2022-2023学年山东省德州市武城县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省德州市武城县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若二次根式有意义，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列命题是真命题的是(    )

A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

4.  用三张正方形纸片，按如图所示方式构成图案，若要使所围成阴影部分的三角形是直角三角形，则选取的三个正方形纸片的面积不可以是(    )

A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，

5.  五根小木棒，其长度分别为，，，，，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，在平行四边形中，，，对角线、相交于点，过点作交于点，连结，则的周长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，已知，点、在边上，，点是边上一个动点，若周长的最小值是，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在矩形中，，点是边上一点，沿翻折，点恰好落在边上点处，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  把根号外的因式移入根号内，其结果是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图，已知正方形的边长为，，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接现有如下个结论：；；五边形的周长是，其中正确的个数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  若最简二次根式与能合并成一项，则 ______ ．

14.  请写出命题“四条边相等的四边形是菱形”的逆命题：______，逆命题是一个______填真命题或假命题．

15.  计算： ______ ．

16.  如图，在菱形中，，，垂足分别为点，若，则等于______度．

17.  如图，平行四边形的对角线互相垂直，要使成为正方形，还需添加的一个条件是______只需添加一个即可

18.  如图，在中，，、分别是、的中点，延长到点，使，连接、、、，与交于点若，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：；
计算：；
；
．

20.  本小题分
已知：，．
求．
求．

21.  本小题分
如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，且，．
求修建的公路的长；
若公路建成后，一辆货车由处途经处到达处的总路程是多少？

22.  本小题分
如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的点，．
求证：；
线段与有什么关系？请证明你的结论．

23.  本小题分
在平面内正方形与正方形如图放置，连，，两线交于求证：
．
．

24.  本小题分
如图，在中，是边上一个动点，过点作直线设交的平分线于点，交的外角的平分线于点，连接，．
求证：；
若，，求的长；
当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？请说明理由．

25.  本小题分
如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点，请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．

探究：小强看到图后，很快发现，这需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等，考虑到点是边的中点，因此可以选取的中点，连接图后尝试着完成了证明，请你写出小强的证明过程．
探究：小强继续探索，如图，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，发现仍然成立，请你证明这一结论．
探究：小强进一步还想试试，如图，若把条件“点是边的中点”改为“点是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：二次根式有意义，
，
解得：．
故选：．
根据二次根式有意义的条件，可得：，据此求出实数的取值范围即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：．与不能合并，所以选项不符合题意；
B.，所以选项不符合题意；
C.，所以选项不符合题意；
D.，所以选项符合题意．
故选：．
利用二次根式的加法运算对选项进行判断；利用二次根式的乘法法则对选项进行判断；利用二次根式的减法运算对选项进行判断；利用二次根式的除法法则对选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，A错误；
对角线相等的平行四边形是矩形，B错误；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C正确；
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，D错误；
故选：．
根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，
所围成的三角形是直角三角形，
斜边对应的正方形的面积两直角边对应的正方形的面积和，
又，，，，
选取的三个正方形纸片的面积不可以是，，，
故选：．
如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．依据三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积进行判断即可．
本题考查正方形的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，，故A不正确；
B、，，故B不正确；
C、，，故C不正确；
D、，，故D正确．
故选：．
根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足，那么这个三角形是直角三角形．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
，
，
的周长为：．
故选：．
由平行四边形的对角线相交于点，，根据线段垂直平分线的性质，可得，又，继而可得的周长等于．
此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
故选：．
根据菱形的性质得出，，，求出，根据求出，根据直角三角形斜边上的中线性质求出答案即可．
本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识点，注意：菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的面积等于对角线积的一半．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图：

作点关于的对称点，连接，交于点，
，此时周长最小，
周长为：，
，
，
根据对称性：，，
，
 在中，，，
根据勾股定理，得

即
．
故选：．
作点关于的对称点，连接交于点，此时的周长最小，再根据勾股定理即可求解．
本题考查了轴对称最短路线问题，解决本题的关键是准确画图找到动点．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，，，
，，，
沿翻折，
，，
在中，由勾股定理可得：
，
，
设，则
，
在中，，
即，
解得：，
的长为，
故选：．
根据折叠性质可得，再根据勾股定理可得，由矩形性质可得，设为，由折叠性质可得，再根据勾股定理求解即可．
本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是由折叠性质得出，再利用勾股定理求解．
 

10.【答案】 

【解析】解：由已知可得，，即，
所以，．
故选：．
由于被开方数为非负数，可确定的取值范围，然后再按二次根式的乘除法法则计算即可．
由已知得出的取值范围是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：是的中点，是的中点，
，
同理，，
，
，
，
故选：．
根据三角形中位线定理得到，，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
根据正方形的性质和折叠的性质可得，，于是根据“”判定≌，依据全等三角形的性质以及折叠的性质，即可得到；再由，，由此可得五边形的周长．
本题主要考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，解决本题的关键是综合运用以上知识．
【解答】
解：由折叠可知：
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，故正确；
≌，
，
由折叠可得，，
，故正确；
正方形边长是，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
，，，
五边形的周长是：，故正确．
故选：．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次根式，解题的关键是正确运用同类二次根式的概念，本题属于基础题型．
由题意可知该二次根式为同类二次根式．
【解答】
解，最简二次根式与能合并成一项，
，
，
故答案为．  

14.【答案】菱形的四条边都相等  真命题 

【解析】解：命题“四条边相等的四边形是菱形”的逆命题：菱形的四条边都相等，是一个真命题，
故答案为：菱形的四条边都相等，真命题．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
本题考查的是命题和定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
 

15.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
先根据积的乘方得到原式，然后利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
故答案为：．
根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和定理得到，根据菱形的性质得到，于是得到结论．
本题考查了菱形的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】或 

【解析】解：条件为或，
理由是：平行四边形的对角线互相垂直，
四边形是菱形，
或，
四边形是正方形，
故答案为：或．
此题是一道开放型的题目，答案不唯一，添加一个条件符合正方形的判定即可．
本题考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质等知识点，能熟记正方形的判定是解此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
，
、分别是、的中点，
，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
故答案为：．
在中，，根据勾股定理求出，、分别是、的中点，利用中位线的性质可证是平行四边形，利用平行四边形的性质解直角三角形即可．
本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质；三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
；
原式


；
原式
；
原式

． 

【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
先利用平方差公式和二次根式的除法法则运算，然后化简后进行有理数的减法运算；
先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
先根据二次根式的乘法法则、绝对值、乘方的意义和负整数指数幂的意义计算，然后进行有理数的混合运算．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和负整数指数幂的意义是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：；
，，
，




． 

【解析】根据平方差公式计算；
根据二次根式的加法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，把、的值代入计算即可．
本题考查的是二次根式的加法、二次根式的乘法，掌握它们的运算法则是解题的关键．
 

21.【答案】解：，，，
，
，
，

答：修建的公路的长为；
，，
，
货车由处途经处到达处的总路程为：． 

【解析】首先利用勾股定理求出的长，再利用等积法求即可；
利用勾股定理求的长，从而得出答案．
本题主要考查了勾股定理的应用，运用等积法求高是解题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
且，理由如下：
由得≌，
，
，
，
四边形是平行四边形，
且． 

【解析】利用平行四边形的性质得出，，进而利用全等三角形的判定得出即可；
利用全等三角形的性质得出，进而得出四边形是平行四边形，即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出≌是解题关键．
 

23.【答案】证明：在正方形与正方形中，
，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
；

≌，
，
又，
，
． 

【解析】根据正方形的性质可得，，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
根据全等三角形对应角相等可得，然后根据三角形的内角和定理求出，再根据垂直的定义证明即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟记性质并确定出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
 

24.【答案】证明：平分，
，

，
，
，
同理可得，
；
解：、分别平分和，
，，
，
，
，
即的长为；
解：当在的中点时，四边形是矩形，理由如下：
当为中点时，则，
由可知，，
，
四边形为平行四边形，，
，
平行四边形为矩形． 

【解析】由角平分线的定义结合平行线的性质可证得，则，同理，即可得出结论；
利用勾股定理可求得的长，再结合的结论可求得的长；
只要保证四边形是平行四边形即可，则可知为的中点时，满足条件．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键．
 

25.【答案】证明：如图，取的中点，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
是正方形外角的平分线，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
如图，在上取点，使，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
是正方形外角的平分线，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
如图，延长至，使，连接，
，，
，
，
是正方形外角的平分线，
，
，
，，，，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】取的中点，连接，根据同角的余角相等得到，证明≌即可；
在上取点，使，连接，同的方法相似，证明≌即可；
延长至，使，连接，证明≌即可．
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意类比思想的正确运用．