初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数优秀习题

这是一份初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数优秀习题，文件包含专题225实际问题与二次函数十大题型举一反三人教版解析版docx、专题225实际问题与二次函数十大题型举一反三人教版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共81页， 欢迎下载使用。


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\l "_Tc32716" 【题型1 利用二次函数求最大利润】 PAGEREF _Tc32716 \h 1
\l "_Tc3106" 【题型2 利用二次函数求最优方案】 PAGEREF _Tc3106 \h 2
\l "_Tc23931" 【题型3 利用二次函数求最大面积】 PAGEREF _Tc23931 \h 4
\l "_Tc6865" 【题型4 利用二次函数求最小周长】 PAGEREF _Tc6865 \h 5
\l "_Tc20830" 【题型5 利用二次函数解决拱桥问题】 PAGEREF _Tc20830 \h 6
\l "_Tc6655" 【题型6 利用二次函数解决隧道问题】 PAGEREF _Tc6655 \h 8
\l "_Tc4978" 【题型7 利用二次函数解决图形运动问题】 PAGEREF _Tc4978 \h 10
\l "_Tc9347" 【题型8 利用二次函数解决运动员空中跳跃轨迹问题】 PAGEREF _Tc9347 \h 12
\l "_Tc21184" 【题型9 利用二次函数解决球类运行的轨迹问题】 PAGEREF _Tc21184 \h 15
\l "_Tc22187" 【题型10 利用二次函数解决喷头喷出的球的轨迹问题】 PAGEREF _Tc22187 \h 17
【题型1 利用二次函数求最大利润】
【例1】（2023春·广东茂名·九年级校考开学考试）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．
(1)当x>4时，若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？
(2)当0【变式1-1】（2023春·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）2022年卡塔尔世界杯足球赛开战，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？
(3)当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【变式1-2】（2023春·广东汕头·九年级校考期中）某批发商以24元/箱的进价购进某种蔬菜，销往零售超市，已知这种蔬菜的标价为45元/箱，实际售价不低于标价的八折．批发商通过分析销售情况，发现这种蔬菜的销售量y（箱）与当天的售价x（元/箱）满足一次函数关系，下表是其中的两组对应值．
(1)若某天这种蔬菜的售价为42元/箱，则当天这种蔬菜的销售最为________箱；
(2)该批发商销售这种蔬菜能否在某天获利1320元？若能，请求出当天的销售价；若不能，请说明理由．
(3)批发商搞优惠活动，购买一箱这种蔬菜，赠送成本为6元的土豆，这种蔬菜的售价定为多少时，可获得日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？
【变式1-3】（2023春·江苏南京·九年级统考期末）一企业生产并销售某种产品（假设销量与产量相等），已知该产品每千克生产成本为40元，售价y（元）与产量xkg之间的函数关系为y=−x2+120．
(1)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
(2)若企业每销售该产品1kg需支出其他费用a元a>0，当70≤x≤80时该企业获得的最大利润为2450元，求a的值．
【题型2 利用二次函数求最优方案】
【例2】（2023春·湖南郴州·九年级统考期末）2022年秋天，某地发生旱情，为抗旱保丰收，当地政府制定农户投资购买抗旱设备的补贴方法：购买A型设备，政府补贴金额（y1：万元）与投资的金额（x：万元）的函数对应关系为：y1=kx(k≠0)，当x=5时y1=4；购买B型设备，政府补贴金额（y2：万元）与投资的金额（x：万元）的函数对应关系为y2=ax2+bx(a≠0)，当x=2时，y2=2.6，x=4时y2=3.2．
(1)分别求出y1,y2的函数表达式；
(2)有一农户投资10万元同时购买A型和B型两种设备，获得的政府补贴为y万元．请你设计一个能获得最大补贴的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴．
【变式2-1】（2023春·辽宁大连·九年级统考期末）某班计划购买A，B两种花苗，根据市场调查整理出表：
(1)求A，B两种花苗的单价；
(2)经过班级学生商讨，决定购买A，B两种花苗12盆（A，B两种花苗都必须有），同时得到了优惠方式：购买几盆A种花，A种花苗每盆就降价几元．请设计花费最少的购买方案．
【变式2-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级期末）2011年长江中下游地区发生了特大旱情．为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系．
(1)分别求y1和y2的函数解析式；
(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．
【变式2-3】（2023春·江苏淮安·九年级统考期末）某公司经销甲、乙两种产品，经调研发现如下规律：
①销售甲产品所获利润y （万元）与销售x （万件）的关系为y=0.6x ；
②销售乙产品所获利润y （万元）与销售x （万件）的关系为y=ax2+bx；当x＝1时y＝1.3；当x＝2时，y＝2.4.
（1）求销售乙产品所获利润y（万元）与销售x（万件）的函数关系式；
（2）该公司计划购进甲、乙两种产品共20万件，要想使销售总利润最大，应如何安排经销方案？总利润最大为多少？
【题型3 利用二次函数求最大面积】
【例3】（2023春·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考期中）如图，一块矩形区域ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为18米（篱笆的厚度忽略不计），求当矩形ABCD的面积最大时AB的长．

【变式3-1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，AG、AH为固定墙且∠GAH=135°，现利用固定墙和总长为40米的竹篱笆修建一个四边形ABCD的储料场，其中AD∥BC，∠C=90°．已知固定墙AG长为12米，BC边上的一扇门宽为2米．
(1)当CD长为18米时，求此时储料场的面积；
(2)怎样修建才能使储料场的面积最大．
【变式3-2】（2023春·湖北武汉·九年级校联考期中）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40 m，宽20 m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10 m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．
(1)设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是_____m2，花卉B的种植面积是______m2，花卉C的种植面积是_______m2．
(2)育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
(3)若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2 ，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．
【变式3-3】（2023春·陕西西安·九年级统考期中）问题探究：
（1）如图1，已知线段AB＝2，AC＝4，连接BC，则三角形ABC面积最大值是 ；
（2）如图2，矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝16，求矩形ABCD面积最大值；
问题解决：
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，且∠AOB＝120°．若AC＋BD＝10，则四边形ABCD的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【题型4 利用二次函数求最小周长】
【例4】（2023春·九年级课时练习）甲船从A处起以15nmile/h的速度向正北方向航行，这时乙船从A的正东方向20nmile的B处起以20nmile/h的速度向西航行，多长时间后，两船的距离最小？最小距离是多少？
【变式4-1】（2023春·河北石家庄·九年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，以直线x=1为对称轴的抛物线y=−x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标是3,0．
(1)点A的坐标为______；
(2)求抛物线的解析式；
(3)如图2，设抛物线的顶点为D，若将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过原点O，且与x轴的另一个交点为E，若在y轴上存在一点F，连接DE，DF，EF，使得△DEF的周长最小，求F点的坐标．
【变式4-2】（2023春·江西赣州·九年级校考期中）学以致用：问题1：怎样用长为12cm的铁丝围成一个面积最大的矩形？
小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为3cm的正方形时面积最大为9cm2．请用你所学的二次函数的知识解释原因．
思考验证：问题2：怎样用铁丝围一个面积为9m2且周长最小的矩形？
小明猜测：围成正方形时周长最小．
为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的材料：
结论：在a+b⩾2ab(a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b⩾2p，当且仅当a=b时，a+b有最小值2p．
a+b⩾2ab (a,b均为正实数）的证明过程：
对于任意正实数a、b，∵ (a−b)2⩾0,∴ a−2ab+b⩾0,
∴ a+b⩾2ab，当且仅当a=b时，等号成立．
解决问题：
（1）若x>0，则x+4x⩾ （当且仅当x= 时取“=” )；
（2）运用上述结论证明小明对问题2的猜测；
（3）当x>−1时，求y=x2+3x+1的最小值．
【变式4-3】（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）如图，二次函数y=x2﹣4x的图象与x轴、直线y=x的一个交点分别为点A、B，CD是线段OB上的一动线段，且CD=2，过点C、D的两直线都平行于y轴，与抛物线相交于点F、E，连接EF．
（1）点A的坐标为 ，线段OB的长= ；
（2）设点C的横坐标为m．
①当四边形CDEF是平行四边形时，求m的值；
②连接AC、AD，求m为何值时，△ACD的周长最小，并求出这个最小值．
【题型5 利用二次函数解决拱桥问题】
【例5】（2023春·吉林长春·九年级统考期末）某抛物线形拱桥的截面图如图所示．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面的宽AB为8米．AB上的点E到点A的距离AE=1米，点E到拱桥顶面的垂直距离EF=74米．他们以点A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式．
(2)求拱桥顶面离水面AB的最大高度．
(3)现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面正中间通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米．请通过计算说明该游船是否能安全通过．
【变式5-1】（2023春·河南商丘·九年级统考期中）如图，是一个抛物线形拱桥的截面图，在正常水位时，水位线AB与拱桥最高点的距离为9m，水面宽AB=30m．
(1)请你建立合适的平面直角坐标系xOy，并根据建立的平面直角坐标系求出该抛物线的解析式．
(2)已知一艘船（可近似看成长方体）在此航行时露出水面的高度为4m，若这艘船的宽度为18m，当水位线比正常水位线高出1m时，这艘船能否从该抛物线形拱桥下方顺利通过，请说明理由．
【变式5-2】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）如图1，是一座抛物线型拱桥侧面示意图，水面宽AB与桥长CD均为12m，在距离D点3m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．如图2，桥面上方有3根高度均为5m的支柱CG、OH、DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为2m，下面结论正确的是 (填写正确结论序号)．
①图1抛物线型拱桥的函数表达式y=−16x2．
②图2右边钢缆抛物线的函数表达式y=13(x−3)2+2．
③图2左边钢缆抛物线的函数表达式y=13(x+3)2+2．
④图2在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，彩带长度的最小值是3m．
【变式5-3】（2023春·安徽阜阳·九年级统考期末）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系（以AB中点为原点，抛物线对称轴所在直线为y轴）中，拱桥高度OC=5m，跨度AB=20m．
(1)求抛物线的解析式．
(2)拱桥下，有一加固桥身的“脚手架”矩形EFGH（H，G分别在抛物线的左右侧上），已知搭建“脚手架”EFGH的三边所用钢材长度为18.4m（EF在地面上，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离．
(3)已知公园要进行改造，在原位置上将拱桥ACB改造为圆弧AC′B，跨度AB不变，且（2）中“脚手架”矩形EFGH仍然适用（E，F打桩位置不变，H，G依然在拱桥上），求改造后拱桥的高度OC′（结果精确到0.1m，参考数据：170.56≈13.06）．
【题型6 利用二次函数解决隧道问题】
【例6】（2023·北京海淀·九年级期末）如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和BC与路面AB垂直，隧道内侧宽AB=8米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离AE，点E到隧道顶面的距离EF．设AE=x米，EF=y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：
(1)根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式y=ax−ℎ2+ka<0；
(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图像．
(3)若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？
【变式6-1】（2023春·山东青岛·九年级校联考期末）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知OA=12米，OB=4米，抛物线顶点D到地面OA的垂直距离为10米，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）由于隧道较长，需要在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们到地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过8米，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
（3）一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4m，最高处与地面距离为6m，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为0.5m，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于0.5m，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？
【变式6-2】（2023春·安徽宣城·九年级统考期末）现要修建一条公路隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求OE=12m，隧道上距点O水平方向2米及竖直方向6米的A点有一照明灯．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这个隧道中间位置设置双向通行车道，加中间隔离带合计宽度9米，隧道入口对车辆要求限高，请通过计算说明高度不超过4.5米的车辆能否安全通过该隧道？
【变式6-3】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．
（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？
（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．
【题型7 利用二次函数解决图形运动问题】
【例7】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，AD=8,BD=45．点P是线段AD上一个动点，将线段AP绕点P顺时针旋转90°到线段A′P，连接A′C、PC．设AP=m，△A′PC和矩形ABCD的重叠部分面积为S．
(1)求线段AB的长度；
(2)求S与m之间的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围．
【变式7-1】（2023春·广西贺州·九年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P，Q同时从点A处出发，以2cm/s小的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动．设运动时间为x（单位：s），以P、B、D、Q为顶点的图形面积的为y（单位：cm2），则下列图像中可表示y与x（0≤x≤4且x≠2）之间的函数关系的是（ ）
B．
C．D．
【变式7-2】（2023春·河南许昌·九年级校考期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，P点沿边AC向C以每秒3个单位长度的速度运动，Q点沿边BC向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P，Q到达终点C，B时，运动停止，设运动时间为t（s）．
(1)当运动停止时，t的值为____________；
(2)设△PCQ的面积为S．
①求S的表达式（用含t的式子表示，并注明t的取值范围）；
②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？
【变式7-3】（2023春·河南南阳·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点M是BC边上的动点，点M从点B出发，运动到点C停止，N是CD边上一动点，在运动过程中，始终保持AM⊥MN，设BM=x，CN=y．
(1)直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围______；
(2)先完善表格，然后在平面直角坐标系中利用描点法画出此抛物线．直接写出m=______，
(3)结合图象，指出M、N在运动过程中，当CN达到最大值时，BM的值是______；并写出在整个运动过程中，点N运动的总路程______．
【题型8 利用二次函数解决运动员空中跳跃轨迹问题】
【例8】（2023春·安徽六安·九年级校考期末）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高，2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y=ax2+bx+ca≠0．
(1)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a=−150，b=910，求基准点K的高度h；
②若a=−150时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为_______；
(2)若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好起跳点达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
【变式8-1】（2023春·北京东城·九年级北京二中校联考期末）第二十四届冬季奥林匹克运动会已于2022年在北京成功举办，跳台滑雪是北京冬奥会的比赛项目之一，近些年来冰雪运动也得到了蓬勃发展．如图是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台AB长1米（即AB=1），平台AB距地面18米．以地面所在直线为x轴，过点B垂直于地面的直线为y轴，取1米为单位长度，建立平面直角坐标系，已知滑道对应的函数为y=0.4x2−4x+cx≥1．运动员（看成点）在BA 方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落过程中的某位置（忽略空气阻力）．设运动员飞出时间为t秒，运动员与点A的竖直距离为h米，运动员与点A的水平距离为l米，经实验表明：ℎ=6t2，l=vt．
(1)求滑道对应的函数表达式；
(2)当v=5，t=1时，通过计算判断运动员此时是否已落在滑道上；
(3)在试跳中，运动员从A处飞出，运动员甲飞出的路径近似看做函数y=−16x2+13x+1076图像的一部分，着陆时水平距离为d1，运动员乙飞出的路径近似看做函数图像y=−15x2+25x+895的一部分，着陆时水平距离为d2，则d1______d2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【变式8-2】（2023春·河南新乡·九年级统考期末）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0)．
某运动员进行了两次训练．
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0)；
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=−0.04(x−9)2+23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1______d2（填“>”“=”或“<”）．
【变式8-3】（2023春·吉林长春·九年级统考期末）北方的冬天，人们酷爱冰雪运动，在这项运动里面，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，图中的抛物线C1:y=−1480x2+40近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方50米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2:y=−1120x2+bx+c运动．当运动员运动到离A处的水平距离为60米时，离水平线的高度为60米．
(1)求小山坡最高点到水平线的距离．
(2)求抛物线C2所对应的函数表达式．
(3)当运动员滑出点A后，直接写出运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡C1的竖直距离为10米．
【题型9 利用二次函数解决球类运行的轨迹问题】
【例9】（2023春·浙江金华·八年级统考期末）篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为直线x=2.5．
（1）求篮球运动路线的抛物线表达式和篮球在运动中离地面的最大高度．
（2）若篮筐离地面3.05m，离运动员投篮处水平距离为4.2m，问：篮球以该运动方式，能否投进篮筐?若能投进篮筐，请说明理由．若不能，则运动员应向前还是往后移动多少米后，再投篮，刚好能使篮球投进篮筐?
【变式9-1】（2023春·浙江·九年级期末）如图，在一次足球比赛中，守门员在地面O处将球踢出，一运动员在离守门员8米的A处发现球在自己头上的正上方4米处达到最高点M，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式及第一次落地点B和守门员（点O）的距离；
（2）运动员（点A）要抢到第二个落点C，他应再向前跑多少米？（假设点O、A、B、C在同一条直线上，结果保留根号）
【变式9-2】（2023春·山东淄博·九年级统考期末）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.
（1）当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)
（2）当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
【变式9-3】（2023春·浙江绍兴·九年级统考期末）在卡塔尔世界杯期间，图1是某足球运动员在比赛期间的进球瞬间，足球在抽射过程中恰好碰到防守队员的身体，改变足球线路，弹射入网．小冲在训练过程中也尝试这样的射门，如图2是小冲在训练时的示意图，足球在空中的运动轨迹可以抽象成一条抛物线，假设足球在碰到障碍平台后的运动轨迹，与末碰到障碍平台前的轨迹的形状完全相同，且达到最高点时离地高度也相同，并且两条轨迹在同一平面内，射门时的起脚点O与障碍平台A之间的距离OA为9m，障碍平台高为1.08m，若小冲此次训练时足球正好在前方5m的点C处达到最高点，离地面最高距离为3m，以地面OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求过O，C，B三点的抛物线表达式；
(2)此时障碍平台与球门之间的距离AD为6m，已知球门高为2.44m，请你通过计算，（不考虑其他因素）足球在经过障碍平台的反弹后能否顺利射入球门．
【题型10 利用二次函数解决喷头喷出的球的轨迹问题】
【例10】（2023春·浙江台州·九年级统考期末）如图1，为美化校园，学校要建造一个圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈可移动的喷水头向中央喷水，使水流沿形状相同的抛物线落下．以喷水池中心为原点，水平方向为x轴、中心线为y轴建立平面直角坐标系，则水柱高度y（单位：m）与水柱距离喷水池中心的水平距离x（单位：m）之间的关系如图2所示．当水流与中心线的水平距离为2m时，达到最大高度3.61m，此时水柱刚好经过中心线上的点A，已知点A距水面高2.61m．
(1)求如图2所示抛物线的解析式．
(2)为形成错落有致的喷水景观，现让喷水头向中心线沿直线滑动，在保持水流形状不变的情况下，要求喷水柱最高点不能超过中心线，若喷水头的位置用p,0表示．（仅考虑y轴右侧的情况）．
①求p的取值范围；
②若水刚好喷到中心线上，且距水面高3.25m处，直接写出此时p的值______．
【变式10-1】（2023春·河北保定·九年级校考期末）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
【变式10-2】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）如图，一个圆形水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA，顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．建立如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式可以用y=−x2+bx+c表示，且抛物线经过点B12,52，C2,74；
（1）求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA的高度；
（2）喷出的水流距水面的最大高度是多少米？
（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
【变式10-3】（2023·北京西城·九年级北师大实验中学校考期末）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．灌溉车喷出水的上、下边缘可以分别看作是抛物线的一部分，而绿化带可以看作为矩形ABCD，其水平宽度AB=3m，竖直高度BC=0.5m．记喷出的水与喷水口的水平距离为xm，上边缘距地面的高度为y1 m，下边缘距地面的高度为y2 m．测量得到如下数据：
(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点x,y1，并画出上边缘函数的图像；
(2)结合表中数据或所画图象，直接写出喷出水的最大射程OM为______m，并求上边缘抛物线的函数解析式；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，结合函数图像，估计灌溉车到绿化带的距离OA的取值范围为______．售价x（元/箱）
…
35
38
…
销售量y（箱）
…
130
124
…
A种花苗盆数
B种花苗盆数
花费（元）
3
5
220
4
10
380
型 号
金 额
投资金额x（万元）
Ⅰ型设备
Ⅱ型设备
x
5
x
2
4
补贴金额y（万元）
y1=kx（k≠0）
2
y2=ax2+bx（a≠0）
2.4
3.2
x（米）
0
2
4
6
8
y（米）
4.0
5.5
6.0
5.5
4.0
x
...
2
3
4
5
6
7
8
...
y
2
218
3
m
3
218
2
...
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
x
0
0.5
1
1.5
2
3
4
5
6
y1
1.5
1.72
1.88
1.97
2
1.88
1.5
0.88
0
y2
1.5
1.22
0.88
0.47
0