山东省青岛市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（7套）-03解答题（较难题）

这是一份山东省青岛市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（7套）-03解答题（较难题），共37页。试卷主要包含了阅读与思考等内容，欢迎下载使用。
山东省青岛市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（7套）-03解答题（较难题）
一．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
1．（2023•即墨区二模）阅读与思考
下面是小明同学的数学小论文，请仔细图读并完成相应的任务．
巧用方程思想解决函数交点问题
我们知道，求两个一次函数图象的交点坐标时，可联立两个一次函数表达式组成方程组，方程组的解就是两个一次函数交点的坐标．同样，我们解决二次函数与直线的交点问题时，也可以类比这一方法求解．
下面是小宇通过方程思想解决二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与一次函数y＝sx+t（s≠0）图象的交点情况的部分探究过程，联立，．得ax2+bx+c＝sx+t，整理，得ax2+（b﹣s）x+c﹣t＝0．
∵a≠0，∴方程ax2+（h﹣s ）x+c﹣t＝0是关于x的一元二次方程．则Δ＝（b﹣c）2﹣4a（c﹣t），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，∴二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点．
任务：
（1）请参照论文中Δ＞0的分析过程，分别写出Δ＜0和Δ＝0时的分析结果；
（2）若二次函数y＝x2﹣4x+5的图象与一次函数y＝x+t的图象有两个交点，求t的取值范围；
（3）实际上，除了上述两种函数的交点外，初中数学还会遇到反比例函数与一次函数的交点情况，例如：反比例函数的图象与一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象有一个交点，则这个一次函数的表达式可以是 　 　（写出一个即可）．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
2．（2023•崂山区二模）如图，一次函数y＝﹣x+5与反比例函数 的图象在第一象限相交于A，B两点，点B坐标是（n，1），AC垂直x轴交x轴于点C，O为坐标原点，AC＝4OC，连接BC．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）若点D在x轴上，△BCD的面积和△ABC的面积相等，求点D的坐标．

3．（2023•青岛二模）如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与函数的图象交于，B两点．
（1）求y1，y2的解析式；
（2）观察图象，直接写出时x的取值范围．

三．二次函数的应用（共3小题）
4．（2023•崂山区二模）跳台滑雪简称“跳雪”，选手不借助任何外力、从起滑台P处起滑，在助滑道PE上加速，从跳台E处起跳，最后落在山坡MN或者水平地面上．运动员从P点起滑，沿滑道加速，到达高度OE＝42m的E点后起跳，运动员在空中的运动轨迹是一条抛物线．建立如图所示平面直角坐标系，OM＝38m，ON＝114m，设MN所在直线关系式为y＝kx+b．
甲运动员起跳后，与跳台OE水平距离xm、竖直高度ym之间的几组对应数据如下：
水平距离x/m
0
10
20
30
40
竖直高度y/m
42
48
50
48
42
（1）求甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式；
（2）运动员得分由距离得分+动作分+风速得分组成距离得分：运动员着陆点到跳台OE水平距离为50m，即得到60分，每比50m远1米多得2分；反之，当运动员着陆点每比50m近1米扣2分．距离分计算采取“2舍3入法”，如60.2米计为60米，60.3米则计为60.5米．
动作得分：由裁判根据运动员空中动作的优美程度打分．
风速得分：由逆风或者顺风决定．
甲运动员动作分、风速加分如下表：
距离分
动作分
风速加分

50
﹣2.5
请你计算甲运动员本次比赛得分．

5．（2023•即墨区二模）某飞碟在地面上方的A点处向上飞出，飞碟的飞行高度y（m）与时间t（s）之间的关系式为，飞碟的飞行高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数图象如图所示抛物线，点B与点A纵坐标相等，点A、B的水平距离为5m，点C为飞碟的最高点．
（1）求飞碟飞行几秒后到达最大高度？最大高度为多少？
（2）求飞碟飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式；
（3）飞碟飞行中会遇到一棵1米高的小树，若小树距离飞碟出发点3.5米，问飞碟能飞越过小树吗？说明理由．

6．（2023•青岛二模）近期，广州、东莞、佛山等地新冠病毒疫情再次小范围爆发，目前仍然要高度重视各项防疫措施．某药店用1200元购进KN95口罩及普通医用口罩各1000个，每个KN95口罩比普通医用口罩的进价多0.4元，在销售过程中发现，KN95口罩每天的销量y1（单位：个）与其销售单价x（单位：元）有如下关系：y1＝﹣10x+40，普通医用口罩每天的销量y2（单位：个）与其销售单价z（单位：元）有如下关系：y2＝﹣10z+66．药店按照单个普通医用口罩与单个KN95口罩利润相同的标准确定销售单价，并且销售单价均高于进价（利润率＝）．
（1）求两种口罩的进价；
（2）市场监督管理局为了调控口罩市场价格，避免炒高口罩价格的现象出现，规定KN95口罩的利润率不得超过100%，同时KN95口罩的利润率在不低于50%时才能保证药店的合理收益，药店应该如何确定KN95口罩的销售单价范围呢？
（3）在（2）的条件下求这两种口罩每天销售总利润和的最大值．
四．二次函数综合题（共1小题）
7．（2023•青岛二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+2x+c的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），连接AC，BC．动点D从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C做匀速运动；同时，动点E从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度的速度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接DE，设运动时间为t秒（0＜t＜3）．请解答下列问题：
（1）求二次函数关系式；
（2）在D，E运动的过程中，当t为何值时，四边形BCDE的面积最小，最小值为多少？
（3）当t为何值时，△AED是等腰三角形？请直接写出t的值．

五．全等三角形的判定与性质（共1小题）
8．（2023•青岛二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，点E，F为对角线BD上的两点，且EB＝DF，AF＝CE．连接AE，CF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
①AB＝BC；
②∠ABD＝∠CBD．
选择的条件：　 　（填写序号）．
（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分）

六．矩形的性质（共1小题）
9．（2023•即墨区二模）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠EAC＝∠BAC，CE⊥AE，交AD于点F，连接DE、OF．
（1）求证：OF⊥AC；
（2）连接AE，CF，已知 　 　（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AODE的形状，并证明你的结论．
条件①：∠BAC＝2∠ACB；
条件②：三角形ABO是等边三角形．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）

七．四边形综合题（共3小题）
10．（2023•即墨区二模）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝5cm，CD＝3cm，AE＝1cm，∠ABC＝60°，点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，PE交DA的延长线于点F，连接BD，PQ，QF；设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5）．
解答下列问题：
（1）当t为何值时，点C在PQ的垂直平分线上？
（2）设△PQF的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使△PQF的面积是平行四边形ABCD面积的？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使PF⊥PQ？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由．

11．（2023•市北区二模）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝16cm，BD＝12cm．点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；直线PE平行BD，与AD边相交于点E，与AC边相交于点M；点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s，QF⊥BC，垂足为F．设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）求证：△APM≌△CQF；
（2）设多边形PEQFB的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）连接DQ，将线段DQ绕点D逆时针旋转，旋转角的度数等于∠ADC的度数，Q的
对应点为R，连接OR，则在Q的运动时间内，是否存在OR的最小值？存在请直接给出t
的值；不存在请说明理由．
​
12．（2023•崂山区二模）已知：如图1，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，AD＝DC＝8cm，BC＝6cm，连接BD，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．
（1）当t为何值时，点D在线段PQ的垂直平分线上？
（2）延长PQ交BC于点E（如图2），若四边形APEB是平行四边形．求t的值；
（3）设△DPQ的面积为ycm2，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；
（4）是否存在某一时刻t，使得PQ与BD的夹角为45°？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

八．圆的综合题（共2小题）
13．（2023•崂山区二模）【问题提出】如图1，△ABC为⊙O内接三角形，已知BC＝a，圆的半径为R，探究a，R，sin∠A之间的关系．
【解决问题】如图2，若∠A为锐角，连接BO并延长交⊙O于点D，连接DC，则∠A＝∠D，在△DBC中，BD为⊙O直径，BC＝a，所以BD＝2R，∠BCD＝90°．
所以在Rt△DBC中建立a，R，sinD的关系为 　 　．
所以在⊙O内接三角形△ABC中，a，R，sinA之间的关系为 　 　．
类比锐角求法，当∠A为直角和钝角时都有此结论．
【结论应用】
已知三角形△ABC中，∠B＝60°，AC＝4，则△ABC外接圆的面积为 　 　．

14．（2023•青岛二模）阅读材料：如图1，△ABC的周长为l，内切圆O的半径为r，连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积．
∵S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OCA
又∵S△OAB＝AB•r，S△OBC＝BC•r，S△OCA＝CA•r
∴S△ABC＝AB•r+BC•r+CA•r＝l•r（可作为三角形内切圆半径公式）
（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径；
（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图2）且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；
（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1、a2、a3、…、an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．

九．作图—复杂作图（共1小题）
15．（2023•青岛二模）已知：如图，线段a．求作：Rt△ABC，使AB＝AC，且BC＝a．

一十．相似形综合题（共1小题）
16．（2023•青岛二模）材料阅读：
如图1，AD是△ABC的高，点E，F分别在边AB和AC上，且EF∥BC，由“相似三角形对应高的比等于对应边的比”可以得到以下结论：．
拓展应用：
（1）如图2，在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为8，在△ABC内放一个正方形MNGH，使其一边GH在BC上，点M，N分别在AB，AC上，则正方形MNGH的边长＝　 　；
（2）某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为120cm的等腰三角形展台，现需将展台用平行于底边的隔板隔开，每层间的间隔为10cm，再将每一层尽可能多的分隔成若干个开口为正方形的长方体格子，要求每个格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是第0层隔板的长度；
①在分隔的过程中发现，当隔板厚度忽略不计时，每层平行于底边的隔板长度（单位：cm）随着层数（单位：层）的变化而变化．请完成下表：
层数/层
0
1
2
3
…
隔板长度/cm
120
　 　
　 　
　 　
…
②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？

一十一．频数（率）分布直方图（共1小题）
17．（2023•崂山区二模）《教育部等五部门关于全面加强和改进新时代学校卫生与健康教育工作的意见》要求：保障学生每天校内、校外各1个小时体育活动时间，某学校分别随机调查了男、女学生各100名，统计他们上周平均每天校外体育锻炼的时间，锻炼时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：x≥90；B组：80≤x＜90；C组：70≤x＜80；D组：60≤x＜70；E组：0≤x＜60），将数据进行分析，得到如下统计：
①100名男生B组学生上周平均每天校外体育锻炼时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80；
②100名男生上周平均每天校外体育锻炼时间条形统计图如图；
③100名女生上周平均每天校外体育锻炼时间分布扇形统计图如图；
④调查的男、女同学上周平均每天校外体育锻炼时间的平均数、中位数、众数如表．
性别
平均数
中位数
众数
女生
81.3
79.5
82
男生
81.3
b
83
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）根据以上信息填空：a＝　 　，b＝　 　，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据分析，你认为男生和女生上周校外锻炼情况那个更好，请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校有男同学800名，女同学1000名，请估计该校上周平均每天校外体育锻炼时间在80分钟以上（含80分钟）的学生一共有多少人．


山东省青岛市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（7套）-03解答题（较难题）
参考答案与试题解析
一．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
1．（2023•即墨区二模）阅读与思考
下面是小明同学的数学小论文，请仔细图读并完成相应的任务．
巧用方程思想解决函数交点问题
我们知道，求两个一次函数图象的交点坐标时，可联立两个一次函数表达式组成方程组，方程组的解就是两个一次函数交点的坐标．同样，我们解决二次函数与直线的交点问题时，也可以类比这一方法求解．
下面是小宇通过方程思想解决二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与一次函数y＝sx+t（s≠0）图象的交点情况的部分探究过程，联立，．得ax2+bx+c＝sx+t，整理，得ax2+（b﹣s）x+c﹣t＝0．
∵a≠0，∴方程ax2+（h﹣s ）x+c﹣t＝0是关于x的一元二次方程．则Δ＝（b﹣c）2﹣4a（c﹣t），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，∴二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点．
任务：
（1）请参照论文中Δ＞0的分析过程，分别写出Δ＜0和Δ＝0时的分析结果；
（2）若二次函数y＝x2﹣4x+5的图象与一次函数y＝x+t的图象有两个交点，求t的取值范围；
（3）实际上，除了上述两种函数的交点外，初中数学还会遇到反比例函数与一次函数的交点情况，例如：反比例函数的图象与一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象有一个交点，则这个一次函数的表达式可以是 　y＝﹣3x+6　（写出一个即可）．
【答案】（1）见解答；
（2）；
（3）y＝﹣3x+6（满足 t2+12k＝0 即可）．
【解答】解：（1）当Δ＜0时，方程无实数根，
∴二次函数的图象与一次函数的图象没有交点；
当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，
∴二次函数的图象与一次函数的图象有一个交点；
（2）联立得x2﹣4x+5＝x+t，整理，得x2﹣5x+5﹣t＝0．
∵二次函数y＝x2﹣4x+5的图象与一次函数y＝x+t的图象有两个交点，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4（5﹣t）＞0时，
∴；
（3）联立得＝kx+t，整理，得kx2+tx﹣3＝0，
∵反比例函数的图象与一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象有一个交点，
∴Δ＝0，即 t2+12k＝0，
∴一次函数可以是y＝﹣3x+6（满足 t2+12k＝0 即可）．
故答案为：y＝﹣3x+6．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
2．（2023•崂山区二模）如图，一次函数y＝﹣x+5与反比例函数 的图象在第一象限相交于A，B两点，点B坐标是（n，1），AC垂直x轴交x轴于点C，O为坐标原点，AC＝4OC，连接BC．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）若点D在x轴上，△BCD的面积和△ABC的面积相等，求点D的坐标．

【答案】（1）反比例函数解析式为y＝；
（2）D（13，0）或（﹣11，0）．
【解答】解：（1）设OC＝a，则AC＝4OC＝4a，
∴C（a，0），A（a，4a），
∵一次函数y＝﹣x+5 的图象经过点A，
∴4a＝﹣a+5，解得a＝1，
∴A（1，4），
把A（1，4）代入反比例函数 得：k＝1×4＝4，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）由，解得或，
∴B（4，1），
∵A（1，4），
∴S△ABC＝＝6，
∵△ABD的面积和△ABC的面积相等，
∴CD•yB＝6，即，
∴CD＝12，
∴D（13，0）或（﹣11，0）．
3．（2023•青岛二模）如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与函数的图象交于，B两点．
（1）求y1，y2的解析式；
（2）观察图象，直接写出时x的取值范围．

【答案】（1）y1＝﹣x﹣，y2＝；
（2）﹣6≤x≤﹣．
【解答】解：（1）将点代入中，
∴m＝3，
∴y2＝，
∵B在y2＝图象上，
∴﹣．
∴a＝﹣6，
∴B（﹣，﹣6），
将点A、B代入y1＝kx+b，得，
解得，
∴y1＝﹣x﹣；
（2）观察图形，时x的取值范围是﹣6≤x≤﹣．
三．二次函数的应用（共3小题）
4．（2023•崂山区二模）跳台滑雪简称“跳雪”，选手不借助任何外力、从起滑台P处起滑，在助滑道PE上加速，从跳台E处起跳，最后落在山坡MN或者水平地面上．运动员从P点起滑，沿滑道加速，到达高度OE＝42m的E点后起跳，运动员在空中的运动轨迹是一条抛物线．建立如图所示平面直角坐标系，OM＝38m，ON＝114m，设MN所在直线关系式为y＝kx+b．
甲运动员起跳后，与跳台OE水平距离xm、竖直高度ym之间的几组对应数据如下：
水平距离x/m
0
10
20
30
40
竖直高度y/m
42
48
50
48
42
（1）求甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式；
（2）运动员得分由距离得分+动作分+风速得分组成距离得分：运动员着陆点到跳台OE水平距离为50m，即得到60分，每比50m远1米多得2分；反之，当运动员着陆点每比50m近1米扣2分．距离分计算采取“2舍3入法”，如60.2米计为60米，60.3米则计为60.5米．
动作得分：由裁判根据运动员空中动作的优美程度打分．
风速得分：由逆风或者顺风决定．
甲运动员动作分、风速加分如下表：
距离分
动作分
风速加分

50
﹣2.5
请你计算甲运动员本次比赛得分．

【答案】（1）y＝﹣x2+x+42；
（2）甲运动员本次比赛得分为127.5分．
【解答】解：（1）∵抛物线经过点（10，48），（30，48），
∴对称轴是：直线x＝＝20，
∴顶点坐标为（20，50），
设甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式为：y＝a（x﹣20）2+50，
将（0，42）代入得：a（0﹣20）2+50＝42，
∴a＝﹣，
∴甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式为：y＝﹣（x﹣20）2+50＝﹣x2+x+42；
（2）∵OM＝38m，ON＝114m，
∴M（0，38），N（114，0）
∴，解得：，
∴MN的解析式为：y＝﹣x+38；
﹣x+38＝﹣x2+x+42，
3x2﹣170﹣600＝0，
（x﹣60）（3x+1）＝0，
解得：x1＝60，x2＝﹣（舍），
则60+2×（60﹣50）+50+（﹣2.5）＝127.5，
所以甲运动员本次比赛得分为127.5分．
5．（2023•即墨区二模）某飞碟在地面上方的A点处向上飞出，飞碟的飞行高度y（m）与时间t（s）之间的关系式为，飞碟的飞行高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数图象如图所示抛物线，点B与点A纵坐标相等，点A、B的水平距离为5m，点C为飞碟的最高点．
（1）求飞碟飞行几秒后到达最大高度？最大高度为多少？
（2）求飞碟飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式；
（3）飞碟飞行中会遇到一棵1米高的小树，若小树距离飞碟出发点3.5米，问飞碟能飞越过小树吗？说明理由．

【答案】（1）飞碟飞行秒后到达最大高度，最大高度为m；
（2）飞碟飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式为y＝﹣（x﹣）2+；
（3）飞碟能飞越过小树．
【解答】解：（1）y＝﹣t2+t+＝﹣（t﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝时，y有最大值，最大值为，
答：飞碟飞行秒后到达最大高度，最大高度为m；
（2）由题意得：A（0，），B（5，），C（，），
设飞碟飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式为y＝a（x﹣）2+，
将A（0，）代入解析式得：＝a×（﹣）2+，
解得a＝﹣，
∴飞碟飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式为y＝﹣（x﹣）2+；
（3）能，理由：
当x＝3.5时，y＝﹣（﹣）2+＝＞1，
所以飞碟能飞越过小树．
6．（2023•青岛二模）近期，广州、东莞、佛山等地新冠病毒疫情再次小范围爆发，目前仍然要高度重视各项防疫措施．某药店用1200元购进KN95口罩及普通医用口罩各1000个，每个KN95口罩比普通医用口罩的进价多0.4元，在销售过程中发现，KN95口罩每天的销量y1（单位：个）与其销售单价x（单位：元）有如下关系：y1＝﹣10x+40，普通医用口罩每天的销量y2（单位：个）与其销售单价z（单位：元）有如下关系：y2＝﹣10z+66．药店按照单个普通医用口罩与单个KN95口罩利润相同的标准确定销售单价，并且销售单价均高于进价（利润率＝）．
（1）求两种口罩的进价；
（2）市场监督管理局为了调控口罩市场价格，避免炒高口罩价格的现象出现，规定KN95口罩的利润率不得超过100%，同时KN95口罩的利润率在不低于50%时才能保证药店的合理收益，药店应该如何确定KN95口罩的销售单价范围呢？
（3）在（2）的条件下求这两种口罩每天销售总利润和的最大值．
【答案】（1）KN95口罩的进价为0.8元，普通医用口罩的进价为0.4元；（2）药店KN95口罩的销售单价范围为1.2≤x≤1.6；（3）两种口罩每天销售总利润和的最大值为62.4元．
【解答】解：（1）设KN95口罩的进价为a元，普通医用口罩的进价为（a﹣0.4）元，
由题意得：1000a+1000（a﹣0.4）＝1200，
解得：a＝0.8，
则a﹣0.4＝0.4（元），
答：KN95口罩的进价为0.8元，普通医用口罩的进价为0.4元；
（2）由题意得：0.5≤≤1，
解得：1.2≤x≤1.6，
答：药店KN95口罩的销售单价范围为1.2≤x≤1.6；
（3）∵单个普通医用口罩与单个KN95口罩利润相同，
∴z﹣0.4＝x﹣0.8
解得：z＝x﹣0.4，
设两种口罩每天销售总利润和为w元，
根据题意，得：w＝（﹣10x+40）（x﹣0.8）+（﹣10z+66）（z﹣0.4）
＝（﹣10x+40）（x﹣0.8）+[﹣10（x﹣0.4）+66]（x﹣0.4﹣0.4）
＝（﹣10x+40）（x﹣0.8）+（﹣10x+70）（x﹣0.8）
＝﹣20x2+126x﹣88，
对称轴x＝＝3.15，w的图象关于x＝3.15对称，
又∵﹣20＜0，w的开口方向向下，
∴当1.2≤x≤1.6，w随x的增大而增大，
∴当x＝1.6时，w最大＝﹣20×+126×﹣88＝62.4（元）．
答：两种口罩每天销售总利润和的最大值为62.4元．
四．二次函数综合题（共1小题）
7．（2023•青岛二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+2x+c的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），连接AC，BC．动点D从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C做匀速运动；同时，动点E从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度的速度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接DE，设运动时间为t秒（0＜t＜3）．请解答下列问题：
（1）求二次函数关系式；
（2）在D，E运动的过程中，当t为何值时，四边形BCDE的面积最小，最小值为多少？
（3）当t为何值时，△AED是等腰三角形？请直接写出t的值．

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；
（2）当t＝2时，四边形BCDE的面积最小，最小值为4；
（3）t的值为4﹣4或或2．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），
则，
解得，
∴二次函数关系式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵二次函数关系式为y＝x2+2x﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵B（1，0），
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
由点D的运动可知：AD＝t，
过点D作DH⊥x轴，垂足为H，如图，

∴AH＝DH＝＝t，即H（﹣3+t，0），
又E（1﹣t，0），
∴S四边形BCDE＝S△ABC﹣S△ADE
＝×4×3﹣×[3+（1﹣t）]t
＝t2+2t+6
＝（t﹣2）2+4，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
AC＝＝3，AB＝4，
∴0≤t≤3，
∴当t＝2时，四边形BCDE的面积最小，最小值为4；
（3）由（2）知H（﹣3+t，0），
∴D（﹣3+t，﹣t），
∵A（﹣3，0），E（1﹣t，0），
∴AD2＝t2+t2＝2t2，
AE2＝[3+（1﹣t）]2＝（4﹣t）2，
DE2＝（1﹣t+3﹣t）2+t2＝（4﹣2t）2+t2，
①当AD＝AE时，2t2＝（4﹣t）2，
∴t＝4﹣4（负值舍去）；
②当AD＝DE时，2t2＝（4﹣2t）2+t2，
∴t＝或4（舍去）；
③当AE＝DE时，（4﹣t）2＝（4﹣2t）2+t2，
∴t＝0（舍去）或2；
综上，t的值为4﹣4或或2．
五．全等三角形的判定与性质（共1小题）
8．（2023•青岛二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，点E，F为对角线BD上的两点，且EB＝DF，AF＝CE．连接AE，CF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
①AB＝BC；
②∠ABD＝∠CBD．
选择的条件：　①或②　（填写序号）．
（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分）

【答案】（1）证明见解答；
（2）选择条件①，四边形AECF是菱形，证明见解答；
选择条件②，四边形AECF是菱形，证明见解答．
【解答】（1）证明：∵EB＝DF，
∴EB+EF＝DF+EF，
∴BF＝DE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SSS），
∴∠ABF＝∠CDE，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）解：选择条件①，四边形AECF是菱形，
证明：∵AF＝CE，AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AB＝CD，AB＝BC，
∴CD＝BC，
∴∠CBE＝∠CDF，
∵∠ABE＝∠CDF，
∴∠ABE＝∠CBE，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
∴四边形AECF是菱形．
选择条件②，四边形AECF是菱形，
证明：∵AF＝CE，AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ABD＝∠CBD，∠ABD＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∵AB＝CD，
∴AB＝CB，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
∴四边形AECF是菱形．
六．矩形的性质（共1小题）
9．（2023•即墨区二模）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠EAC＝∠BAC，CE⊥AE，交AD于点F，连接DE、OF．
（1）求证：OF⊥AC；
（2）连接AE，CF，已知 　①　（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AODE的形状，并证明你的结论．
条件①：∠BAC＝2∠ACB；
条件②：三角形ABO是等边三角形．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）

【答案】（1）证明见解析；（2）①，四边形AODE是菱形，证明见解析．
【解答】（1）证明：∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠AEC＝90°，AO＝CO，
∵∠EAC＝∠BAC，
∴△AEC≌△ABC（AAS），
∴∠ACE＝∠ACB，
∵∠FAC＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠FAC，
∴FA＝FC，
∵OA＝OC，
∴FO⊥AC；
（2）选择①，四边形AODE是菱形，
证明：∵∠BAC＝2∠ACB，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠DAC＝∠ACB＝30°，∠BAO＝60°，
∴∠BAO＝∠CAE＝60°，
∵四边形ABCD是矩形ABCD，
∴OA＝DO，AC＝BD，
∴∠DAC＝∠ADO＝30°，
∴∠EAD＝∠CAE﹣∠DAC＝30°，
∴∠EAD＝∠ADO，
∴AE∥OD，
∵AE＝AB＝AC＝DB＝OD，
∴四边形AODE是平行四边形，
又∵OA＝DO，
∴四边形AODE是菱形．
七．四边形综合题（共3小题）
10．（2023•即墨区二模）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝5cm，CD＝3cm，AE＝1cm，∠ABC＝60°，点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，PE交DA的延长线于点F，连接BD，PQ，QF；设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5）．
解答下列问题：
（1）当t为何值时，点C在PQ的垂直平分线上？
（2）设△PQF的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使△PQF的面积是平行四边形ABCD面积的？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使PF⊥PQ？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由．

【答案】（1）；
（2）y＝；
（3）1或；
（4）．
【解答】解：（1）由题意可知，BP＝2t，PC＝5﹣2t，CQ＝t，
当C在PQ的垂直平分线上时，△PCQ为等腰三角形，
∴CP＝CQ，
即5﹣2t＝t，
解得：t＝；
（2）过点Q作QM⊥BC交BC延长线于M，QN⊥AD于N，

∵▱ABCD中，BC＝AD＝5cm，AB＝CD＝3cm，∠ADC＝∠ABC＝60°，AB∥CD，
∴∠MCQ＝∠ABC＝60°，
∴QN＝QDsin∠ADC＝，QM＝QCsin∠MCQ＝，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠FAE＝∠ABC，∠AFE＝∠EPB，
∴△AEF∽△BEP，
∴，
∴AF＝t，
∴＝﹣，，
∵S△PQF＝S梯形PCDF﹣S△DFQ﹣S△PCQ，
∴y＝＝；
（3）∵，，
∴，
解得：t1＝1，t2＝，
当t＝1或时，△PQF的面积是平行四边形ABCD面积的；
（4）过点F作FH⊥BC交AB于G，

则AG＝2t，BG＝3﹣2t，BH＝﹣t，
∴PH＝BP﹣BH＝3t﹣，FH＝，
∵CM＝CQ＝t，
∴PM＝5﹣2t+t＝﹣t+5，
当PF⊥PQ时，△PFH∽△QPM，
∴，
即，
解得：（舍去），，
当t＝时，PF⊥PQ．
11．（2023•市北区二模）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝16cm，BD＝12cm．点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；直线PE平行BD，与AD边相交于点E，与AC边相交于点M；点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s，QF⊥BC，垂足为F．设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）求证：△APM≌△CQF；
（2）设多边形PEQFB的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）连接DQ，将线段DQ绕点D逆时针旋转，旋转角的度数等于∠ADC的度数，Q的
对应点为R，连接OR，则在Q的运动时间内，是否存在OR的最小值？存在请直接给出t
的值；不存在请说明理由．
​
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）y＝﹣t2+t+48（0＜t＜8）；
（3）t＝．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴∠PAM＝∠QCF，
∵PE⊥BD，
∴∠AMP＝∠AOB＝90°，
∵QF⊥CB，
∴∠CFA＝∠AMP＝90°，
∵AP＝CQ＝t，
∴△APM≌△CQF（AAS）；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC＝8，OB＝OD＝6．
∴AB＝BC＝CD＝AD＝＝10，
∴PM＝AP•sin∠BAO＝t，AM＝t，
同法EM＝t，CF＝t．FQ＝t，
∴y＝菱形ABCD的面积﹣△APE的面积﹣△CFQ的面积﹣四边形CQED的面积
＝×16×12﹣×t×t﹣×t×t﹣[48﹣×（16﹣t）×t]
＝﹣t2+t+48（0＜t＜8）．

（3）解：存在．
理由：如图，连接AR，过点D作DK⊥CB于点K．

∵菱形ABCD的面积＝BC•DK＝9.6，
∴DK＝9.6，
∴CK＝＝＝2.8，
∴cos∠DCB＝＝＝，
∵∠ADC＝∠RDQ，
∴∠ADR＝∠CDQ，
∵DA＝DC，DR＝DQ，
∴△ADR≌△CDQ（SAS），
∴AR＝CQ，∠DAR＝∠DCQ，
∵∠DAC＝∠DCA＝∠ACB，
∴∠CAR＝∠DCK，
∴点在射线AR上运动，当OR⊥AR时，OR的值最小，此时CQ＝AR＝OA•cos∠OAR＝8×cos∠DCK＝8×＝，
∴t＝．
12．（2023•崂山区二模）已知：如图1，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，AD＝DC＝8cm，BC＝6cm，连接BD，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．
（1）当t为何值时，点D在线段PQ的垂直平分线上？
（2）延长PQ交BC于点E（如图2），若四边形APEB是平行四边形．求t的值；
（3）设△DPQ的面积为ycm2，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；
（4）是否存在某一时刻t，使得PQ与BD的夹角为45°？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；
（2）；
（3）y＝﹣t2+t，最大值为；
（4）．
【解答】解：（1）当点D在PQ的垂直平分线上时，DP＝DQ，
则有2t＝8﹣t，
解得t＝；
（2）∵∠C＝90°，BC＝6cm，CD＝8cm，
∴BD＝＝＝10（cm），
∴四边形APEB是平行四边形，
∴AP＝BE＝t，
∵DP∥BE，
∴＝，
∴＝，
解得t＝．
经检验t＝是分式方程的解．
∴满足条件的t的值为；
（3）如图1中，过点Q作QT⊥AD于点T．

∵AD∥BC，
∴∠QDT＝∠DBC，
∴sin∠QDT＝sin∠DBC＝＝＝，
∴QT＝QD•sin∠QDT＝t，
∴y＝•DP•QT＝×DP×QT＝×（8﹣t）×t＝﹣t2+t＝﹣（t﹣4）2+，
∵﹣＜0，
∴t＝4时，y有最大值，最大值为；
（4）如图，∵∠PQB＞∠ADC，∠ADB＝∠DBC＞45°，
∴∠PQB＞45°，
当∠PQD＝45°时，过点P作PT⊥QD于点T．

由题意，PD＝8﹣t，DT＝PD•cos∠PDT＝（8﹣t），PT＝QT＝PD•sin∠PDT＝（8﹣t），
∵DQ＝2t，
∴（8﹣t）+（8﹣t）＝2t，
解得t＝．
∴满足条件的t的值为．
八．圆的综合题（共2小题）
13．（2023•崂山区二模）【问题提出】如图1，△ABC为⊙O内接三角形，已知BC＝a，圆的半径为R，探究a，R，sin∠A之间的关系．
【解决问题】如图2，若∠A为锐角，连接BO并延长交⊙O于点D，连接DC，则∠A＝∠D，在△DBC中，BD为⊙O直径，BC＝a，所以BD＝2R，∠BCD＝90°．
所以在Rt△DBC中建立a，R，sinD的关系为 　sinD＝　．
所以在⊙O内接三角形△ABC中，a，R，sinA之间的关系为 　sinA＝　．
类比锐角求法，当∠A为直角和钝角时都有此结论．
【结论应用】
已知三角形△ABC中，∠B＝60°，AC＝4，则△ABC外接圆的面积为 　　．

【答案】【解决问题】sinD＝，sinA＝；
【结论应用】．
【解答】解：【解决问题】△ABC的外接圆半径为R，连接BO并延长交⊙O于点D，连接DC，则∠D＝∠A，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
在Rt△DBC中，
∵sinD＝，
∴sinA＝．
故答案为：sinD＝，sinA＝；
【结论应用】∵∠B＝60°，AC＝4，
∴sinB＝，
∴，
∴R＝，
∴△ABC外接圆的面积为＝．
故答案为：．
14．（2023•青岛二模）阅读材料：如图1，△ABC的周长为l，内切圆O的半径为r，连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积．
∵S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OCA
又∵S△OAB＝AB•r，S△OBC＝BC•r，S△OCA＝CA•r
∴S△ABC＝AB•r+BC•r+CA•r＝l•r（可作为三角形内切圆半径公式）
（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径；
（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图2）且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；
（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1、a2、a3、…、an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵5，12，13为边长的三角形为直角三角形，
∴S＝×5×12＝30，周长l＝5+12+13＝30，
∵S＝l•r，
∴30＝×30×r，
解得：r＝2；

（2）连接OA，OB，OC，OD，并设内接圆半径为r，
∵S四边形ABCD＝S△OAB+S△OBC+S△OCD+S△ODA＝a•r+b•r+c•r+d•r＝（a+b+c+d）•r．
∴r＝；

（3）猜想：r＝．

九．作图—复杂作图（共1小题）
15．（2023•青岛二模）已知：如图，线段a．求作：Rt△ABC，使AB＝AC，且BC＝a．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，△ABC为所作．

一十．相似形综合题（共1小题）
16．（2023•青岛二模）材料阅读：
如图1，AD是△ABC的高，点E，F分别在边AB和AC上，且EF∥BC，由“相似三角形对应高的比等于对应边的比”可以得到以下结论：．
拓展应用：
（1）如图2，在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为8，在△ABC内放一个正方形MNGH，使其一边GH在BC上，点M，N分别在AB，AC上，则正方形MNGH的边长＝　　；
（2）某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为120cm的等腰三角形展台，现需将展台用平行于底边的隔板隔开，每层间的间隔为10cm，再将每一层尽可能多的分隔成若干个开口为正方形的长方体格子，要求每个格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是第0层隔板的长度；
①在分隔的过程中发现，当隔板厚度忽略不计时，每层平行于底边的隔板长度（单位：cm）随着层数（单位：层）的变化而变化．请完成下表：
层数/层
0
1
2
3
…
隔板长度/cm
120
　105　
　90　
　75　
…
②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？

【答案】（1）正方形的边长为；
（2）①105，90，75；
②最多可以摆放40瓶葡萄酒．
【解答】解：（1）如图2，过点A作AD⊥BC于D，交MN于G，

由阅读理解的结论可得：，
设正方形的边长为x，
∴，
∴x＝，
∴正方形的边长为；
故答案为：；
（2）①如图3﹣1，过点A作AD⊥BC于D，

∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝60cm，
∴AD＝＝＝80（cm），
分别设第1、第2、第3层的隔板长为y1，y2，y3，
由阅读理解的结论可得：，，，
解得：y1＝105，y2＝90，y3＝75，
故答案为：105，90，75；
②若用n表示层数，y表示每排的隔板长度，则y与n的关系式为y＝120﹣15n，
当n＝1时，隔板长105cm，
∴可以作正方体的个数＝105÷10≈10（个），
当n＝2时，隔板长90cm，
∴可以作正方体的个数＝90÷10＝9（个），
当n＝3时，隔板长75cm，
∴可以作正方体的个数＝75÷10≈7（个），
当n＝4时，隔板长60cm，
∴可以作正方体的个数＝60÷10＝6（个），
当n＝5时，隔板长45cm，
∴可以作正方体的个数＝45÷10≈4（个），
当n＝6时，隔板长30cm，可以作正方体的个数为30÷10＝3（个），
当n＝7时，隔板长15cm，可以作正方体的个数为15÷10≈1（个），
当n＝8时，隔板长0cm，可以作正方体的个数为0个，
第1排最多可以摆放10瓶葡萄酒，第2排最多可以摆放9瓶葡萄酒，第3排最多可以摆放7瓶葡萄酒，第4排最多可以摆放6瓶葡萄酒，第5排最多可以摆放4瓶葡萄酒，第6排最多可以摆放3瓶葡萄酒，第7排最多可以摆放1瓶葡萄酒，
∴10+9+7+6+4+3+1＝40（瓶），
综上所述：最多可以摆放40瓶葡萄酒．
一十一．频数（率）分布直方图（共1小题）
17．（2023•崂山区二模）《教育部等五部门关于全面加强和改进新时代学校卫生与健康教育工作的意见》要求：保障学生每天校内、校外各1个小时体育活动时间，某学校分别随机调查了男、女学生各100名，统计他们上周平均每天校外体育锻炼的时间，锻炼时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：x≥90；B组：80≤x＜90；C组：70≤x＜80；D组：60≤x＜70；E组：0≤x＜60），将数据进行分析，得到如下统计：
①100名男生B组学生上周平均每天校外体育锻炼时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80；
②100名男生上周平均每天校外体育锻炼时间条形统计图如图；
③100名女生上周平均每天校外体育锻炼时间分布扇形统计图如图；
④调查的男、女同学上周平均每天校外体育锻炼时间的平均数、中位数、众数如表．
性别
平均数
中位数
众数
女生
81.3
79.5
82
男生
81.3
b
83
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）根据以上信息填空：a＝　10　，b＝　80　，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据分析，你认为男生和女生上周校外锻炼情况那个更好，请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校有男同学800名，女同学1000名，请估计该校上周平均每天校外体育锻炼时间在80分钟以上（含80分钟）的学生一共有多少人．

【答案】（1）10，80，补全条形统计图见解析；
（2）男生，理由见解析；
（3）924人．
【解答】解：（1）根据扇形统计图可知，B组女生所占百分比为×100%＝40%，A组女生所占百分比为1﹣40%﹣25%﹣18%﹣7%＝10%，即a＝10，
B组男生人数为100﹣14﹣28﹣13﹣6＝39，补全条形统计图如下：

由条形统计图可知，男生的中位数在B组，将100名男生上周平均每天体育锻炼时间从高到低排列，排在第50，51的两个数据为：80，80，
∴其中位数b＝＝80，
故答案为：10，80；
（2）男生上周锻炼情况更好．
理由：男生上周平均每天体育锻炼时间的中位数、众数均大于女生；
（3）800×+1000×（10%+40%）＝924（人），
答：估计该校上周平均每天校外体育锻炼时间在80分钟以上（含80分钟）的学生一共有924人．