山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（13套）-03解答题（较难题）①

这是一份山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（13套）-03解答题（较难题）①，共41页。试卷主要包含了，与y轴交于点B，、B两点，，B两点，与y轴交于点C，两点，与y轴交于点C等内容，欢迎下载使用。
山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（13套）-03解答题（较难题）①
一．一元一次不等式的应用（共1小题）
1．（2023•商河县二模）为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”．这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元．
（1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心域区正式启动．投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36800元．试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？
（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面射开．投放A，B两车型的数量比为3：2，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？
二．反比例函数综合题（共4小题）
2．（2023•济阳区二模）如图，一次函数y＝x+a的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（4，3），与y轴交于点B．
（1）求a，k的值；
（2）点C在反比例函数图象上，直线CA与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB，求△ABC的面积；
（3）点E在x轴上，点F是坐标系内一点，当四边形AEBF为矩形时，求点E的坐标．

3．（2023•历城区二模）如图1，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），直线AB与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限相交于点C（a，4），
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图2，点E（4，m）是反比例函数y＝（k≠0）图象上一点，连接CE，AE，试问在x轴上是否存在一点D，使△ACD的面积与△ACE的面积相等，若存在，请求点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，坐标原点O关于点D的对称点为G，且点G在x轴的正半轴上，若点M是反比例函数的第一象限图象上一个动点，连接MG，以MG为边做正方形MGNF，当顶点F恰好落在直线AB上时，求点M的坐标．


4．（2023•天桥区二模）如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A（m，3）、B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果△ABD的面积为16，求直线向上平移的距离；
（3）E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，使以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点E的坐标．

5．（2023•历下区模拟）如图1，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（8，1）．
（1）k＝　 　；m＝　 　；
（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；
（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上（如图2），请直接写出此时点D的对应点D′的坐标．
三．二次函数综合题（共2小题）
6．（2023•莱芜区二模）抛物线的顶点坐标为D（1，4），与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C．

（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，求AM+OM的最小值，并求出此时M点的坐标；
（3）如图2，点P在第四象限的抛物线上，连接CD，PD与BC相交于点Q，与x轴交于点G，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD．若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

7．（2023•天桥区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交CB的延长线于点H，求点H的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P是y轴正半轴上的一个动点，连接PM，过M做MQ⊥PM交x轴与Q，N是PQ的中点，求BN的最小值．
​

四．三角形综合题（共1小题）
8．（2023•济阳区二模）有公共顶点C的两个等腰直角三角形按如图1所示放置，点E在AB边上．

（1）连接BD，请直接写出值为 　 　；
（2）如图2，F，G分别为AB，ED的中点，连接FG，求值；
（3）如图3，N为BE的中点，连接CN，AD，求值．
五．四边形综合题（共1小题）
9．（2023•槐荫区二模）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF．
（1）如图1，求证：△ADE≌△CDF；
（2）直线AE与CF相交于点G．
①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；
②如图3，连接BG，若AB＝5，DE＝3，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．
​
六．几何变换综合题（共3小题）
10．（2023•莱芜区二模）如图，在同一平面内的△ABC和△ADE，连接CE、BD，点P、Q分别是线段CE、BD的中点，△ADE绕点A自由旋转时，B、P、D三点会在同一条直线上．

（1）如图1，当△ABC和△ADE都是等边三角形时，判断线段PA、PB、PC的数量关系，并给出证明；
（2）如图2，当△ABC和△ADE都是等腰直角三角形时，请直接写出线段PA、PB、PC的数量关系 　 　；
（3）如图3，当∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，时，求点A到直线PB的距离．

11．（2023•历城区二模）如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，点O为直角顶点，连接AD，BC，E是线段BC的中点，连接OE．【问题解决】
（1）如图①，当C，D两点分别在边OA，OB上时，线段EO与线段AD之间的数量关系为　 　；
【类比探究】
（2）将△COD绕点O顺时针旋转到如图②所示位置，请探究（1）中的数量关系是否成立，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）在△COD的旋转过程中，当∠AOC＝150°时，若OA＝6，OC＝2，请直接写出OE的长．
​
12．（2023•天桥区二模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，，点D为平面内任意一点，将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接AE．
（1）若点D为△ABC内部任意一点时．
①如图1，判断线段AE与BD的数量关系并给出证明；
②如图2，连接DE，当点E，D，B在同一直线上且BD＝2时，求线段CD的长；
（2）如图3，直线AE与直线BD相交于点P，当AD＝AC时，延长AC到点F，使得CF＝AC，连接PF，请直接写出PF的取值范围．

七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
13．（2023•钢城区二模）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋项A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为55°，房屋的顶层横梁EF＝12m，ET∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）
（1）求屋项到横梁的距离AG；
（2）求房屋的高AB．

14．（2023•商河县二模）某市为实现5G网络全覆盖，2023——2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为l＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，基站塔与水平地面垂直，小明在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求D处的竖直高度；
（2）求基站塔AB的高．


山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（13套）-03解答题（较难题）①
参考答案与试题解析
一．一元一次不等式的应用（共1小题）
1．（2023•商河县二模）为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”．这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元．
（1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心域区正式启动．投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36800元．试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？
（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面射开．投放A，B两车型的数量比为3：2，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？
【答案】（1）本次试点投放的A型车60辆、B型车40辆；
（2）则城区10万人口平均每100人至少享有A型车3000×＝3辆、至少享有B型车2000×＝2辆．
【解答】解：（1）设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆，
根据题意，得：，
解得：，
答：本次试点投放的A型车60辆、B型车40辆；

（2）由（1）知A、B型车辆的数量比为3：2，
设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆，
根据题意，得：3a×400+2a×320≥1840000，
解得：a≥1000，
即整个城区全面铺开时投放的A型车至少3000辆、B型车至少2000辆，
则城区10万人口平均每100人至少享有A型车3000×＝3辆、至少享有B型车2000×＝2辆．
二．反比例函数综合题（共4小题）
2．（2023•济阳区二模）如图，一次函数y＝x+a的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（4，3），与y轴交于点B．
（1）求a，k的值；
（2）点C在反比例函数图象上，直线CA与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB，求△ABC的面积；
（3）点E在x轴上，点F是坐标系内一点，当四边形AEBF为矩形时，求点E的坐标．

【答案】（1）a＝4，k＝12；
（2）8；
（3）E（1，0）或（3，0）．
【解答】解：（1）将点A的坐标（4，3）代入一次函数表达式得：3＝×4+a，
解得：a＝1，
将点A的坐标A（4，3）代入反比例函数表达式得：3＝，
解得：k＝12；

（2）∵点A（4，3），D点的纵坐标是0，AD＝AC，
∴点C的纵坐标是3×2﹣0＝6，
把y＝6代入y＝得x＝2，
∴C（2，6），
如图，

作CH⊥x轴于H，交AB于E，
当x＝2时，y＝＝2，
∴E（2，2），
∵C（2，6），
∴CE＝6﹣2＝4，
∴S△ABC＝＝＝8；
（3）如图，∵a＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x+1，
当x＝0时，y＝1，
∴OB＝1，
∵四边形AEBF为矩形，

∴∠BEA＝90°，
过A作AH⊥x轴于H，
∴∠AHE＝∠AEB＝90°，
∴∠HAE+∠AEH＝∠AEH+∠BEO＝90°，
∴∠BEO＝∠HAE，
∴△AHE∽△EOB，
∴，
∵A（4，3），
∴OH＝4，AH＝3，
∴，
解得OE＝1或3，
∴E（1，0）或（3，0）．
3．（2023•历城区二模）如图1，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），直线AB与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限相交于点C（a，4），
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图2，点E（4，m）是反比例函数y＝（k≠0）图象上一点，连接CE，AE，试问在x轴上是否存在一点D，使△ACD的面积与△ACE的面积相等，若存在，请求点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，坐标原点O关于点D的对称点为G，且点G在x轴的正半轴上，若点M是反比例函数的第一象限图象上一个动点，连接MG，以MG为边做正方形MGNF，当顶点F恰好落在直线AB上时，求点M的坐标．


【答案】（1）y＝；
（2）（2，0）或（﹣6，0）；
（3）M坐标为：或（1，8）．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝mx+n，
把点A（﹣2，0），点B（0，2）分别代入上式可得：
∴，
解得：，
∴y＝x+2，
把C（a，4）代入y＝x+2中，
∴a+2＝4，
解得：a＝2，
∴C（2，4），
把C（2，4）代入y＝可得：
，
解得：k＝8，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）∵E（4，m）在反比例函数y＝图象上，
∴m＝2，
∴E（4，2），
∵△ACE的面积与且△ACD的面积相等，
当D点在x轴的正半轴上时，
设过D点与直线AB平行的直线解析式为y＝x+b，
∴4+b＝2，
解得b＝﹣2，
∴y＝x﹣2，
∴D（2，0）；
当D点在x轴的负半轴上时，点D关于点（﹣2，0）的对称点为（﹣6，0），
此时△ACE的面积与且△ACD的面积相等，
∴D（﹣6，0）；
综上所述：D点坐标为（2，0）或（﹣6，0）；
（3）由题意得：G（4，0），设M（t，）（t＞0），
①当F点M左侧时，过点M作QH∥x轴，过点F作FQ⊥QH交于Q点，过点G作GH⊥QH交于点H，则∠MQF＝∠MHG＝90，
，
∵四边形FNGM为正方形，
∴∠FMG＝90°，FM＝MG，
∵∠FMG＝90°，
∴∠QMF+∠HMG＝90°，
∵∠HMG+∠MGH＝90°，
∴∠QMF＝∠MGH，
∵FM＝MG，
∴△MFQ≌△GMH（AAS），
∴MH＝QF，GH＝QM，
∴F（t﹣，﹣4+t），
∴﹣4+t＝t﹣+2，
解得t＝，
∴M（，3）；
②点F在M右侧时，过点M作QH∥y轴，交x轴于点Q，过点F作FH⊥QH交于点H，，
同理可得：△MFH≌△GMQ（AAS），
∴GQ＝HM，MQ＝FH，
∴QG＝MH＝4﹣t，MQ＝FH＝，
∴F（t+，），
代入y＝x+2可得：，
解得：t＝1，
∴M（1，8），
综上所述：M点坐标为：（）或（1，8）．
4．（2023•天桥区二模）如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A（m，3）、B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果△ABD的面积为16，求直线向上平移的距离；
（3）E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，使以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点E的坐标．

【答案】（1）y＝﹣；
（2）直线向上平移的距离为4个单位长度；
（3）点E的坐标为（0，）或（0，5）．
【解答】解：（1）令一次函数中y＝3，则3＝﹣x，
解得：x＝﹣4，即点A的坐标为（﹣4，3），
∵点A（﹣4，3）在反比例函数的图象上，
∴k＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）连接AC、BC如图所示．

设平移后的解析式为y＝﹣x+b，
∵该直线平行直线AB，
∴S△ABD＝S△ABC，
∵△ABD的面积为16，
∴S△ABC＝OC•（xB﹣xA）＝16，
∴b×8＝16，
∴b＝4，
∴直线向上平移的距离为4个单位长度；
（3）如图，∵E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，

②A为直角顶点，
∴∠BAE＝90°，
过A作AH⊥y轴于H，
∴∠OAE＝∠AHO＝∠AHE＝90°，
∴∠OAH+∠EAH＝∠OAH+∠AOH＝90°，
∴∠EAH＝∠AOH，
∴△AOH∽△EOA，
∴，
∵A（﹣4，3），
∴AH＝4，OH＝3．
∴，
∴EH＝，
∴OE＝3+＝，
∴点E的坐标为（0，），
②E为直角顶点，
∴AE⊥BE，
∴AB＝10，
∴OA＝5，
∴△AEB为直角三角形，
∴OE为中线，
∴EO＝AO＝5，
∴E（0，5），
综上所述，点E的坐标为（0，）或（0，5）．
5．（2023•历下区模拟）如图1，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（8，1）．
（1）k＝　　；m＝　8　；
（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；
（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上（如图2），请直接写出此时点D的对应点D′的坐标．
【答案】（1），8；
（2）C（2，﹣2）；
（3）D′（6，6）．
【解答】解：（1）把点A（8，1）分别代入y＝kx﹣3和y＝中，得，1＝8k﹣3，1＝，
解得：k＝，m＝8，
故答案为，8；

（2）C（a，a﹣3）（0＜a＜8），则D（a，），
∴CD＝﹣a+3，
∵S四边形OCAD＝24，
∴•CD•xA＝24，
即 （﹣a+3）×8＝24，
∴a2+6a﹣16＝0，
∴a1＝﹣8，a2＝2，
经检验：a1＝﹣8，a2＝2是原方程的解，
∵0＜a＜8，
∴a＝2，
∴C（2，﹣2）；

（3）由平移可知：OO′∥AB，
∴直线OO′的解析式为y＝x，
由，解得或（舍弃），
∴O′（4，2），
∵把点O向右平移4个单位，向上平移2个单位得到O′，
∵D（2，4），
∴D′（6，6）．
三．二次函数综合题（共2小题）
6．（2023•莱芜区二模）抛物线的顶点坐标为D（1，4），与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C．

（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，求AM+OM的最小值，并求出此时M点的坐标；
（3）如图2，点P在第四象限的抛物线上，连接CD，PD与BC相交于点Q，与x轴交于点G，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD．若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）M（，）；
（3）存在点P，使∠PQC＝∠ACD，P（4，﹣5）．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为D（1，4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将点A（﹣1，0）代入，得：4a+4＝0，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
故该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，作点O关于直线BC的对称点K，连接AK交BC于点M，连接BK，

由对称性可知，OM＝KM，
∴AM+OM＝AM+KM≥AK，
当O、M、K三点共线时，AM+OM有最小值，
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
由对称性可知∠KBM＝45°，
∴BK⊥BO，
∴K（3，3），
设直线AK的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AK的解析式为y＝x+，
设直线BC的解析式为y＝mx+3，
∴3m+3＝0，
∴m＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
联立方程组，
解得：，
∴M（，）；
（3）存在点P，使∠PQC＝∠ACD．理由如下：
如图2，过点D作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点E，则DE＝CE＝1，

即∠DCE＝45°，则∠OCD＝90°+45°＝135°，
则∠ACD＝135°+∠ACO；
过点Q作QT⊥x轴于点T，则∠CQT＝135°，
则∠PQC＝∠CQT+∠TQP＝135°+∠TQP＝∠ACD＝135°+∠ACO，
∴∠TQP＝∠ACO，
过点P作PN∥y轴交过点D与x轴的平行线于点N，
∵PN⊥x轴，QT⊥x轴，
∴PN∥QT，
∴∠NPD＝∠TQP＝∠ACO，
在Rt△AOC中，tan∠ACO＝＝＝tan∠NPD，
设点P（t，﹣t2+2t+3），
则tan∠NPD＝＝＝，
解得：t＝1（舍去）或t＝4，
经检验，t＝4是方程的根，
∴P（4，﹣5）．
7．（2023•天桥区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交CB的延长线于点H，求点H的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P是y轴正半轴上的一个动点，连接PM，过M做MQ⊥PM交x轴与Q，N是PQ的中点，求BN的最小值．
​

【答案】（1）y＝﹣2x2+4x+6；
（2）（，﹣）；
（3）．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6；
（2）过点M作MG⊥y轴于点G，过点H作HT⊥y轴于点T，
则∠QGO＝90°，∠HTO＝90°，
∴∠GMO+∠MOG＝90°，
∵OH⊥OM，∠BMO＝45°，
∴∠MOH＝90°，∠OHM＝45°，
∴∠MOG+∠TOH＝90°，OM＝OH，
∴∠GMO＝∠TOH，
在△MGO和△OTH中，
，
∴△MGO≌△OTH（AAS），
∴MG＝OT，GO＝TH，
∵点C坐标为（0，6），
设直线BC的解析式为y＝kx+n（k≠0，k，n为常数），
代入点B（3，0），点C（0，6），
得，
解得，
∴直线BC解析式为y＝﹣2x+6，
设点H坐标为（m，﹣2m+6），
则TH＝m，OT＝2m﹣6，
∴点M坐标为（2m﹣6，m），
∵点M在线段BC上，
∴﹣2（2m﹣6）+6＝m，
解得m＝，
∴﹣2×+6＝﹣，
∴点H坐标为（，﹣）；
（3）由（2）可知，点M坐标为（，），
∵PM⊥MQ，
∴△PMQ是直角三角形，
∵N是PQ的中点，
∴MN＝PQ，
∵∠POQ＝90°，
∴ON＝PQ，
∴MN＝ON，
∴点N在线段MO的垂直平分线上，
作线段MO的垂直平分线l，直线l与直线MO交于点R，直线l与x轴交于点K，
则R坐标为（），
当BN⊥l时，BN取得最小值，如图所示：
设直线MO的解析式为y＝ex（e≠0），
代入点M（，），
得e＝，
解得e＝3，
∴直线MO的解析式为y＝3x，
设直线l的解析式为y＝，
代入点R（），
得，
解得f＝2，
∴直线l的解析式为y＝，
当y＝＝0时，x＝6，
∴点K坐标为（6，0），
∴KB＝6﹣3＝3，
∴KB：KO＝1：2，
∵∠BKN＝∠BKN，∠BNK＝∠BRK＝90°，
∴△BNK∽△ORK，
∴BN：OR＝KB：KO＝1：2，
∵OR＝＝，
∴BN＝OR＝，
∴BN的最小值为．


四．三角形综合题（共1小题）
8．（2023•济阳区二模）有公共顶点C的两个等腰直角三角形按如图1所示放置，点E在AB边上．

（1）连接BD，请直接写出值为 　1　；
（2）如图2，F，G分别为AB，ED的中点，连接FG，求值；
（3）如图3，N为BE的中点，连接CN，AD，求值．
【答案】（1）1；
（2）；
（3）2．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD＝AE，
∴，
故答案为：1；
（2）如图2，连接CF，CG，

∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，F，G分别为AB，ED的中点，
∴AC＝CF，∠A＝∠ACF＝45°＝∠CEG＝∠ECG，
∴∠ACE＝∠FCG，
∴△ACE∽△FCG，
∴＝＝；
（3）如图3，取BC的中点M，连接NM，

∵N为BE的中点，点M是BC的中点，
∴EC＝2MN，MN∥EC，BC＝2CM，
∴∠NMC+∠ECB＝180°，CD＝2MN，AC＝2CM，
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝180°，
∴∠CMN＝∠ACD，，
∴△ACD∽△CMN，
∴＝．
五．四边形综合题（共1小题）
9．（2023•槐荫区二模）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF．
（1）如图1，求证：△ADE≌△CDF；
（2）直线AE与CF相交于点G．
①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；
②如图3，连接BG，若AB＝5，DE＝3，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．
​
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②4．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
∵DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴∠ADC＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）①证明：如图，设AG与CD相交于点P．

∠ADP＝90°，
∠DAP+∠DPA＝90°，
∵△ADE≌△CDF，
∴∠DAE＝∠DCF．
∵∠DPA＝∠GPC，
∴∠DAE+∠DPA＝∠GPC+∠GCP＝90°．
∠PGN＝90°，
∵BM⊥AG，BN⊥GN，
∴四边形BMGN是矩形，
∴∠MBN＝90°
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠MBN＝90°．
∴∠ABM＝∠CBN．
又∵∠AMB＝∠BNC＝90°
∴△AMB≌△CNB（ASA）．
∴MB＝NB．
∴矩形BMGN是正方形；
②解：作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，

此时△AMB≌△AHD．
∴BM＝AH，
AH2＝AD2﹣DH2，AD＝5，
∴DH最大时，AH最小，DH＝DE＝2，
∴BM＝AH＝4，
由（2）①可知，△BGM是等腰直角三角形，
∴BG最小＝BM＝4．
六．几何变换综合题（共3小题）
10．（2023•莱芜区二模）如图，在同一平面内的△ABC和△ADE，连接CE、BD，点P、Q分别是线段CE、BD的中点，△ADE绕点A自由旋转时，B、P、D三点会在同一条直线上．

（1）如图1，当△ABC和△ADE都是等边三角形时，判断线段PA、PB、PC的数量关系，并给出证明；
（2）如图2，当△ABC和△ADE都是等腰直角三角形时，请直接写出线段PA、PB、PC的数量关系 　PB＝CP+AP　；
（3）如图3，当∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，时，求点A到直线PB的距离．

【答案】（1）PA+PC＝PB，理由见解析过程；
（2）PB＝CP+AP，理由见解析过程；
（3）点A到直线PB的距离2．
【解答】解：（1）PA+PC＝PB，理由如下：
如图1，连接AQ，

∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵点P、Q分别是线段CE、BD的中点，
∴BQ＝DQ，CP＝PE，
∴BQ＝CP，
∴△ACP≌△ABQ（SAS），
∴AQ＝AP，∠BAQ＝∠CAP，
∴∠BAC＝∠PAQ＝60°，
∴△PAQ是等边三角形，
∴PQ＝AP，
∴PB＝BQ+PQ＝AP+CP；
（2）PB＝CP+AP，理由如下：
如图2，连接AQ，

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠BAD＝∠ACE，
∵点P、Q分别是线段CE、BD的中点，
∴BQ＝DQ，CP＝PE，
∴BQ＝CP，
∴△ACP≌△ABQ（SAS），
∴AQ＝AP，∠BAQ＝∠CAP，
∴∠BAC＝∠PAQ＝90°，
∴△PAQ都是等腰直角三角形，
∴PQ＝AP，
∴PB＝CP+AP，
故答案为：PB＝CP+AP；
（3）如图3，过点A作AH⊥BP于H，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，
∴点A，点B，点E三点共线，EA＝AD，AC＝AB，
∴＝，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
又∵∠BDA＝∠CDP，
∴∠BAC＝∠BPC＝90°，
又∵CP＝PE，
∴BC＝BE，CD＝DE，
∵∠DCP＝∠DEP，
∵∠ADE＝90°﹣∠AED＝60°，
∴∠DCP＝∠DEP＝30°，
∴∠BCE＝∠BEC＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE＝CE，
∵CP＝PE，∠CAE＝90°，
∴AP＝CP＝PE＝4，
∵∠BCA＝∠ECA＝30°，
∴AB＝AE＝4，∠PBE＝∠ACE＝30°，
∴AH＝AH＝2，
∴点A到直线PB的距离2．
11．（2023•历城区二模）如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，点O为直角顶点，连接AD，BC，E是线段BC的中点，连接OE．【问题解决】
（1）如图①，当C，D两点分别在边OA，OB上时，线段EO与线段AD之间的数量关系为　AD＝2EO　；
【类比探究】
（2）将△COD绕点O顺时针旋转到如图②所示位置，请探究（1）中的数量关系是否成立，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）在△COD的旋转过程中，当∠AOC＝150°时，若OA＝6，OC＝2，请直接写出OE的长．
​
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，
∴AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝90°，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴AD＝BC，
在Rt△BOC中，E是BC的中点，
∴BC＝2EO，
∴AD＝2EO，
故答案为：AD＝2EO；
（2）（1）中结论仍成立，理由如下：
延长OE至F使EO＝EF，连接BF，连接FC并延长交AO于G，
∵E是BC的中点，
∴四边形BOCF是平行四边形，
∴CF＝BO，
∵AO＝BO，
∴CF＝AO，
∵∠COD＝∠AOB＝90°，
∴∠FCO＝90°+∠COG，∠AOD＝90°+∠AOC，
∴∠FCO＝∠AOD，
∵CO＝DO，
∴△AOD≌△FCO（SAS），
∴AD＝OF，
∵点E是▱BOCF的对角线的交点，
∴EO＝EF，
∴OF＝2EO，
∴AD＝2EO；
（3）如图3，当△COD绕点O顺时针旋转150°时，∠AOC＝150°，
∴∠BOC＝360°﹣150°﹣90°＝120°，
过点C作FC⊥BO交延长线于F，过点E作EG⊥BO交于G，
∴∠OCF＝30°，
∵OC＝2，
∴OF＝1，CF＝，
∵E是BC的中点，
∴EG＝CF＝，GB＝GF，
∴OA＝OB＝4，
∴BF＝5，
∴BG＝FG＝2.5，
∴OG＝1.5，
∴OE＝；
如图4，当△COD绕O点逆时针旋转150°时，∠AOC＝150°，
∴∠BOC＝60°，
过点C作CF⊥BO交于F，过点E作EG⊥BO交于G，
∴∠OCF＝30°，
∵OC＝2，
∴FO＝1，CF＝，
∵E是BC的中点，
∴GE＝CF＝，BG＝GF，
∵OB＝AO＝4，
∴BF＝3，
∴BG＝FG＝，
∴OG＝，
∴OE＝；
综上所述：OE的长为或．



12．（2023•天桥区二模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，，点D为平面内任意一点，将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接AE．
（1）若点D为△ABC内部任意一点时．
①如图1，判断线段AE与BD的数量关系并给出证明；
②如图2，连接DE，当点E，D，B在同一直线上且BD＝2时，求线段CD的长；
（2）如图3，直线AE与直线BD相交于点P，当AD＝AC时，延长AC到点F，使得CF＝AC，连接PF，请直接写出PF的取值范围．

【答案】（1）①AE＝BD，理由见解析过程；
②CD＝2；
（2）2≤PF≤5+．
【解答】解：（1）①AE＝BD，理由如下：
∵将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°得到线段CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCD，
又∵AC＝BC，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD；
②∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，，
∴AB＝BC＝2，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE＝∠CBD，AE＝BD＝2，
∴∠CAE+∠BAC+∠ABE＝∠CAB+∠ABE+∠CBD＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴BE＝＝＝6，
∴DE＝6﹣2＝4，
∵CD＝CE，∠DCE＝90°，
∴CD＝2；
（2）∵△ACE≌△BCD，
∴∠E＝∠CDB，∠ACE＝∠DCB，
∵∠BCD+∠CDB+∠CBD＝90°，
∴∠CBD+∠E+∠BCD＝180°，
∵∠E+∠EPB+∠PBC+∠BCD+∠ECD＝360°，
∴∠EPB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，
∵AD＝AC，
∴点P不能在劣弧BC上，
如图3，取AB的中点O，过点O作OH⊥AF于H，

当点O在线段PF上时，PF有最大值，点P在点C时，PF有最小值，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，，
∴AB＝2，AO＝BO＝，
∵OH⊥AC，BC⊥AC，
∴OH∥BC，
∴＝，
∴CH＝AH＝OH＝，
∴HF＝3，
∴OF＝＝＝5，
∴PF的最大值为5+，PF的最小值为2，
∴2≤PF≤5+．
七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
13．（2023•钢城区二模）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋项A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为55°，房屋的顶层横梁EF＝12m，ET∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）
（1）求屋项到横梁的距离AG；
（2）求房屋的高AB．

【答案】（1）4.2米；（2）15.4米．
【解答】解：（1）∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF∥BC，
∴AG⊥EF，EG＝EF，∠AEG＝∠ACB＝35°，
在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠AEG＝35°，
∵tan∠AEG＝tan35°＝，EG＝6米，
∴AG＝6×0.7＝4.2（米）；
答：屋顶到横梁的距离AG约为4.2米；
（2）过E作EH⊥CB于H，
设EH＝x米，
在Rt△EDH中，∠EHD＝90°，∠EDH＝60°，
∵tan∠EDH＝，
∴DH＝，
在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝35°，
∵tan∠ECH＝，
∴CH＝，
∵CH﹣DH＝CD＝8米，
∴﹣＝8，
解得：x≈11.2，
∴AB＝AG+BG＝11.2+4.2≈15.4（米），
答：房屋的高AB约为15.4米．

14．（2023•商河县二模）某市为实现5G网络全覆盖，2023——2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为l＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，基站塔与水平地面垂直，小明在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求D处的竖直高度；
（2）求基站塔AB的高．

【答案】（1）D处的竖直高度为5米；（2）米．
【解答】解：（1）如图，延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D作DE⊥AF，E为垂足，连接AC，AD，
∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，
∴＝，
即＝，
设DM＝5k米，则CM＝12k米，
在Rt△CDM中，CD＝13米，由勾股定理得，
CM2+DM2＝CD2，
即（5k）2+（12k）2＝132，
解得k＝1，
∴DM＝5（米），CM＝12（米），
答：D处的竖直高度为5米；
（2）斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，
设DE＝12a米，则BE＝5a米，
又∵∠ACF＝45°，
∴AF＝CF＝（12+12a）米，
∴AE＝AF﹣EF＝12+12a﹣5＝（7+12a）米，
在Rt△ADE中，DE＝12a米，AE＝（7+12a）米，
∵tan∠ADE＝tan53°≈，
∴≈，
解得a＝，
∴DE＝12a＝21（米），AE＝7+12a＝28（米），
BE＝5a＝（米），
∴AB＝AE﹣BE＝28﹣＝（米），
答：基站塔AB的高为米．