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2022-2023学年陕西省咸阳市武功县八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年陕西省咸阳市武功县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省咸阳市武功县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 若x
3. 如图，在△ABC中，AB=2，将△ABC以点A为旋转中心按逆时针方向旋转60°，得到△AB′C′，连接BB′，则BB′等于( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. x(a−b)=ax−bx B. y2−1=(y+1)(y−1)
C. x2−2x=x(x−2x) D. ax+bx+c=x(a+b)+c
5. 如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是( )
A. AB=36m B. MN//AB C. MN=12CB D. CM=12AC
6. 若关于x的方程x+ax+3−2x+3=0有增根，则a的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 如图，在△ABC中，点I到△ABC的三边距离相等，连接AI、BI，若∠ACB=70°，则∠AIB的大小为( )
A. 160°
B. 140°
C. 130°
D. 125°
8. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：
①CF=AE；
②OE=OF；
③四边形ABCD是平行四边形；
④OC=OB
其中正确结论的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9. 使分式1x−4有意义的x的取值范围是 ．
10. 因式分解：x(x+2)−x−2= ______ ．
11. 将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是______ ．
12. 如图，函数y=kx+b(k<0)的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b<3的解集为______ ．
13. 如图，在▱ABCD中，AC⊥CD，延长DC到点E，使CE=CD，连接AE，若∠B=60°，AB=2 3，则△ADE的周长为______．
三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. (本小题5.0分)
因式分解：9y−25x2y.
15. (本小题5.0分)
解分式方程：xx+2+4x2−4=1．
16. (本小题5.0分)
如图，已知学校A、B在道路MN的异侧，在MN上建公交站P，使得点P到A、B的距离相等，请用尺规作图法确定点P的位置.(保留作图痕迹，不写作法)
17. (本小题5.0分)
已知：如图，在四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，AD=BC，∠D=∠DCE.求证：四边形ABCD是平行四边形．
18. (本小题5.0分)
如图，在四边形ABDC中，AC=AB，∠ACD=∠ABD，连接BC，求证：CD=BD．
19. (本小题5.0分)
解不等式组：x−2(x−1)≤1①1+2x3>x−1②并把解集表示在数轴上．
20. (本小题5.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，EF的中点，求证：GH⊥EF．
21. (本小题6.0分)
先化简，再求值；3m+6m2+4m+4÷m−2m+2+12−m，其中m=5．
22. (本小题7.0分)
在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
(1)画出将△ABC向左平移5个单位长度后得到的图形△A1B1C1；
(2)画出△ABC关于原点O中心对称的图形△A2B2C2，并写出点C的对应点C2的坐标．
23. (本小题7.0分)
我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图1可以用来解释a2+2ab+b2=(a+b)2，现有足够多的正方形卡片1号、2号，长方形卡片3号，如图3．
(1)根据如图2完成因式分解：2a2+2ab= ______ ；
(2)现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张，在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为______ ；(用含a、b的式子表示)
(3)图1中的1号和2号卡片所占面积之和为S1，两个3号卡片所占面积之和为S2，求证：S1−S2≥0．
24. (本小题8.0分)
如图，△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，且CE=BD，连接AD，AE，DE．
(1)求证：AB//CE；
(2)试判断△ADE的形状，并说明理由．
25. (本小题8.0分)
“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，为了感受大自然，描绘大自然的美景，李老师打算为学生购买画笔(单位：盒)与画板(单位：个)两种写生工具数量若于.已知用340元购买画笔与用300元购买画板的数量相同，且每个画板的单价比每盒画笔的单价少2元．
(1)请问购买一盒画笔和一个画板各需要多少元？
(2)根据班级需要，购买画笔盒数和画板个数总共为30，且购买这些写生工具的总费用不超过475元，求至少购买画板多少个？
26. (本小题10.0分)
如图，点M是△ABC的边AB上一点，连接CM，过A作AD⊥CM于点D，过B作BE⊥CM于点E．
(1)如图①，若点M为AB的中点时，连接AE，BD，求证：四边形ADBE是平行四边形；
(2)如图②，若点M不是AB的中点，点O是AB上不与M重合的一点，连接DO，EO，已知点O在DE的垂直平分线上，求证：AO=BO．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】A
【解析】解：∵由x
故选：A．
根据不等式的性质2得出答案即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
3.【答案】B
【解析】解：由旋转得：AB=AB′=2，∠BAB′=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∴BB′=AB=AB′=2，
故选：B．
根据旋转的性质可得：AB=AB′=2，∠BAB′=60°，从而可得△ABB′是等边三角形，然后利用等边三角形的性质即可解答．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A.x(a−b)=ax−bx，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.y2−1=(y+1)(y−1)，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C.x2−2x=x(x−2)，因式分解错误，故本选项不符合题意；
D.ax+bx+c=x(a+b)+c，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据因式分解的定义判断即可．
本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
5.【答案】C
【解析】解：∵M，N为AC，BC的中点，
∵CM=12AC，MN为△ABC的中位线，
∴MN//AB，MN=12AB，
∵MN=18m，
∴AB=36m，
故A、B、D正确，
故选：C．
根据三角形的中位线定理即可判断；
本题考查的是三角形的中位线定理在实际生活中的运用，锻炼了学生利用几何知识解答实际问题的能力．
6.【答案】D
【解析】解：去分母，得x+a−2=0，
将增根x=−3代入上式，
得−3+a−2=0，
解得a=5，
故选：D．
去分母，得x+a−2=0，将增根x=−3代入上式，即可求出a的值．
本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程增根的含义是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵∠ACB=70°，
∴∠CAB+∠CBA=180°−∠C=110°，
∵点I到△ABC的三边距离相等，
∴AI平分∠CAB，BI平分∠ABC，
∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=12∠CBA，
∴∠IAB+∠IBA=12(∠CAB+∠CBA)=55°，
∴∠AIB=180°−(∠IAB+∠IBA)=125°，
故选：D．
根据三角形内角和定理可得∠CAB+∠CBA=110°，再根据角平分线性质定理的逆定理可得AI平分∠CAB，BI平分∠ABC，然后利用角平分线的性质可得∠IAB=12∠CAB，∠IBA=12∠CBA，从而可得∠IAB+∠IBA=55°，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线性质定理的逆定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵DE=BF，
∴DE−EF=BF−EF，
即DF=BE，
在Rt△DCF和Rt△BAE中，
DF=BECD=AB，
∴Rt△DCF≌Rt△BAE(HL)，
∴CF=EA，故①正确；
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴AE//FC，
∵CF=AE，
∴四边形CFAE是平行四边形，
∴OE=OF，故②正确；
∵Rt△DCF≌Rt△BAE，
∴∠CDF=∠ABE，
∴CD//AB，
∵CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC与OB不一定相等．故④不正确．
其中正确结论的个数是3个，
故选：C．
根据平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质分别判断即可．
本题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质等知识，证明Rt△DCF≌Rt△BAE是解题的关键．
9.【答案】x≠4
【解析】解：根据题意得：x−4≠0，解得：x≠4，
故答案为：x≠4
根据分式有意义的条件：分母不等于0即可求解．
本题主要考查了分式有意义的条件，是一个基础题．
10.【答案】(x+2)(x−1)
【解析】解：x(x+2)−x−2
=x(x+2)−(x+2)
=(x+2)(x−1)．
故答案为：(x+2)(x−1)．
先把原式化为x(x+2)−(x+2)，再利用提公因式法分解因式即可．
本题考查的是提公因式法分解因式，正确的确定公因式是解本题的关键．
11.【答案】30°
【解析】解：∵图中六边形为正六边形，
∴∠ABO=(6−2)×180°÷6=120°，
∴∠OBC=180°−120°=60°，
∵正方形中，OC⊥CD，
∴∠OCB=90°，
∴∠BOC=180°−90°−60°=30°，
故答案为：30°．
根据多边形内角和及正多边形性质求得∠ABO的度数，从而求得∠OBC的度数，再结合正方形性质及三角形内角和定理即可求得答案．
本题主要考查多边形的内角和及正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】x>−1
【解析】解：观察一次函数图象可知，当y<3时，x的取值范围是x>−1，
则不等式kx+b<3的解集为x>−1，
故答案为：x>−1．
观察一次函数图象，可知当y<3时，x的取值范围是x>−1，据此即可得到答案．
本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题关键．
13.【答案】12 3
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2 3，
又∵CE=CD，
∴DE=4 3，
∵AC⊥CD，CE=CD，
∴AC垂直平分DE，
∴AD=AE，
又∵▱ABCD中，∠B=60°=∠D，
∴△ADE是等边三角形，
∴△ADE的周长为3×4 3=12 3，
故答案为：12 3．
先依据平行四边形的性质，即可得到DE的长，再根据△ADE是等边三角形，即可得到△ADE的周长．
本题主要考查了平行四边形的性质以及等边三角形的判定与性质，解题时注意：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等．
14.【答案】解：原式=y(9−25x2)
=y(3+5x)(3−5x)．
【解析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
15.【答案】解：方程两边同乘以(x+2)(x−2)，得
x(x−2)+4=(x+2)(x−2)，
解得：x=4，
经检验：x=4是原方程的解．
所以原方程的解为x=4．
【解析】方程两边同乘以(x+2)(x−2)，可以把分式方程转化为整式方程求解．
本题考查了解分式方程，解题的关键是注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．(2)解分式方程一定注意要验根．
16.【答案】解：如图，点P即为所求．
【解析】连接AB，作线段AB的垂直平分线交MN与点P，点P即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17.【答案】证明：∵∠D=∠DCE，
∴AD//BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】先证AD//BC，再由四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证．
此题考查了平行四边形的判定、平行线的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
18.【答案】证明：∵AC=AB，
∴∠ACB=ABC，
∵∠ACD=∠ABD，
∴∠ACD−∠ACB=∠ABD−∠ABC，
∴∠BCD=∠CBD，
∴CD=BD．
【解析】根据等腰三角形的性质解答即可．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：由①得：x≥1，
由②得：x<4，
∴不等式组的解集为1≤x<4，
解集表示在数轴上，如图所示：
【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
20.【答案】证明：∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
∴FG=12AD，EG=12BC，
∵AD=BC，
∴FG=GE，
∵H是EF的中点，
∴GH⊥EF．
【解析】根据三角形中位线的性质得到FG=12AD，EG=12BC，由AD=BC，于是得到FG=GE，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了三角形的中位线的性质，等腰三角形的判定和性质，少了掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．
21.【答案】解：原式=3(m+2)(m+2)2⋅m+2m−2+12−m
=3m+2⋅m+2m−2−1m−2
=3m−2−1m−2
=2m−2，
当m=5时，原式=25−2=23．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m=5代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求；点C2的坐标为(−3,−2)．
【解析】(1)根据平移的性质即可画出将△ABC向左平移5个单位长度后得到的图形△A1B1C1；
(2)根据中心对称的性质即可画出△ABC关于原点O中心对称的图形△A2B2C2，进而写出点C的对应点C2的坐标．
本题主要考查了作图−旋转变换，平移变换，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．
23.【答案】2a(a+b) a+2b
【解析】解：(1)原式=2a(a+b)，
故答案为：2a(a+b)；
(2)根据题意，如下图所示：
∴大正方形的边长为a+2b；
(3)证明：根据题意，
得S1=a2+b2，S2=2ab，
则S1−S2=a2+b2−2ab=(a−b)2
∵(a−b)2>0，
∴S1−S2≥0．
(1)观察图象可知：大正方形面积等于两个小正方形的面积和加上两个长方形面积和即可得到结论：
(2)观察图象可知：大长方形面积等丁两个正方形面积加上两个长方形面积，即可得到结论：
(3)由完全平方公式的非负性可得结论．
本题考查完全平方公式和几何图形的应用，主要考查学生的画图能力和计算能力．
24.【答案】(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，AB=AC，
即∠ACD=120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE=60°，
∴∠BAC=∠ACE=60°，
∴AB//CE；
(2)解：△ADE是等边三角形，理由如下：
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠B=∠ACEBD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
又∠BAC=60°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADE为等边三角形．
【解析】(1)由等边三角形的性质可得∠BAC=∠B=∠ACB=60°，AB=AC，由角平分线的性质可得∠ACE=∠DCE=60°，可得结论；
(2)由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得AD=AE，∠BAD=∠CAE，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设购买一盒画笔需要x元，一个画板需要(x−2)元，
根据题意，得340x=300x−2，
解得x=17．
经检验：x=17是原方程的解，
则x−2=15．
答：购买一盒画笔需要17元，一个画板需要15元；
(2)设购买画板a个，则购买画笔(30−a)个，
根据题意有17(30−a)+15a≤475，
解得：a≥17.5，
∵根据题意可知a为整数，
∴a的最小值为18．
答：至少购买画板18个．
【解析】(1)设购买一盒画笔需要x元，一个画板需要(x−2)元，根据“用340元购买画笔与用300元购买画板的数量相同”列出方程并解答；
(2)设最少购买画板a个，则购买画笔(30−a)个，根据题意可列出关于a的一元一次不等式，解出a的解集，结合其实际意义即得出答案．
本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式和不等式是解题关键．
26.【答案】证明：(1)∵AD⊥CM，BE⊥CM．
∴AD//BE，
∴∠ADM=∠BEM=90°，
∵点M为AB的中点，
∴AM=BM，
在△ADM和△BEM中，
∠ADM=∠BEM∠AMD=∠BMEAM=BM，
∴△ADM≌△BEM(AAS)，
∴AD=BE，
∴四边形ADBE是平行四边形；
(2)如图②，延长DO交BE于F，
∵AD⊥CM，BE⊥CM．
∴AD//BE，∠BEM=90°，
∴∠DAO=∠FBO，∠ODE+∠OFE=∠DEO+∠FEO=90°，
∵点O在DE的垂直平分线上，
∴DO=EO，
∴∠ODE=∠DEO，
∴∠OFE=∠FEO，
∴FO=EO，
∴DO=FO，
在△ADO和△BFO中，
∠DAO=∠FBO∠AOD=∠BOFDO=FO，
∴△ADO≌△BFO(AAS)，
∴AO=BO．
【解析】(1)证△ADM≌△BEM(AAS)，得AD=BE，再由平行四边形的判定即可得出结论；
(2)延长DO交BE于F，由线段垂直平分线的性质得DO=EO，再证FO=EO，则DO=FO，然后证△ADO≌△BFO(AAS)，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
2022-2023学年陕西省咸阳市武功县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 若x
3. 如图，在△ABC中，AB=2，将△ABC以点A为旋转中心按逆时针方向旋转60°，得到△AB′C′，连接BB′，则BB′等于( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. x(a−b)=ax−bx B. y2−1=(y+1)(y−1)
C. x2−2x=x(x−2x) D. ax+bx+c=x(a+b)+c
5. 如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是( )
A. AB=36m B. MN//AB C. MN=12CB D. CM=12AC
6. 若关于x的方程x+ax+3−2x+3=0有增根，则a的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 如图，在△ABC中，点I到△ABC的三边距离相等，连接AI、BI，若∠ACB=70°，则∠AIB的大小为( )
A. 160°
B. 140°
C. 130°
D. 125°
8. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：
①CF=AE；
②OE=OF；
③四边形ABCD是平行四边形；
④OC=OB
其中正确结论的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9. 使分式1x−4有意义的x的取值范围是 ．
10. 因式分解：x(x+2)−x−2= ______ ．
11. 将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是______ ．
12. 如图，函数y=kx+b(k<0)的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b<3的解集为______ ．
13. 如图，在▱ABCD中，AC⊥CD，延长DC到点E，使CE=CD，连接AE，若∠B=60°，AB=2 3，则△ADE的周长为______．
三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. (本小题5.0分)
因式分解：9y−25x2y.
15. (本小题5.0分)
解分式方程：xx+2+4x2−4=1．
16. (本小题5.0分)
如图，已知学校A、B在道路MN的异侧，在MN上建公交站P，使得点P到A、B的距离相等，请用尺规作图法确定点P的位置.(保留作图痕迹，不写作法)
17. (本小题5.0分)
已知：如图，在四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，AD=BC，∠D=∠DCE.求证：四边形ABCD是平行四边形．
18. (本小题5.0分)
如图，在四边形ABDC中，AC=AB，∠ACD=∠ABD，连接BC，求证：CD=BD．
19. (本小题5.0分)
解不等式组：x−2(x−1)≤1①1+2x3>x−1②并把解集表示在数轴上．
20. (本小题5.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，EF的中点，求证：GH⊥EF．
21. (本小题6.0分)
先化简，再求值；3m+6m2+4m+4÷m−2m+2+12−m，其中m=5．
22. (本小题7.0分)
在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
(1)画出将△ABC向左平移5个单位长度后得到的图形△A1B1C1；
(2)画出△ABC关于原点O中心对称的图形△A2B2C2，并写出点C的对应点C2的坐标．
23. (本小题7.0分)
我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图1可以用来解释a2+2ab+b2=(a+b)2，现有足够多的正方形卡片1号、2号，长方形卡片3号，如图3．
(1)根据如图2完成因式分解：2a2+2ab= ______ ；
(2)现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张，在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为______ ；(用含a、b的式子表示)
(3)图1中的1号和2号卡片所占面积之和为S1，两个3号卡片所占面积之和为S2，求证：S1−S2≥0．
24. (本小题8.0分)
如图，△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，且CE=BD，连接AD，AE，DE．
(1)求证：AB//CE；
(2)试判断△ADE的形状，并说明理由．
25. (本小题8.0分)
“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，为了感受大自然，描绘大自然的美景，李老师打算为学生购买画笔(单位：盒)与画板(单位：个)两种写生工具数量若于.已知用340元购买画笔与用300元购买画板的数量相同，且每个画板的单价比每盒画笔的单价少2元．
(1)请问购买一盒画笔和一个画板各需要多少元？
(2)根据班级需要，购买画笔盒数和画板个数总共为30，且购买这些写生工具的总费用不超过475元，求至少购买画板多少个？
26. (本小题10.0分)
如图，点M是△ABC的边AB上一点，连接CM，过A作AD⊥CM于点D，过B作BE⊥CM于点E．
(1)如图①，若点M为AB的中点时，连接AE，BD，求证：四边形ADBE是平行四边形；
(2)如图②，若点M不是AB的中点，点O是AB上不与M重合的一点，连接DO，EO，已知点O在DE的垂直平分线上，求证：AO=BO．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】A
【解析】解：∵由x
故选：A．
根据不等式的性质2得出答案即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
3.【答案】B
【解析】解：由旋转得：AB=AB′=2，∠BAB′=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∴BB′=AB=AB′=2，
故选：B．
根据旋转的性质可得：AB=AB′=2，∠BAB′=60°，从而可得△ABB′是等边三角形，然后利用等边三角形的性质即可解答．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A.x(a−b)=ax−bx，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.y2−1=(y+1)(y−1)，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C.x2−2x=x(x−2)，因式分解错误，故本选项不符合题意；
D.ax+bx+c=x(a+b)+c，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据因式分解的定义判断即可．
本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
5.【答案】C
【解析】解：∵M，N为AC，BC的中点，
∵CM=12AC，MN为△ABC的中位线，
∴MN//AB，MN=12AB，
∵MN=18m，
∴AB=36m，
故A、B、D正确，
故选：C．
根据三角形的中位线定理即可判断；
本题考查的是三角形的中位线定理在实际生活中的运用，锻炼了学生利用几何知识解答实际问题的能力．
6.【答案】D
【解析】解：去分母，得x+a−2=0，
将增根x=−3代入上式，
得−3+a−2=0，
解得a=5，
故选：D．
去分母，得x+a−2=0，将增根x=−3代入上式，即可求出a的值．
本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程增根的含义是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵∠ACB=70°，
∴∠CAB+∠CBA=180°−∠C=110°，
∵点I到△ABC的三边距离相等，
∴AI平分∠CAB，BI平分∠ABC，
∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=12∠CBA，
∴∠IAB+∠IBA=12(∠CAB+∠CBA)=55°，
∴∠AIB=180°−(∠IAB+∠IBA)=125°，
故选：D．
根据三角形内角和定理可得∠CAB+∠CBA=110°，再根据角平分线性质定理的逆定理可得AI平分∠CAB，BI平分∠ABC，然后利用角平分线的性质可得∠IAB=12∠CAB，∠IBA=12∠CBA，从而可得∠IAB+∠IBA=55°，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线性质定理的逆定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵DE=BF，
∴DE−EF=BF−EF，
即DF=BE，
在Rt△DCF和Rt△BAE中，
DF=BECD=AB，
∴Rt△DCF≌Rt△BAE(HL)，
∴CF=EA，故①正确；
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴AE//FC，
∵CF=AE，
∴四边形CFAE是平行四边形，
∴OE=OF，故②正确；
∵Rt△DCF≌Rt△BAE，
∴∠CDF=∠ABE，
∴CD//AB，
∵CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC与OB不一定相等．故④不正确．
其中正确结论的个数是3个，
故选：C．
根据平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质分别判断即可．
本题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质等知识，证明Rt△DCF≌Rt△BAE是解题的关键．
9.【答案】x≠4
【解析】解：根据题意得：x−4≠0，解得：x≠4，
故答案为：x≠4
根据分式有意义的条件：分母不等于0即可求解．
本题主要考查了分式有意义的条件，是一个基础题．
10.【答案】(x+2)(x−1)
【解析】解：x(x+2)−x−2
=x(x+2)−(x+2)
=(x+2)(x−1)．
故答案为：(x+2)(x−1)．
先把原式化为x(x+2)−(x+2)，再利用提公因式法分解因式即可．
本题考查的是提公因式法分解因式，正确的确定公因式是解本题的关键．
11.【答案】30°
【解析】解：∵图中六边形为正六边形，
∴∠ABO=(6−2)×180°÷6=120°，
∴∠OBC=180°−120°=60°，
∵正方形中，OC⊥CD，
∴∠OCB=90°，
∴∠BOC=180°−90°−60°=30°，
故答案为：30°．
根据多边形内角和及正多边形性质求得∠ABO的度数，从而求得∠OBC的度数，再结合正方形性质及三角形内角和定理即可求得答案．
本题主要考查多边形的内角和及正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】x>−1
【解析】解：观察一次函数图象可知，当y<3时，x的取值范围是x>−1，
则不等式kx+b<3的解集为x>−1，
故答案为：x>−1．
观察一次函数图象，可知当y<3时，x的取值范围是x>−1，据此即可得到答案．
本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题关键．
13.【答案】12 3
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2 3，
又∵CE=CD，
∴DE=4 3，
∵AC⊥CD，CE=CD，
∴AC垂直平分DE，
∴AD=AE，
又∵▱ABCD中，∠B=60°=∠D，
∴△ADE是等边三角形，
∴△ADE的周长为3×4 3=12 3，
故答案为：12 3．
先依据平行四边形的性质，即可得到DE的长，再根据△ADE是等边三角形，即可得到△ADE的周长．
本题主要考查了平行四边形的性质以及等边三角形的判定与性质，解题时注意：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等．
14.【答案】解：原式=y(9−25x2)
=y(3+5x)(3−5x)．
【解析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
15.【答案】解：方程两边同乘以(x+2)(x−2)，得
x(x−2)+4=(x+2)(x−2)，
解得：x=4，
经检验：x=4是原方程的解．
所以原方程的解为x=4．
【解析】方程两边同乘以(x+2)(x−2)，可以把分式方程转化为整式方程求解．
本题考查了解分式方程，解题的关键是注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．(2)解分式方程一定注意要验根．
16.【答案】解：如图，点P即为所求．
【解析】连接AB，作线段AB的垂直平分线交MN与点P，点P即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17.【答案】证明：∵∠D=∠DCE，
∴AD//BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】先证AD//BC，再由四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证．
此题考查了平行四边形的判定、平行线的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
18.【答案】证明：∵AC=AB，
∴∠ACB=ABC，
∵∠ACD=∠ABD，
∴∠ACD−∠ACB=∠ABD−∠ABC，
∴∠BCD=∠CBD，
∴CD=BD．
【解析】根据等腰三角形的性质解答即可．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：由①得：x≥1，
由②得：x<4，
∴不等式组的解集为1≤x<4，
解集表示在数轴上，如图所示：
【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
20.【答案】证明：∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
∴FG=12AD，EG=12BC，
∵AD=BC，
∴FG=GE，
∵H是EF的中点，
∴GH⊥EF．
【解析】根据三角形中位线的性质得到FG=12AD，EG=12BC，由AD=BC，于是得到FG=GE，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了三角形的中位线的性质，等腰三角形的判定和性质，少了掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．
21.【答案】解：原式=3(m+2)(m+2)2⋅m+2m−2+12−m
=3m+2⋅m+2m−2−1m−2
=3m−2−1m−2
=2m−2，
当m=5时，原式=25−2=23．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m=5代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求；点C2的坐标为(−3,−2)．
【解析】(1)根据平移的性质即可画出将△ABC向左平移5个单位长度后得到的图形△A1B1C1；
(2)根据中心对称的性质即可画出△ABC关于原点O中心对称的图形△A2B2C2，进而写出点C的对应点C2的坐标．
本题主要考查了作图−旋转变换，平移变换，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．
23.【答案】2a(a+b) a+2b
【解析】解：(1)原式=2a(a+b)，
故答案为：2a(a+b)；
(2)根据题意，如下图所示：
∴大正方形的边长为a+2b；
(3)证明：根据题意，
得S1=a2+b2，S2=2ab，
则S1−S2=a2+b2−2ab=(a−b)2
∵(a−b)2>0，
∴S1−S2≥0．
(1)观察图象可知：大正方形面积等于两个小正方形的面积和加上两个长方形面积和即可得到结论：
(2)观察图象可知：大长方形面积等丁两个正方形面积加上两个长方形面积，即可得到结论：
(3)由完全平方公式的非负性可得结论．
本题考查完全平方公式和几何图形的应用，主要考查学生的画图能力和计算能力．
24.【答案】(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，AB=AC，
即∠ACD=120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE=60°，
∴∠BAC=∠ACE=60°，
∴AB//CE；
(2)解：△ADE是等边三角形，理由如下：
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠B=∠ACEBD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
又∠BAC=60°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADE为等边三角形．
【解析】(1)由等边三角形的性质可得∠BAC=∠B=∠ACB=60°，AB=AC，由角平分线的性质可得∠ACE=∠DCE=60°，可得结论；
(2)由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得AD=AE，∠BAD=∠CAE，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设购买一盒画笔需要x元，一个画板需要(x−2)元，
根据题意，得340x=300x−2，
解得x=17．
经检验：x=17是原方程的解，
则x−2=15．
答：购买一盒画笔需要17元，一个画板需要15元；
(2)设购买画板a个，则购买画笔(30−a)个，
根据题意有17(30−a)+15a≤475，
解得：a≥17.5，
∵根据题意可知a为整数，
∴a的最小值为18．
答：至少购买画板18个．
【解析】(1)设购买一盒画笔需要x元，一个画板需要(x−2)元，根据“用340元购买画笔与用300元购买画板的数量相同”列出方程并解答；
(2)设最少购买画板a个，则购买画笔(30−a)个，根据题意可列出关于a的一元一次不等式，解出a的解集，结合其实际意义即得出答案．
本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式和不等式是解题关键．
26.【答案】证明：(1)∵AD⊥CM，BE⊥CM．
∴AD//BE，
∴∠ADM=∠BEM=90°，
∵点M为AB的中点，
∴AM=BM，
在△ADM和△BEM中，
∠ADM=∠BEM∠AMD=∠BMEAM=BM，
∴△ADM≌△BEM(AAS)，
∴AD=BE，
∴四边形ADBE是平行四边形；
(2)如图②，延长DO交BE于F，
∵AD⊥CM，BE⊥CM．
∴AD//BE，∠BEM=90°，
∴∠DAO=∠FBO，∠ODE+∠OFE=∠DEO+∠FEO=90°，
∵点O在DE的垂直平分线上，
∴DO=EO，
∴∠ODE=∠DEO，
∴∠OFE=∠FEO，
∴FO=EO，
∴DO=FO，
在△ADO和△BFO中，
∠DAO=∠FBO∠AOD=∠BOFDO=FO，
∴△ADO≌△BFO(AAS)，
∴AO=BO．
【解析】(1)证△ADM≌△BEM(AAS)，得AD=BE，再由平行四边形的判定即可得出结论；
(2)延长DO交BE于F，由线段垂直平分线的性质得DO=EO，再证FO=EO，则DO=FO，然后证△ADO≌△BFO(AAS)，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
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