数学人教版9年级上册第22单元精准教学★★★★★题库

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数学人教版9年级上册
第22单元精准教学★★★★★题库
一、单选题
1．如图，函数与的图象如图所示，以下结论正确的是（    ）

A． B．
C． D．当时，
2．二次函数的图象开口向上，与x轴的交点坐标为和，下列说法正确的是（   ）
A． B．时，y的值随x值增大而减小
C．对称轴是直线 D．
3．已知二次函数，当时，y的最大值为，则a的值为（     ）
A．或6 B．0或6 C．或2 D．2或6
4．在平面直角坐标系中，已知函数，，其中a，b是正实数，且，设，的图象与x轴交点个数分别是M，N，则（    ）
A．或或 B．或
C．或 D．或或
5．已知二次函数的图像如图所示，有以下4个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，等腰直角三角形的直角边与正方形的边长都为，且在同一直线上，开始时A点与M点重合，让向右平移，直到点C与点N重合．设阴影部分面积为，的长为，则y与x之间的函数关系的图象大致是（    ）

A． B． C． D．
7．如图，二次函数的对称轴为直线，下列判断正确的是（　　）

A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．如图，二次函数的图象与x轴相交于，B两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（   ）

A． B．当时，y的值随x值的增大而增大
C．点B的坐标为 D．
9．已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤ （的实数）其中正确结论有（   ）个

A．2 B．3 C．4 D．5
10．已知抛物线（是常数，且）过点如果当时，则；若时，则；则的值是（    ）
A． B． C． D．
11．已知关于x的二次函数的与x轴的交点坐标是和，其中a，b，c，d均为常数，则关于x的二次函数与x轴的交点坐标是（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
12．抛物线过四个点，若，，，四个数中有且只有一个小于零，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
13．对于任意的实数m、n，定义符号的含义为m，n之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，x的取值范围为（    ）
A．或 B．或 C． D．或
14．如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）；（3）；（4）.你认为其中错误的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
15．已知二次函数，点，（）是图象两点，下列说法正确的是（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
16．在同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
17．抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）

A．
B．方程的两个根是
C．
D．若，则x的取值范围是
18．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价元，销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个；销售单价每上涨1元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，则下列等式正确的是（    ）
A． B．
C． D．
19．如图，已知抛物线的对称轴为直线．有下列结论：①②③④⑤若，则时的函数值小于时的函数值．其中结论正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为，另一条直角边的长为，图②中的较小正方形面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）

A．一次函数关系，反比例函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
21．如果关于x的分式方程有整数解，且二次函数的图象与x轴有交点，那么符合条件的所有整数m的个数有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
22．已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有3个交点时，m的值是（　　）

A． B． C．或3 D．或
23．二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③当时，y的值随x值的增大而增大；④；⑤．其中正确的结论有（    ）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
24．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②；③图象与x轴的另一个交点坐标为；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；⑤．其中正确的结论个数是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5
25．如图，在中，，，．动点在线段上从顶点出发以每秒1个单位的速度向终点点运动，动点在线段上从顶点出发以每秒2个单位的速度向终点运动，两点同时出发，有一点到达终点后两点都停止运动．设运动的时间为秒，的面积为，则关于的函数图像大致是　　

A． B． C． D．
26．如图所示，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于x的一元二次方程的一个根．其中正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
27．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中含所有正确结论的选项是（　　）

A．①③ B．①③④ C．②④⑥ D．①③④⑤
28．若数a使二次函数的图象与y轴的交点纵坐标为非正数，且使关于x的不等式组有解且最多只有三个整数解，则符合条件的所有整数a的个数为（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
29．如图，在等边中，，动点D从点B出发，以1cm/s的速度沿方向运动．同时动点E从点B出发以相同的速度沿方向运动，当点D运动到点A时，点E也随之停止运动．连接，将沿折叠，点B的对称点为点F，设点D的运动时间为t秒，与重叠部分的面积为y，则下列图象能大致反映y与t之间函数关系的是（    ）

A． B． C． D．
30．已知二次函数的图像如图所示，则一次函数的图像可能是（    ）

A． B． C． D．
二、填空题
31．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是_____．

32．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有__________（填写所有正确结论的序号）．

33．如图，抛物线交x轴于点A，B（A在B的左侧），交y轴的正半轴于点C，抛物线的对称轴为直线，点D在点B的右侧，直线的解析式为．下列结论①；②；③；④．其中正确的是________．

34．若三点，，中恰有两点在抛物线（且，均为常数）的上，下列结论：①抛物线的对称轴是直线；②当时，则的取值范围是：；③若和都是抛物线上的点且，则；则下列结论正确的是______．（填序号）
35．如图，抛物线交x轴分别于点，，交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C．下列结论：①；②；③当是等边三角形时，；④若方程有四个根，则这四个根的和为．其中，正确结论的序号为______．

36．已初二次函数(a，b，c为常数，)的图象开口向下，对称轴为直线，且与x轴的一个交点在点，之间，下列结论正确的是_________(填写序号)．
①；②；③(m是一个常数)；④若方程(m是一个常数)的根为，则．
37．二次函数的图象交x轴于点和．下列四个命题：①当时，；②若，则；③将抛物线向左平移2个单位，向下平移2个单位，所得抛物线解析式为；④图象上有两点和，若，且，则，其中真命题的有___________．
38．如图，已知抛物线与抛物线的图象相交于点P，过P作x轴的平行线分别交于点M、N，则的值是 _____．

39．如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是______．

40．如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个顶点落在抛物线上．按此规律类推，第2023个正方形的边长是______．

三、解答题
41．在平面直角坐标系中，设函数，（m，n为常数，且）．
(1)若函数与y轴交点坐标为，求函数的对称轴；
(2)若函数过点和点，求b的最大值；
(3)若，且函数的图象经过的顶点，求证．
42．如图，在水平地面点处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为，小武在直线上点（靠点一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，已知米，米，网球飞行最大高度米，圆柱形桶的直径为米，高为米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．

(1)求该抛物线对应的函数关系式．
(2)当网球能落入桶内时，求竖直摆放圆柱形桶的个数．
43．“味香园”葡萄基地是宁波市最大的葡萄生产基地，“味香园”葡萄以品种多，质量好而声名远播．某“味香园”农户准备将“巨峰”和“美人指”两种葡萄装箱销售，推出了两种方案：2千克“巨峰”和3千克“美人指”装一箱按批发价每箱98元；3千克“巨峰”和2千克“美人指”装一箱按批发价每箱92元．
(1)求“巨峰”和“美人指”两种葡萄批发价每千克分别是多少元？
(2)某经销商在“味香园”按批发价购入一批“巨峰”葡萄进行销售，经调查发现：当销售价为每千克24元进行销售时，每天能卖出80千克；销售单价每降价0.2元，每天能多卖出4千克．求销售价定为每千克多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少元？
44．已知抛物线与轴相交于，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的对称轴．
(2)当时，的是大值为5．
①求抛物线的解析式；
②将点向上平移4个单位长度得到点，作直线，已知点在直线上，将点向右平移8个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个交点，求点的横坐标的取值范围．
45．已知直线l：经过点．
(1)求直线l的解析式；
(2)若点在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点，且开口向下．
①求m的取值范围；
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点也在G上时，求m的值；并直接写出此时G在的图象对应纵坐标的取值范围．
46．如图，已知点C为二次函数的顶点，点为y轴正半轴上一点，过点P作y轴的垂线交函数图像于点A，B（点A在点B的左侧）.点M在射线上，且满足.过点M作交抛物线于点N，记点N的纵坐标为.

(1)求顶点C的坐标.
(2)①若，求MB的值.
②当时，求的取值范围.
47．如图，抛物线与直线交于A，B两点（点A在点B的左侧），该抛物线的对称轴是直线．

(1)若点在该抛物线上，求抛物线的解析式；
(2)当，且时，求抛物线的最大值与最小值的差；
(3)已知M是直线AB上的动点，将点M向上平移2个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线有公共点，请直接写出点M的横坐标m的取值范围．
48．如图，在正方形中，E为的中点．以A为原点，、所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系．正方形的边长是4．点P从点B出发，沿向点D运动，同时点Q从点E出发．沿向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为x秒．的面积为y．

(1)求y关于x的函数关系式，以及x的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出y的图像，并写出一条函数的性质；
(3)当是以为底边的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
49．如图，在四边形中，，，，，是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），点、同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动．连接，．已知点在其运动路径上的速度始终为每秒1个单位长度，点在其运动路径上的速度始终为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒，的面积为，的面积为．

(1)请求出和关于的函数解析式，并说明的取值范围；
(2)在图2中画出关于的函数图象，并写出一条这一函数的性质：________；
(3)若，请结合函数图像直接写出的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
50．在平面直角坐标系中，二次函数的图像的顶点D的坐标为，该图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1．

(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点是该二次函数的图像上一动点，求的最小值．
51．某加工厂加工某海产品的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
(1)当每千克降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
(2)求出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大利润为多少元？
(3)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
52．某公园有一喷水装置，从点向前上方喷水，喷出的水柱为抛物线，如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点落在轴上，轴上的点处竖立着立柱，，水柱经上升后下降恰好落在立柱顶端处，此时水柱所在的抛物线的函数表达式为．

(1)求喷水装置的长和立柱离喷水装置的水平距离的长；
(2)当减弱喷水强度使得抛物线水柱正好落在立柱的中点处，问此时水柱的最高点离喷水装置的水平距离比原来近了多少米？
53．如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于B、C两点，抛物线经过B、C两点，且交x轴于另一点．点D为抛物线在第一象限内的一点，过点D作，交于点P，交x轴于点Q．

(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在，求出m值；
(3)在抛物线上取点E，在平面直角坐标系内取点F，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
54．在平面直角坐标系中，抛物线过点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在轴是否存在一个动点，使是以为腰的等腰三角形，若存在，求出点的坐标；
(3)平移抛物线，平移后的顶点为，如果，设直线，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线的均随的增大而增大，求的取值范围．
55．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点C的坐标为．

(1)求抛物线的关系式；
(2)已知P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．若，的面积为S．
①求S与m之间的函数关系式．
②当S取得最大值时，求点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点P，使为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
56．设二次函数（是常数，）．
(1)若，求该函数图象顶点坐标．
(2)若该二次函数图象经过，，，，，三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．
(3)若二次函数图象经过两点，当时，，求的取值范围．
57．已知抛物线经过点，与x轴的另一个交点为B，且点A在点B的左边．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，该抛物线上存在一点M，当，请求出点M的坐标；
(3)抛物线的对称轴与x轴的交点为N，若点P为抛物线在x轴上方的一动点，过点P作直线分别交抛物线的对称轴于点E、F，记的面积分别为和．点P在运动过程中，判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
58．如图1，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点是二次函数图象的顶点，是轴下方线段上一点与端点不重合，过点分别作轴的垂线和平行线，垂足为，平行线交直线于点．

(1)若反比例函数的图象正好过点，求的值；
(2)求当面积最大时，点的坐标；
(3)如图2，将二次函数关于轴对称得到新抛物线，的顶点为，再将沿直线的方向平移得到新抛物线，的顶点为．在平移过程中，是否存在一个合适的位置，使得是一个直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
59．已知二次函数经过点，，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．

(1)求此二次函数解析式；
(2)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
60．如图1，在平面直角坐标系中．二次函数的图象与轴交于、两点，点在原点的右侧，点的坐标为，与轴交于，点是直线下方的抛物线上一动点．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)设点的横坐标为，如图2，连接，．记，求关于的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)当点M运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时M点的坐标和四边形的最大面积．

参考答案
1．C
2．D
3．A
4．D
5．C
6．B
7．B
8．D
9．B
10．C
11．A
12．D
13．D
14．D
15．A
16．D
17．D
18．D
19．C
20．C
21．A
22．D
23．C
24．B
25．D
26．B
27．D
28．C
29．A
30．B
31．
32．①③④
33．①②④
34．/
35．①②④
36．③④
37．②③④
38．
39．
40．
41．（1）解：，函数与y轴交点坐标为，
，即，
，
∴函数的对称轴为：；
（2）解：，
∴函数的对称轴为：，
∵函数过点和点，
∴函数的对称轴为：，
，即，
，
，
∴b的最大值为4；
（3）解：∵，
∴函数的顶点坐标为：，
又∵函数的图象经过的顶点，
∴把代入得：，
，
，
，即，
，
．
42．（1）解：如图所示，以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
由题意得，，，，，
设抛物线的解析式为，
∵抛物线过点和点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为；

（2）解：当时，；当时，，
∴，在抛物线上；
设竖直摆放圆柱形桶个时网球可以落入桶内，
由题意，得，，
解得：；
∵为整数，
∴可取的值有，，，
∴当竖直摆放圆柱形桶至个或或时，网球能落入桶内
43．（1）解：设“巨峰”批发价每千克x元，“美人指”批发价每千克y元，
由题意可得：，
解得：，
∴“巨峰”批发价每千克16元，“美人指”批发价每千克22元；
（2）设销售价定为每千克a元，每天的利润为w元，
由题意可得：，
∵，
∴开口向上，
∴当时，即销售价为每千克22元时，最大，且为720元．
44．（1）解：∵，，则，
∴抛物线的对称轴为直线．
（2）①由题意，抛物线的解析式可写为．
∵抛物线的对称轴为直线，且，抛物线开口向上，
∴当时，在处，有最小值，
当时，，当时，，
∴在处，有最大值，
即，解得．
∴抛物线的解析式为．
②当时，，则点的坐标为．
∴点．
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为．
令，解得或．
∴直线与抛物线的另一个交点的坐标为，
则，
结合图象，点在左侧或重合即：当时，线段与抛物线只有一个交点．

点在右侧时，线段在抛物线右侧，不存在交点，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
令，解得，即：．
则，，，
当点在线段时（不含），线段与抛物线必有2各交点，
当点与重合时，即：当时，线段经过抛物线的顶点，也符合题意，线段与抛物线只有一个交点，即，
当点在线段延长线上时，线段在抛物线下方，不存在交点，
综上所述，点的横坐标的取值范围为或．
45．（1）解：把点代入，
得，所以直线l的解析式为：．
（2）解：①∵点在直线l上，
∴，
设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，
∴．
当时，顶点与抛物线过点矛盾，
∴．
当时，，
∵抛物线开口向下，
∴，
∴且；
②∵抛物线的对称轴为直线，也在G上
∴Q点与关于对称，
∴Q点的横坐标为，
又点在直线l上
将代入，
∴，
把点代入，
得，
将点代入，
∴，
∴，解得或．
当时，对称轴，
当，即时，
处取得最大值，，
处取得最小值，，
；
当时，对称轴，
当，即时，
处取得最大值，，
处取得最小值，，

∴或．
46．（1）解：，
顶点的坐标为.
（2）解：①当时，令，，解得，，即点的横坐标为
∴，
∵
∴
∴.
②，
.
当时，的最小值为.
当时，的最大值为6.
.
47．（1）∵抛物线过点，对称轴为直线，
∴
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）当，时，．
∵，
∴当时，y有最大值3．
当时，结合函数图象，当时，y有最小值－6，
∴抛物线的最大值与最小值的差为；
（3）设点N在抛物线上，，，
则，即，
解得，．
当，
整理得，
解得，．
∵点A在点B的左侧，
∴点A的横坐标为－1，点B的横坐标为2．
结合图象，当线段MN与抛物线有公共点时，点M的横坐标m的取值范围为或．
48．（1）∵E为的中点，
∴
由题意得：，
分两种情况：
①时，如图，

由题意得：，，
∴，
；
②时，如图

由题意得：，，
∴，，，
，
∴
，
∴S关关于x的函数关系式为

（2）图象如下：

函数性质：当时，y随着x的增大而增大；
（3）两种情况：
①时，如图：

由题意得：，，
∴，，

当时，，
∴，解得(舍去)或2，
∴，
此时点P的坐标是；
∴当，是以为底边的等腰三角形时，；
②时，如图：

由题意得：，，
∴，，，
，

，
当时，，
∴，解得(舍去)或4，
∴，
∴；
∴当，是以为底边的等腰三角形时，，
综上所述，当是以为底边的等腰三角形时，点P的坐标为或
49．（1）解：作于，

∵，，，则，
∴四边形为矩形，
∴，
由题意可知：，则，，，
∴的面积：，
的面积：，
∵当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动，
则点运动时间最多为：秒，点运动时间最多为：秒，
∴，，；
（2）列表：

1
2
3
4
5

5
8
9
8
5
描点，，，，（用空心圆圈），
画出关于的函数图象如图所示：

，
由此可知：①当时，函数有最大值9；
②当时，随增大而增大，当时，随增大而减小；
故答案为：当时，函数有最大值9（答案不唯一）；
（3）∵，
∴，即，即：，
只需在图像中找到在上方部分对应的的值即可，
由图可知两函数的交点横坐标约为1.5，其右侧部分在上方
∴当时，的取值范围为
50．（1）∵图像与x轴相交于点A，且点A的横坐标为1，
∴，
∵二次函数的图像的顶点D的坐标为，
∴设二次函数的解析式为，
把点代入，得：
∴，
∴二次函数的解析式为：；
（2），
∵是该二次函数的图像上一点，
∴，
∴
=
=
=
∵，
∴，即的最小值为．
51．（1）解：当每千克降价2元时，
工厂每天的利润为元；
（2）设降价元，工厂每天所获利润为，
由题意得：，
，
时，最大为9800，
即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元；
（3）根据题意得：，
解得：，，
让利于民，
不合题意，舍去，
定价应为（元），
答：定价应为43元．
52．（1）解：∵水柱所在的抛物线的函数表达式为，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
答：喷水装置的长2米，立柱离喷水装置的水平距离的长为米．
（2）解：∵减弱喷水强度使得抛物线水柱正好落在立柱的中点，，，
∴，
∴根据抛物线的对称性即可得到点关于对称轴对称，
∴，，
∴，
∴此时对称轴为，
∵水柱恰好落在立柱顶端处，此时水柱所在的抛物线的函数表达式为．
∴，
∴对称轴为：，
∴水柱的最高点离喷水装置的水平距离比原来近了：（米），
答：减弱喷水强度使得抛物线水柱正好落在立柱的中点处，问此时水柱的最高点离喷水装置的水平距离比原来近了米．

53．（1）解：一次函数，
当时，，即，
当时，，解得，即，
把，代入得，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）解：，，
，
，
，
，
，
点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，
当时，，解得或（舍去），
则．
（3）解：存在，求解如下：
设点的坐标为，
①当四边形是矩形时，则，
∵直线的解析式为，
∴设直线的解析式为，
把点代入得，
直线的解析式为，
联立，解得或（即为点，舍去），
，
四边形是矩形，且，，，
，解得，
则此时点的坐标为；
②当四边形是矩形时，则，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得或（即为点，舍去），
，
四边形是矩形，且，，，
，解得，
则此时点的坐标为，
综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或．
54．（1）解：∵抛物线过点，，
∴把点，代入解析式，
可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵动点在轴上，
∴设点的坐标为，
∵是以为腰的等腰三角形，
当时，
∵，，
∴，，
∴，
解得：或，
∴点的坐标为或；
（3）解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，即点为原抛物线的顶点，
∵平移后的抛物线的顶点为，
∴抛物线向右平移了个单位，
∴，
解得：，
当时，
即平移后的抛物线的对称轴为直线，
∵在直线的右侧原抛物线和新抛物线的均随的增大而增大，
∴；
当时，
即平移后的抛物线的对称轴为直线，
∵在直线的右侧原抛物线和新抛物线的均随的增大而增大，
∴，
∴满足，
∴在直线的右侧原抛物线和新抛物线的均随的增大而增大，的取值范围为．
55．（1）解：直线是抛物线的对称轴，且点的坐标为，
，，
，
抛物线的解析式为：；
（2）解：①∵
∴．
∵令，则，
解得，
∴．
∵点，点，
∴直线的解析式为．
∵点P在直线上，且轴于点D，，
∴点，
∴．
∴S与m之间的函数关系式为；
②∵
∴当时，S有最大值为，
此时
把代入，得
∴
∴当时，S有最大值为，此时．
（3）解：存在满足条件的点P，点P的坐标为或．
理由如下：
设，则，，
所以，
，
，
若，即，
解得（舍去），
所以点P；
若，即，
解得（舍去），
所以点P；
若，即，
解得或，均不合题意，故舍去，
所以点P的坐标为或．
56．（1）解∶当时，二次函数，
∴顶点坐标为；
（2）解：当时，，因此二次函数不过，点，
当时，，因此二次函数不过，点，
故抛物线过点，，代入得，，
解得，
抛物线的关系式为；
（3）解：∵，
∴，
∵当时，，
∴，
∴即，
∴即，
解得．
57．（1）∵抛物线经过点，
∴把代入得，
，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）①若点M在上方时，
∵抛物线的表达式为：,
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴轴，
即点M、C关于抛物线对称轴对称，
∴点；
②当点M在下方时，直线与x轴交于点Q，
令，则，
解得，
∴，

设
∵，
∴，
∴，
解得:，
∴，
设直线的解析工为，
把代入得，，
∴直线的解析工为，
令，解得，，
当时，，
∴，

综上，点M的坐标为或
（3）存在，理由：
设点E、F的纵坐标分别为：，

∵抛物线的对称轴为直线，且
∴
设点P的坐标为：，其中，
由点A、P的坐标得，直线的表达式为：，
同理可得，直线的表达式为：，
当时，，即，
当时，，
∵，，
即，
即存在最小值为：．
58．（1），
，，
根据题意，反比例函数的图象过点，，
；
（2）联立方程，
解得或，
，，，，
点的坐标为，，
设直线的解析式为，
，
，
直线的表达式为，
设，，
当时，，
故点，
，
，
当时，的面积最大，
故点；
（3）存在；
，，
，，
直线的表达式为，
则设点向右平移个单位，则向下平移了个单位，故点 ，，
由点，，的坐标，
得，，，
①当是斜边时，，
解得，
或
②当是斜边时，，
解得，
；
③当是斜边时，，
解得，
；
点的坐标为，或，或，或，．
59．（1）解：二次函数经过点、，
根据题意，得，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）存在．
对称轴为直线．
①若以为底边，则，
设点坐标为，根据勾股定理可得，，
因此，
即．
又点在抛物线上，
，
即，
解得，，应舍去，
，
，
即点坐标为，．
②若以为一腰，
点在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点与点关于直线对称，
此时点坐标为．
符合条件的点坐标为，或．

60．（1）把，代入得：
，
解得，
二次函数的表达式为；
（2）过作轴于点，轴于点，如图：

点的横坐标为，
，
，，
，
点是直线下方的抛物线上一动点，
，
；
（3）由（2）知，四边形面积，
解得，，
，
，
，
，
当时，，取最大值18，
此时，
当点运动到时，四边形的面积最大为18．