高考数学一轮复习作业本8.4 椭圆（含答案）

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2020高考数学(理数)复习作业本8.4 椭圆一         、选择题1.已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8=0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为(　　)A．(－3，0)　          B．(－4，0)        C．(－10，0)           D．(－5，0) 2.设F1，F2分别为椭圆＋=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(　　)A.              B．             C.               D． 3.已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是(　　)A.（0.5,2）           B.(1,+∞)         C.(1,2)              D.（0.5,1） 4.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则该椭圆的离心率是(　　)A.              B．             C.            D． 5.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-2,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C的方程为(　　)A.                                          B.                                          C.                                          D. 6.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=6，则椭圆C的方程为(　　)A.＋=1           B．＋=1         C.＋=1           D．＋=1  7.已知点F1，F2分别是椭圆E：=1的左、右焦点，P为E上一点，直线1为∠F1PF2的外角平分线，过点F2作l的垂线，垂足为M，则|OM|=（　　）A.10                           B.8                           C.5                             D.4 8.椭圆＋=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是(　　)A.            B．          C.            D． 二         、填空题9.设椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为     .                                          10.若椭圆＋=1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________． 11.如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是　　　　.  12.已知P为椭圆＋=1(a＞b＞0)上一点，F1，F2是其左、右焦点，∠F1PF2              取最大值时，cos∠F1PF2=，则椭圆的离心率为________．           三         、解答题13.已知A(x0，0)，B(0，y0)两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P(x，y)满足=2＋.(1)求动点P的轨迹C的标准方程；(2)直线l：x=ty＋1与曲线C交于A，B两点，E(－1，0)，试问：当t变化时，是否存在一条直线l，使△ABE的面积为2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．             14.已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O,离心率等于,以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4.直线l:y=kx+m与y轴交于点P,与椭圆E相交于A、B两个点.(1)求椭圆E的方程;(2)若=3,求m2的取值范围.                    15.已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e=，直线l交椭圆于M，N两点．(1)若直线l的方程为y=x－4，求弦MN的长；(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．                  16.已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的离心率为，左焦点为F(－1，0)，过点D(0，2)且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)在y轴上，是否存在定点E，使·恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．               
答案解析1.答案为：D.解析：∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2=1，∴圆心坐标为(3，0)，∴c=3.又b=4，∴a==5.∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的左顶点为(－5，0)．  2.答案为：B.解析：由题意知a=3，b=，c=2.设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2，因为OM⊥F1F2，所以PF2⊥F1F2，所以|PF2|==.又因为|PF1|＋|PF2|=2a=6，所以|PF1|=2a－|PF2|=，所以=×=，故选B.3.答案为：C；4.答案为：D.解析：不妨令椭圆方程为＋=1(a＞b＞0)．因为以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，所以2b=，即a=3b，则c==2b，则该椭圆的离心率e==.故选D.5.答案为：B；6.答案为：C.解析：由题意可得c=5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P=∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′=90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|===8，由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|=2a=6＋8=14，从而a=7，得a2=49，于是b2=a2－c2=72－52=24，所以椭圆C的方程为＋=1，故选C.  7.C.8.答案为：C.解析：设椭圆的右焦点为E，由椭圆的定义知△FMN的周长为L=|MN|＋|MF|＋|NF|=|MN|＋(2－|ME|)＋(2－|NE|)．因为|ME|＋|NE|≥|MN|，所以|MN|－|ME|－|NE|≤0，当直线MN过点E时取等号，所以L=4＋|MN|－|ME|－|NE|≤4，即直线x=a过椭圆的右焦点E时，△FMN的周长最大，此时S△FMN=×|MN|×|EF|=××2=，故选C.9.答案为：.10.答案为：＋=1；解析：由题意可知e==，2b=4，得b=2，所以解得所以椭圆的标准方程为＋=1.11.答案为：；12.答案为：；解析：易知∠F1PF2取最大值时，点P为椭圆＋=1与y轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a2－=4c2，即a=c，所以椭圆的离心率e==.13.解：(1)因为=2＋，即(x，y)=2(x0，0)＋(0，y0)=(2x0，y0)，所以x=2x0，y=y0，所以x0=x，y0=y，又|AB|=1，所以x＋y=1，即＋=1，即＋=1，所以动点P的轨迹C的标准方程为＋=1.(2)由方程组得(3t2＋4)y2＋6ty－9=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2=－，y1y2=－＜0，所以|y1－y2|===.因为直线x=ty＋1过点F(1，0)，所以S△ABE=|EF||y1－y2|=×2×=，令=2，则t2=－，不成立，故不存在满足题意的直线l.14.解：15.解：(1)由已知得b=4，且=，即=，∴=，解得a2=20，∴椭圆方程为＋=1.则4x2＋5y2=80与y=x－4联立，消去y得9x2－40x=0，∴x1=0，x2=，∴所求弦长|MN|=|x2－x1|=.(2)设椭圆右焦点F的坐标为(2，0)，线段MN的中点为Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知=2，又B(0，4)，∴(2，－4)=2(x0－2，y0)，故得x0=3，y0=－2，即得Q的坐标为(3，－2)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2=6，y1＋y2=－4，且＋=1，＋=1，以上两式相减得＋=0，∴kMN==－·=－×=，故直线MN的方程为y＋2=(x－3)，即6x－5y－28=0.16.解：(1)由已知可得可得a2=2，b2=1，所以椭圆C的标准方程为＋y2=1.(2)设过点D(0，2)且斜率为k的直线l的方程为y=kx＋2，由消去y整理得(1＋2k2)x2＋8kx＋6=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=－，x1x2=.又y1y2=(kx1＋2)(kx2＋2)=k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4=－，y1＋y2=(kx1＋2)＋(kx2＋2)=k(x1＋x2)＋4=.设存在点E(0，m)，则=(－x1，m－y1)，=(－x2，m－y2)，所以·=x1x2＋m2－m(y1＋y2)＋y1y2=＋m2－m×－=.要使·=t(t为常数)，只需=t，从而(2m2－2－2t)k2＋m2－4m＋10－t=0，即解得m=，从而t=，故存在定点E，使·恒为定值.