人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示教学设计

6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示

(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第6章)

一、教学目标

1. 掌握平面向量加、减运算的坐标表示；

2. 会用坐标求两向量的和、差

二、教学重难点

1. 教学重点：平面向量加、减运算的坐标表示；

2. 教学难点：根据平面向量加、减运算的坐标表示求点的坐标。

三、教学过程

1.1 复习回顾，温故知新

1.问题1：平面向量的基本定理是什么？

若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

2.问题2：用坐标表示向量的基本原理是什么？

设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y).

【设计意图】通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

2.情景引入、探索新知

问题3：如图，取与 轴、 轴同向的两个单位向量作为基底，

分别用 表示OA，OB，并求出它们的坐标.

问题4：向量的坐标呢？

答案：法一：直接用定义对向量做正交分解

法二：把向量的起点移到原点的位置，终点C的坐标（4，-2）就是向量的坐标

问题5：能不能其他的方法进行求解呢？这就是我们今天要探索的向量坐标的简单运算

二、探索新知

思考1：已知，你能得到的坐标吗？

【答案】

即

同理可得。

这就是说，两个向量和（或差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

【设计意图】通过思考，得到向量加法、减法的坐标表示，提高学生分析问题、推理能力。

例1.已知的坐标。

解：

【设计意图】通过例题讲解，让学生明白怎样求向量加法、减法的坐标运算，提高学生解决问题的能力。

练习1：在下列小题中，已知向量    的坐标，分别求 的坐标.

【答案】

探究：如图，已知，你能得出的坐标吗？

【答案】=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).

结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.

在刚才的那道题中

如图所示：两点的坐标分别为

由计算公式得：

练习2：在下列小题中，已知两点的坐标，分别求 的坐标.

【答案】

【设计意图】通过探究，总结如何由向量起点、终点坐标求向量的坐标，提高学生解决问题的能力。

例2：如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标.

【设计意图】通过例题进一步理解向量加法、减法的坐标运算，提高学生解决问题的能力。

变式：如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，试求顶点的坐标.

解：共有三种情况（1）B与D互为补角即例2中的结果

（2）A与D互为补角:

设点D 的坐标为,点D 的坐标为

（2）C与D互为补角:

设点D 的坐标为, 点D 的坐标为

综上所述：点D 的坐标为、、

【设计意图】通过对例题进行变式，让学生体会不同题干对问题的影响，提高学生审题能力，此题有多种情况，可以提高学生分类讨论能力的培养，提高学生解决问题的能力。

三、达标检测：

1．点A(1，－3)，的坐标为(3，7)，则点B的坐标为(　　)

A．(4，4)　　　　　 B．(－2，4)

C．(2，10) D．(－2，－10)

【解析】　设点B的坐标为(x，y)，由＝(3，7)＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，得B(4，4)．

【答案】　A

2.若向量＝(1，2)，＝(3，4)，则等于(　　)

A．(4，6) B．(－4，－6)

C．(－2，－2) D．(2，2)

【解析】　由＝＋＝(1，2)＋(3，4)＝(4，6)．故选A．

【答案】　A

3.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标.

【解】　如图，正三角形ABC的边长为2，

则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，

∴C(1，)，D，

∴＝(2，0)，＝(1，)，

＝(1－2，－0)＝(－1，)，

＝＝.

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

四、小结

1·向量坐标表示加减运算：

2·向量的坐标表示方法：

①    定义法：分别向坐标轴引垂线.

②    原点法：向量起点放到原点，终点的坐标

③    两点法：终点的坐标-起点坐标。

【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。