除D.

故选：B

题型二  正切函数单调性的应用 

2．直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为，若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为，

所以，所以，即

由可得

当时可得在上单调递增

因为函数在区间上是增函数，所以实数的取值范围是

故选：B

题型三  周期性与对称性 

3．下列函数中，既是奇函数又以为最小正周期的函数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：A选项：是周期为的偶函数，故A不正确；

B选项：是周期为的奇函数，故B正确；

C选项：，周期为且非奇非偶函数，故C不正确；

D选项：是周期为的奇函数，故D不正确.

故选：B.

题型四  正切函数的综合应用 

4．函数在区间内的大致图象是下列图中的（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

在上单调增，在上单调减.

03题组训练

1．函数在一个周期内的图象是(　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】方法一：

由题意得函数的周期为，故可排除B，C，D．选A．

方法二：

令，则有，故，当k＝0时，得，可知函数图象与x轴一交点的横坐标为，故可排除C、D．

令，得，即函数图象的一条渐近线为，故排除B．选A．

2．已知函数，则下列说法错误的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数的值域为

C．点是函数的图像的一个对称中心

D．

【答案】D

【解析】因为，

所以函数的最小正周期，故A正确.

由正切函数的图像和性质可知函数的值域为，故B正确.

由，，

得，，

当时，，

所以点是函数的图像的一个对称中心，故C正确.

因为，

，

所以，故D不正确.

故选：D.

3．不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

当时，

，

且单调递增，

所以，

因为的周期为，

所以不等式的解集为.

故选：A.

4．已知函数（）的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是

A．0 B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意,可知,所以,即,

所以,

故选:A

5．函数（且）的值域为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】试题分析：且，且，

由于正切函数的图象及单调性，得：

或，

即

故选B．

6．已知函数，的部分图像如下图，则=____________.

【答案】

【解析】由题意，∴，

又，，而，∴，

，，

∴，

∴．

故答案为．

7．关于函数，有以下命题：

①函数的定义域是

②函数是奇函数；

③函数的图象关于点对称；

④函数的一个单调递增区间为.

其中，正确的命题序号是______________.

【答案】①③

【解析】

对于①，由 有 ，所以①是正确的；对于②，由于函数 的定义域不是关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，②错误；对于③，由于 ，所以函数的图象关于点 对称；对于④，令 ，解得 ，故单调递增区间为 ，所以④是错误的．本题正确答案为①，③．

8．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】因为函数在区间上单调递增，

所以，∴，∴，

∴，解得

故答案为

9．已知函数．

（1）求函数的定义域；

（2）用定义判断函数的奇偶性；

（3）在上作出函数的图象．

【答案】（1）；（2）奇函数,见解析；(3)见解析

【解析】（1）由,得（）,

所以函数的定义域是.

（2）由（1）知函数的定义域关于原点对称,

因为,所以是奇函数.

（3）,

所以在上的图象如图所示,

10．已知，，其中.

（1）当时，求函数的最大值；

（2）求的取值范围，使在区间上是单调函数．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）当时， ， ， 

根据二次函数的性质可得：当时， 的最大值为；

（2）函数 图象的对称轴为，

∵在 上是单调函数， 

∴或 ， 

即或 . 

因此，角的取值范围是 .