2022-2023学年山东省德州市天衢新区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省德州市天衢新区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列根式中是最简二次根式的是( )
A. 12B. 30C. 12D. 9
2. 已知如图：为估计池塘的宽度BC，在池塘的一侧取一点A，再分别取AB、AC的中点D、E，测得DE的长度为20米，则池塘的宽BC的长为( )
A. 30米
B. 60米
C. 40米
D. 25米
3. 要使代数式 x−3有意义，则x的取值范围是( )
A. x=3B. x≠3C. x>3D. x≥3
4. 下列运算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2× 3= 6C. 3 2− 2=3D. 12÷ 3=2
5. 以下选项不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A. ∠A：∠B：∠C=2：3：5B. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
C. AB：BC：AC=3：4：5D. AB=13，BC=5，AC=12
6. 下列说法正确的是( )
A. 邻边相等的矩形是正方形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 矩形的对角线互相垂直且互相平分
D. 顺次连接一四边形各边中点所得到的四边形是菱形，则原四边形一定就是矩形
7. 如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段DN的长为( )
A. 53B. 52C. 4D. 5
8. 如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE=3，则四边形ABFE的周长为( )
A. 24B. 26C. 28D. 20
9. 如图，圆柱形玻璃容器高18cm，底面圆的周长为48cm，在外侧底部点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧顶端的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度( )
A. 52cm
B. 30cm
C. 6 73cm
D. 60cm
10. 如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转120°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积( )
A. 不变
B. 先增大再减小
C. 先减小再增大
D. 不断增大
11. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为( )
A. 5
B. 245
C. 4
D. 3
12. 正方形ABCD，CEFG按如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点P在BC边上，PA=PF，且∠APF=90°，连接AF交CD于点M，有下列结论：
①EC=BP；
②∠BAP=∠GFP；
③AB2+CE2=12AF2；
④S正方形ABCD+S正方形CEFG=2S△APF．
其中正确的是( )
A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 4×49=______．
14. 在下面横线上填上+、−、×、÷这四种运算符号中的一个，使式子的计算结果最大：(− 22) ______(− 22).
15. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，H为AB边上的一点，∠BHD=90°，连接OH，若OA=5，OH=2，则菱形ABCD的面积为______ ．
16. 如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为______．
17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，分别以AC，BC为底边向外作等腰直角三角形，等腰直角三角形的面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值为______ ．
18. 课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出 2， 3，…线段(如图所示).”即：OA=1，过A作AA1⊥OA且AA1=1，根据勾股定理，得OA1= 2；再过A1作A1A2⊥OA1且A1A2=1，得OA2= 3；…以此类推，得OA2022= ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：
(1)(2 48−3 27)÷ 6；
(2)( 5+2)( 5−2)+( 2+2 3)2．
20. (本小题10.0分)
如图，在▱ABCD中，E，F为对角线AC上的两点，且AE=CF，连接DE，BF，BE，DF，求证：四边形EBFD是平行四边形．
21. (本小题10.0分)
如图，梯子AB斜靠在竖直的墙AO上，AO为2.4m，OB为0.7m．
(1)求梯子AB的长；
(2)梯子的顶端A沿墙下滑0.4m到点C，梯子底端B外移到点D，求BD的长．
22. (本小题12.0分)
先阅读，后解答：
1 2=1× 2 2× 2= 22， 3 3− 2= 3( 3+ 2)( 3− 2)( 3+ 2)=3+ 6( 3)2−( 2)2=3+ 6，像上述解题过程中， 2与 2、 3− 2与 3+ 2相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
(1)将下列式子进行分母有理化：
①1 3= ______ ；②1 2+1= ______ ；
(2)计算：1 2+1+1 3+ 2+1 4+ 3+…+1 2023+ 2022．
23. (本小题12.0分)
下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务．
任务：
(1)“拓展思考”中，线段OB的长为______ ，OB′的长为______ ；点B表示的数为______ ，点B′表示的数为______ ；
(2)请从A，B两题中任选一题作答，我选择______ 题.
A.请在图3所示的数轴上，画图确定表示± 10的点M，N；
B.请在图3所示的数轴上，画图确定表示2− 10的点M．
24. (本小题12.0分)
如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可采用下面的方法：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM和线段BN．
(1)求∠3的度数；
(2)在第(1)题图中，延长BN交AD于G，过G点作GH⊥BC于点H，得出一个以DG为宽的黄金矩形GHCD(黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为 5−12)，若已知AB=4，求BC的长．
25. (本小题14.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm.点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，同时，点Q从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P的运动时间为t s．
(1)CD边的长度为______cm，t的取值范围为______．
(2)从运动开始，当t取何值时，PQ/​/CD？
(3)从运动开始，当t取何值时，PQ=CD？
(4)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t的值，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解： 12可化简为2 3，选项A不符合题意；
30不能进一步化简，选项B符合题意；
12可化简为 22，选项C不符合题意；
9可化简为3，选项D不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式概念进行逐项判断．
本题考查了最简二次根式的概念，最简二次根式中不含能开方因数，且分母中不含根号，根号里不含分母，掌握最简二次根式的判断方法是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC中位线，
∴BC=2DE=2×20=40(米)，
故选：C．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：由题意得，x−3≥0，
解得，x≥3．
故选：D．
由题意得，x−3≥0，进行计算即可得．
本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件．
4.【答案】D
【解析】解：A、 2与 3不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、2× 3=2 3，故B不符合题意；
C、3 2− 2=2 2，故C不符合题意；
D、 12÷ 3=2，故D符合题意；
故选：D．
利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】B
【解析】解：A、设∠A=2x°，∠B=3x°，∠C=5x°，
2x+3x+5x=180，
解得：x=18，
则5x°=90°，
∴△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，
3x+4x+5x=180，
解得：x=15，
则5x°=75°，
∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵32+42=52，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵52+122=132，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理求解，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．
本题考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A、邻边相等的矩形是正方形，说法正确，符合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故本选项说法错误，不符合题意；
C、矩形的对角线互相平分，但不一定互相垂直，故本选项说法错误，不符合题意；
D、顺次连接一四边形各边中点所得到的四边形是菱形，则原四边形一定对角线相等，但不一定是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
根据正方形的判定、菱形的判定、矩形的性质、中点四边形判断即可．
本题考查的是正方形的判定、菱形的判定、矩形的性质、中点四边形，掌握相关的定理是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵D是BC的中点，BC=6，
∴BD=3，
设BN=x，
由折叠的性质可得DN=AN=9−x，
在Rt△BDN中，BN2+BD2=DN2，
即x2+32=(9−x)2，
解得x=4．
故线段DN的长为9−4=5．
故选：D．
设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9−x，利用勾股定理得到x2+32=(9−x)2，计算即可．
本题主要考查了勾股定理与折叠问题，根据勾股定理列出方程，即可求解．
8.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线的交点为O，
∴OA=OC，AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，
又∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，AE=CF，
∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴AB+BC=12×36=18，
∴四边形ABFE的周长为：
AB+AE+BF+EF=AB+BF+CF+2OE
=AB+BC+2×3
=18+6
=24
故选：A．
先利用ASA证明△AOE≌△COF，从而得OE=OF，AE=CF，再求得平行四边形周长的一半为多少，然后利用关系式AB+AE+BF+EF=AB+BF+CF+2OE，即可求得答案．
本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，难度不大，属于中档题．
9.【答案】B
【解析】解：如图所示，AB= 182+242=30(cm)，
答：蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为30cm．
故选：B．
把圆柱的侧面展开，根据勾股定理求出AB的长即可．
本题考查平面展开−最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．
10.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD和四边形OEFG是正方形，
∴OB=OC，∠BOC=∠MON=90°，∠OBC=∠OCD=45°，
∴∠BOM=∠CON，
在△BOM和△CON中，
∠OBM=∠OCNOB=OC∠BOM=∠CON，
∴△BOM≌△CON(ASA)，
∴S△BOM=S△CON，
∴两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积为S△BOC=14S正方形ABCD，
故选：A．
根据正方形的性质可得OB=OC，∠BOC=∠MON=90°，∠OBC=∠OCD=45°，则有∠BOM=∠CON，再利用ASA证明△BOM≌△CON，从而解决问题．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明△BOM≌△CON是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵AB=6，AC=8，BC=10，
∴AB2+AC2=62+82=100=102=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠A=90°，
又∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AEPF是矩形，
连接AP，
∴EF=AP，
∵当AP⊥BC时，AP取得最小值，
∴此时AB⋅AC2=BC⋅AP2，
解得AP=245，
∴EF的最小值是245，
故选：B．
根据勾股定理的逆定理可以判断△ABC的形状，然后再根据PE⊥AB，PF⊥AC，即可得到四边形AEPF是矩形，根据矩形的性质可以得到EF=AP，要求EF的最小值，只要求得AP的最小值即可，然后根据垂线段最短，即可得到AP的最小值，从而可以得到EF的最小值．
本题考查勾股定理的逆定理、矩形的判定与性质、垂线段最短，解答本题的关键是求出EF和AP的关系，利用数形结合的思想解答．
12.【答案】D
【解析】解：①∵∠EPF+∠APB=90°，∠APB+∠BAP=90°，
∴∠EPF=∠BAP．
在△EPF和△BAP中，
∠EPF=∠BAP∠FEP=∠PBA=90°PF=AP，
∴△EPF≌△BAP(AAS)，
∴EF=BP，
∵四边形CEFG为正方形，
∴EC=EF=BP，即①成立
②无法证出AP=AM；
③∵FG//EC，
∴∠GFP=∠EPF，
又∵∠EPF=∠BAP，
∴∠BAP=∠GFP，即③成立；
④由①可知EC=BP，
在Rt△ABP中，AB2+BP2=AP2，
∵PA=PF，且∠APF=90°，
∴△APF为等腰直角三角形，
∴AF2=AP2+FP2=2AP2，
∴AB2+BP2=AB2+CE2=AP2=12AF2，即④成立；
⑤由④可知：AB2+CE2=AP2，
∴S正方形ABCD+S正方形CGFE=2S△APF，即⑤成立．
故成立的结论有①③④⑤．
故选：D．
①由同角的余角相等可得出∠EPF=∠BAP，结合∠FEP=∠PBA及PF=AP，可证出△EPF≌△BAP，进而可得出EF=BP，再结合正方形的性质即可得出①成立；②没有满足证明AP=AM的条件；③根据平行线的性质可得出∠GFP=∠EPF，再由∠EPF=∠BAP即可得出③成立；④在Rt△ABP中，利用勾股定理即可得出④成立；⑤结合④即可得出⑤成立．综上即可得出结论．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线的性质以及勾股定理，解题的关键是逐条分析五条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过证明三角形全等以及利用勾股定理等来验证题中各结论是否成立是关键．
13.【答案】14
【解析】解：原式= 4× 49
= 22× 72
=2×7
=14．
故答案为14．
先根据二次根式的乘法得到原式= 4× 49= 22× 72，然后根据二次根式的性质化简即可．
本题考查了二次根式的性质与化简： a2=|a|.也考查了二次根式的乘法．
14.【答案】÷
【解析】解：(− 22)+(− 22)=− 2；
(− 22)−(− 22)=0；
(− 22)×(− 22)=12；
(− 22)÷(− 22)=1，
∵− 2<0<12<1，
∴(− 22)÷(− 22)=1结果最大．
故答案为：÷．
原式分别填上+、−、×、÷这四种运算符号，计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15.【答案】20
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=5，OB=OD，AC⊥BD，
∴AC=2OA=10，
∵∠BHD=90°，
∴BD=2OH，
∵OH=2，
∴BD=4，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×10×4=20．
故答案为：20．
由菱形的性质得OA=OC=4，OB=OD，AC⊥BD，则AC=2OA=8，再由直角三角形斜边上的中线性质得BD=4，即可解决问题．
本题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
16.【答案】45°
【解析】解：如图，连接AC．

由题意，AC= 22+12= 5，BC= 22+12= 5，AB= 12+32= 10，
∴AC=BC，AB2=AC2+BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠CAB=45°，
故答案为：45°．
根据勾股定理得到AB，BC，AC的长度，再判断△ABC是等腰直角三角形，进而得出结论．
本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．
17.【答案】25
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
由勾股定理得：AC2+BC2=AB2．
∵S1=14AC2，S2=14BC2，
∴S1+S2=14(AC2+BC2)=14AB2=14×102=25．
故答案为：25．
根据等腰直角三角形的面积公式结合勾股定理，得出S1+S2等于斜边14AB2，即可得出结论．
本题考查了勾股定理以及等腰直角三角形的面积公式等知识，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的面积公式是解题的关键．
18.【答案】 2023
【解析】解：OA1= 2，OA2= 3，OA3= 4，……OAn= n+1，
∴OA2022= 2022+1= 2023，
故答案为： 2023．
利用勾股定理求出OA3= 4，观察OA1= 2、OA2= 3、OA3= 4，找出规律：OAn= n+1，进而求出OA2022．
本题为考查勾股定理和数字规律综合题，难度不大，熟练掌握勾股定理以及找到数字规律是解题关键．
19.【答案】解：(1)(2 48−3 27)÷ 6
=2 48÷ 6−3 27÷ 6
=2 8−3 92
=4 2−92 2
=−12 2；
(2)( 5+2)( 5−2)+( 2+2 3)2
=( 5)2−22+( 2)2+2× 2×2 3+(2 3)2
=5−4+2+4 6+12
=15+4 6．
【解析】(1)根据二次根式的除法法则进行计算即可；
(2)先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算和乘法公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
20.【答案】证明：如图，连接BD交AC于点O，

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OA−AE=OC−CF，
即OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
【解析】连接BD交AC于点O，由平行四边形的性质得OB=OD，OA=OC，再证OE=OF，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，灵活选择判定方法是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵AO为2.4m，OB为0.7m，
∴AB= 2．42+0．72=2.5(m)，
答：梯子AB的长为2.5m；
(2)在Rt△COD中，
CD2=CO2+OD2，
即DO= (2.5)2−22=1.5(m)，
故BD=OD−OB=1.5−0.7=0.8(m)，
答：BD的长为0.8m．
【解析】(1)直接利用勾股定理，即可求出AB的长度；
(2)直接利用勾股定理，即可求出OD的长度，进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
22.【答案】 33 2−1
【解析】解：(1)①1 3=1× 3 3× 3= 33；
②1 2+1
=1×( 2−1)( 2+1)( 2−1)
= 2−1( 2)2−12
= 2−1．
故答案为：① 33；
② 2−1；
(2)1 2+1+1 3+ 2+1 4+ 3+……+1 2023+ 2022
=( 2−1)+( 3− 2)+( 4− 3)+……+( 2023− 2022)
= 2023−1
=17 7−1．
(1)分子和分母都乘以各自分母的有理化因式，化去分母中的根号即可解答；
(3)先分母有理化，然后合并同类二次根式即可解答．
本题主要考查了分母有理化，掌握分母有理化的概念及准确找出二次根式的有理化因式是解答问题的关键．
23.【答案】1+ 2 2−1 1+ 2 − 2+1 A或B
【解析】解：(1)∵线段OB的长为1+ 2，OB′的长为 2−1；
∴点B表示的数为1+ 2，点B′表示的数为− 2+1；
故答案为：1+ 2， 2−1，1+ 2，− 2+1；
(2)A题：如图，M点表示的数为 10，N点表示的数为− 10；

B题：如图，M点表示的数为2− 10．

故答案为：A或B．
(1)利用勾股定理计算出正方形的对角线长为 2，从而得到OB、OB′的长，然后利用数轴表示数的方法得到点B和点B′表示的数；
(2)选择A题，构建直角三角形OAB，OA=2，AB=1，则利用勾股定理得到OB= 10，然后以点O为圆心，OB的长为半径作圆交数轴于M、N，则M点表示的数为 10，N点表示的数为− 10；
选择B题，构建直角三角形CDE，C点表示的数为2，使CD=3，DE=1，则利用勾股定理得到CD= 10，然后以点C为圆心，CD的长为半径作圆交数轴的负半轴于M，则M点表示的数为2− 10．
本题考查了作图−复杂作图：数轴上的点与实数一一对应．也考查了勾股定理．
24.【答案】解：(1)如图，连接AN，

由折叠可得：∠1=∠2，AB=NB，EF垂直平分AB，
∴NA=NB，
∴AB=NA=NB，
∴△ABN为等边三角形，
∴∠ABN=60°，
∴∠1=∠2=30°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠3=∠ABC−∠NBC=90°−60°=30°；
(2)如图：

∵ABCD是矩形纸片，GH⊥BC，
∴AB=GH=DC=4，
∵黄金矩形GHCD以DG为宽，GH=4，
∴DGGH= 5−12，
∴DG=2 5−2=CH，
∵∠1=∠2=∠3=30°，
∴BG=2GH=8，
由勾股定理得BH= 82−42= 64−16=4 3，
∴BC=BH+HC=4 3+2 5−2．
【解析】(1)连接AN，先证明△ABN为等边三角形，从而∠1=∠2=∠3=30°；
(2)先根据黄金矩形求出CH=2 5−2，再根据∠1=∠2=∠3得到∠3=30°，然后根据30度角的性质和勾股定理求出BH=4 3，然后作答即可．
本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，30度角的性质和勾股定理，能够根据折叠的性质证出∠1=∠2=∠3=30°是解题的关键．
25.【答案】10 0≤t≤9
【解析】解：(1)如图1，过点D作DE⊥BC于E，则∠DEB=∠DEC=90°，
∵AD/​/BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=90°，
∴∠A=∠B=∠DEB=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴DE=AB=8，BE=AD=12，
∵BC=18，
∴CE=18−12=6，
由勾股定理得：CD= 62+82=10(cm)
∵点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，AD=12cm，

∴点P运动到D的时间为：12s，
同理得：点Q运动到点B的时间为：182=9s，
∴0≤t≤9，
故答案为：10，0≤t≤9；
(2)如图2，∵AD/​/BC，

∴PD//CQ，
当PD=CQ时，四边形DPQC是平行四边形，
∴PQ=CD，
∴12−t=2t，
∴t=4，
即当t=4时，PQ/​/CD，此时PQ=CD；
(3)如图3，过点P作PF⊥BC于F，过点D作DE⊥BC于E，

当PQ=CD时，
∵PF=DE，
∴Rt△PQF≌Rt△DCE(HL)，
∴FQ=CE=6，
∵∠PFE=∠DEF=∠ADE=90°，
∴四边形DPFE矩形，
∴PD=EF=12−t，
∴CQ=QF+EF+CE，即6+6+12−t=2t，
∴t=8，
结合(2)，可得当t=8或4时，PQ=CD；
(4)∵不存在，理由：
∵得四边形PQCD是菱形，
∴CQ=CD，
∴2t=10，
∴t=5，
此时，DP=AD−AP=12−5=7(cm)，
而DP≠CD，
∴四边形PQCD不可能是菱形．
(1)作辅助线，构建矩形ABED，利用勾股定理可得CD的长，根据两动点P，Q运动路程和速度可得t的取值；
(2)根据PD=CQ列方程可得t=4时，PQ/​/CD，PQ=CD；
(3)根据CQ=2t=6+6+12−t，可得t=8，从而得结论；
(4)先利用CQ=CD求出时间t，再求出AP，进而得出DP，判断，即可得出结论．
本题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，构造出直角三角形是解本题的关键．
2023年3月22日天气：晴
无理数与线段长.今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实．
回顾梳理：要在数轴上找到表示± 2的点，关键是在数轴上构造线段
OA=OA′= 2.如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为
半径画弧与数轴上分别交于点A，A′，则点A对应的数为 2，点A′对应的数为− 2．
类似地，我们可以在数轴上找到表示± 5，± 10，…的点．
拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段OB与OB′，其中O仍在原点，点B，B′分别在原点的右侧、左侧，可由线段OB与OB′的长得到点B，B′所表示的无理数!按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点!