2023年广东省深圳市龙岗区爱义学校中考一模数学试题（解析版）

这是一份2023年广东省深圳市龙岗区爱义学校中考一模数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了 下列计算正确是，25左右，等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省深圳市龙岗区爱义学校中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（　　）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，
又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
2. 国产C919飞机，全称，是我国按照国际民航规章自行研制、具有自主知识产权的大型喷气式民用飞机，座级158-168座，最大航程达．数据5555000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法，进行表示即可．
【详解】解：；
故选B．
【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法：，n为整数，是解题的关键．
3. 下列计算正确是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的运算法则，合并同类项法则逐个进行计算即可．
【详解】解：A．，选项A不符合题意；
B．，选项B不符合题意；
C．，选项C符合题意；
D．，选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的运算法则，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方；合并同类项，字母和相同字母是指数不变，只把系数相加减．
4. 在不透明布袋中装有除颜色外其它完全相同的红、白玻璃球，其中白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数约为（　　）
A. 15个 B. 20个 C. 25个 D. 30个
【答案】B
【解析】
【分析】根据频率估计概率问题可直接进行求解．
【详解】∵通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，
∴摸到红色球的概率为0.25，
∵布袋中装有除颜色外其它完全相同的红、白玻璃球两种，
∴摸到白色球的概率为，
∵有白色球60个，
∴球的总个数为：，
∴红球个数约为，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题的关键．
5. 小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级7名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下：14，15，13，13，18，15，15.请问阅读课外书数量的众数是（ ）
A. 13 B. 14 C. 15 D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数进行解答即可．
【详解】解：因为这组数据中15出现了3次，出现的次数最多，
所以这组数据的众数是15．
故选：C．
【点睛】本题考查了众数的概念，熟记概念是解决此题的关键．
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析】分别解出两个不等式再数轴上表示出来即可得到答案．
【详解】解：分别解两个不等式可得，
，
在数轴上表示为： ，
故选：A．
【点睛】本题考查解不等式组及在数轴上表示解集，解题的关键是正确求解两个不等式．
7. 如图，为的切线，A为切点，于点D，交于点C，平分，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据为的切线，得出，则，得出，根据平分，得出，再根据，得出，则，得出为等边三角形，即可求解．
【详解】解：∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，则为等边三角形，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，平行线的判定和性质，角平分线的概念，解题的关键是推出为等边三角形．
8. 下列作线段的垂直平分线的尺规作图，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂直平分线的作法进行判断即可．
【详解】解：A中是角平分线，故不符合要求；
B中是过直线外一点作直线的垂线，故不符合要求；
C中是线段的垂直平分线，故符合要求；
D中是作相等的线段，故不符合要求．
故选：C．
【点睛】本题考查了作垂线，作角平分线，作线段．解题的关键在于熟练掌握垂直平分线的作法．
9. 某市为“加快推进污水管网建设，着力提升居民生活品质”，需要铺设一段全长为米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前天完成这一任务，设原计划每天铺设x米管道，则根据题意，下列方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设原计划每天铺设x米管道，则实际每天铺设管道，根据提前天完成这一任务即原计划时间比实际时间多天列方程即可．
【详解】解：设原计划每天铺设x米管道，则实际每天铺设管道，
根据题意，列方程为：
，
故选：C．
【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题；解题的关键是找对等量关系正确列方程．
10. 如图，点A，B，C，D是上的四点，为的直径，，，垂足为，则和和四边形的面积之比为（ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作的垂线与的延长线交于点，根据圆内接四边形的性质，得出，再根据圆的基本概念，得出，再根据等边对等角，得出，再根据平行线的性质，得出，进而得出，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据平角的定义，得出，进而得出，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据图形的面积，得出，进而得出，再根据比的性质，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作的垂线与的延长线交于点，

∵点A，B，C，D是上的四点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴和和四边形的面积之比为．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆的基本概念、等边对等角、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、比的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理，并正确作出辅助线．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】此多项式可直接采用平方差公式进行分解．
【详解】解：
＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12. 若一次函数图像过点，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数图像与性质，根据题意，将代入一次函数得到关于的一元一次方程，求解即可得到答案．
【详解】解：把点代入一次函数，
，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图像与性质，理解一次函数的图像过点，就是坐标满足一次函数表达式是解决问题的关键．
13. 如图，一根树在离地面3米处断裂，树的顶部落在离底部4米处．树折断之前有______米．

【答案】8
【解析】
【分析】图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．
【详解】解：，，，
树折断之前的高度为8米．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是善于观察题目的信息，利用勾股定理求解．
14. 如图，直线y＝﹣2x+4与x轴，y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，双曲线在第一象限经过点D，将正方形向下平移m个单位后，点C刚好落在双曲线上，则m＝________________．

【答案】3
【解析】
【分析】过点C作 轴于点F，过点D作 轴于点E，作 于G，求出D点坐标，代入双曲线，求出双曲线的解析式，再求出C点坐标，根据平移的性质，得到平移后C点的新坐标，代入双曲线即可求出m的值
【详解】如图，过点C作 轴于点F，过点D作 轴于点E，作 于G，

直线y＝﹣2x+4与x轴，y轴分别相交于点A、B，
当 时， ，即
当 时， ，即
四边形ABCD是正方形，




和 中，


,

D点坐标为（6，2），
把D点坐标代入双曲线 ，得
则双曲线的解析式为：
同理，

且
四边形DEFG是正方形


C点坐标为（4，6）
当正方形向下平移m个单位后，C点坐标变为（4，6-m），代入双曲线，
得 ，
解得 ．
故答案为：3
【点睛】本题考查函数与几何图形的综合知识，难点在于作辅助线把两者连线起来．
15. 在中，，，，点是斜边上一点，过点作，垂足为，交边（或边于点，设，当的面积为时，的值为_____．
【答案】或14##14或
【解析】
【分析】分点在上和上两种情况进行讨论，表示出三角形的面积，根据已知的三角形面积的值得到一元二次方程，求解后根据实际意义取值即可．
【详解】解：当点在上时，
，，，
，
的面积，
的面积为，
，
解得：，（舍去），
当点在上时，
，，
，
，，
，
，
，
，
的面积，
的面积为，
，
解得：，（舍去），
故答案为：或14．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，一元二次方程的应用，注意点在和上分两种情况讨论是解决本题的关键．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先计算特殊角的余弦值，负整数指数幂，利用二次根式的性质化简，再进行四则混合运算即可．
【详解】解：


．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，涉及计算特殊角的余弦值，负整数指数幂，利用二次根式的性质化简．掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
17. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝3．
【答案】．
【解析】
【分析】先将括号里的分式通分，然后按照分式减法法则计算，再根据分式除法法则进行运算即可将分式化简，最后代入字母取值进行计算即可求解.
【详解】解：原式＝，
=，
＝，
当x＝3时，
原式＝．
【点睛】本题主要考查分式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握分式的通分和分式的运算法则.
18. 某学校为了调查学生利用“天天跳绳”APP锻炼身体的使用频率，随机抽取了部分学生，利用调查问卷进行抽样调查：用“A”表示“一周5次”，“B”表示“一周4次”，“C”表示“一周3次”，“D”表示“一周2次”（必须选且只选一项），如图是工作人员根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息回答以下问题：

（1）本次调查中，共调查了多少人？
（2）将图（2）补充完整；
（3）如果该学校有学生1000人，请你估计该学校学生利用“天天跳绳”APP锻炼身体的使用频率是“一周2次”的约有多少人？
【答案】（1）人；（2）补全图形见解析；（3）人
【解析】
【分析】（1）由C组有100人，占比列式计算后可得答案；
（2）先求解B组人数，再补全图形即可；
（3）由总人数1000乘以D组“一周2次”的占比即可得到答案.
【详解】解：（1）由C组有100人，占比 可得：
本次调查中，共调查人.
（2）B组人数有人，
补全图形如下：

（3）该学校有学生1000人，该学校学生利用“天天跳绳”APP锻炼身体的使用频率是“一周2次”的约有：人.
【点睛】本题考查的是从扇形图与条形图中获取信息，补全条形统计图，利用样本估计总体，理解扇形图与条形图中关联信息是解本题的关键.
19. 飞盘运动由于门槛低、限制少，且具有较强的团体性和趣味性，在全国各地悄然兴起，深受年轻人喜爱，某商家拟用620元购进30个海绵飞盘和50个橡胶飞盘，已知橡胶飞盘的进货单价比海绵飞盘的进价单价多6元．
（1）海绵飞盘和橡胶飞盘的进货单价分别是多少元
（2）由于飞盘畅销，商家决定再购进这两种飞盘共300个，其中橡胶飞盘数量不多于海绵飞盘数量的2倍，且每种飞盘的进货单价保持不变，若橡胶飞盘的销售单价为14元，海绵的销售单价为6元，试问第二批购进橡胶飞盘多少个时，全部售完后，第二批飞盘获得利润最大？第二批飞盘的最大利润是多少元？
【答案】（1）海绵飞盘和橡胶飞盘的进货单价分别是4元和10元
（2）第二批购进橡胶飞盘200个时，全部售完后，第二批飞盘获得利润最大，第二批飞盘的最大利润是1000元
【解析】
【分析】（1）设海绵飞盘每个x元，则橡胶飞盘每个元，然后根据用620元购进30个海绵飞盘和50个橡胶飞盘列出方程求解即可；
（2）设第二批购进橡胶飞盘m个，利润为w元，则购进海绵飞盘个，然后根据利润单件利润数量列出w关于m的一次函数关系式，再根据橡胶飞盘数量不多于海绵飞盘数量的2倍求出m的取值范围，即可利用一次函数的性质求解．
【小问1详解】
解：设海绵飞盘每个x元，则橡胶飞盘每个元，
由题意得，，
解得，
∴，
∴海绵飞盘和橡胶飞盘的进货单价分别是4元和10元；
【小问2详解】
解：设第二批购进橡胶飞盘m个，利润为w元，则购进海绵飞盘个，
由题意得，，
∵橡胶飞盘数量不多于海绵飞盘数量的2倍，
∴，
∴，
∵，
∴w随m增大而增大，
∴当时，w最大，最大值为元，
∴第二批购进橡胶飞盘200个时，全部售完后，第二批飞盘获得利润最大，第二批飞盘的最大利润是1000元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际运用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际运用，正确理解题意列出对应的方程和函数关系式是解题的关键．
20. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系，y值越大，表示接受能力越强．
x

0
43
5
53.5
h
k
20
55
30
31

（1）点是二次函数的顶点，则 ， ；
（2）用光滑的曲线在所给的坐标系中画出二次函数的图象；

（3）根据图象，当内，学生的接受能力逐步 （填“增强”，“不变”或“降低”）；，学生的接受能力逐步 （填“增强”，“不变”或“降低”）．
（4）某同学对概念的接受能力达到59时，提出概念所用的时间是多少分钟？
【答案】（1）13，59.9
（2）见解析 （3）增强；降低
（4）10分钟或16分钟
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的解析式将其改写成顶点式的形式即可；
（2）根据表格中的数据描点连线即可；
（3）根据图象解答即可；
（4）令， 求出x的值即可．
【小问1详解】

，
故答案为：13，59.9；
【小问2详解】
如图；
【小问3详解】
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴是直线x=13，
当时，学生的接受能力逐步增强；
当时，学生的接受能力逐步降低．
故答案为：增强；降低；．
【小问4详解】
当时，，
解得，，
某同学对概念的接受能力达到59时，提出概念所用的时间是10分钟或16分钟．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，在解题时注意数形结合思想的运用是解题关键．
21. 在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．

（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为________°．
（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝CD=6，AD＝BC=10，求CE的长．
（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的延长线交BC于点G，且AB＝CD=6，AD＝BC=10，求CG的长．
【答案】（1）18；（2）CE的长为；（3）CG的长为．
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质得∠DAC=36°，根据折叠的性质得∠DAE=18°；
（2）根据 矩形性质得∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，根据折叠的性质得AF＝AD＝10，EF＝ED，根据勾股定理得BF=8，则CF=2，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，根据勾股定理得，解得：，即CE的长为；
（3）连接EG，，由题意得DE＝CE，由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，则∠EFG＝∠C=90°，由HL得Rt△CEG≌Rt△FEG，则CG＝FG，设CG＝FG＝y，则AG＝10+y，BG＝10﹣y，在Rt△ABG中，由勾股定理得，解得，即CG的长为．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAC=90°-∠BAC=90°-54°=36°，
∵△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处，
∴∠DAE=∠EAC=∠DAC=×36°=18°，
故答案为：18；
（2）∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，
由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED，
∴，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，
设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：
，


解得：，
即CE的长为；
（3）解：如图所示，连接EG，

∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，
∴∠EFG＝∠C=90°，
在Rt△CEG和Rt△FEG中，
，
∴Rt△CEG≌Rt△FEG（HL），
∴CG＝FG，
设CG＝FG＝y，则AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：
，

解得：，
即CG的长为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
22. 【操作与发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN＝MN．

（1）【实践探究】在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是______．
（2）如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若tan∠BAN，求证：M是CD的中点．
（3）【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知∠MAN＝45°，BN＝4，则DM的长是______．
【答案】（1）12 （2）见解析
（3）8
【解析】
【分析】（1）利用旋转的性质结合SAS可以证明△ANM≌△ANE，从而得到DM+BN＝MN，设正方形ABCD的边长为x，则BN＝x﹣6，DM＝x﹣8，利用勾股定理求得MN=10，从而列得方程求解即可求出正方形边长．
（2）根据设BN＝m，DM＝n，则MN＝m+ n，利用tan∠BAN，可得正方形边长为3m，从而得到CM=3m-n，CN＝2m，根据勾股定理得到：，代入可得关于m，n得方程，继而得到3m＝2n，最后代入CM=3m-n得到DM＝CM，即M是CD的中点．
（3）延长AB至P，使BP＝BN＝4，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，将图③补充成边长为16的正方形，从而得到与前两问的图形，利用可得△ABN∽△APE，继而求出PE的长度，从而利用前面的结论，并利用勾股定理列方程即可求出结果．
【小问1详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，
由旋转的性质得：△ABE≌△ADM，
∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，
∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，
即∠EAM＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠MAN＝∠EAN，
在△AMN和△AEN中，
，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN＝EN，
∵EN＝BE+BN＝DM+BN，
∴MN＝BN+DM，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：
∴MN10，
则BN+DM＝10，
设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣6，DM＝CD﹣CM＝x﹣8，
∴x﹣6+x﹣8＝10，
解得：x＝12，
即正方形ABCD的边长是12；
故答案为：12；
【小问2详解】
证明：设BN＝m，DM＝n，
由（1）可知，MN＝BN+DM＝m+n，
∵∠B＝90°，tan∠BAN，
∴tan∠BAN，
∴AB＝3BN＝3m，
∴CN＝BC﹣BN＝2m，CM＝CD﹣DM＝3m﹣n，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：
∴，
整理得：3m＝2n，
∴CM＝2n﹣n＝n，
∴DM＝CM，
即M是CD的中点；
【小问3详解】
解：延长AB至P，使BP＝BN＝4，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，如图③所示：
则四边形APQD是正方形，
∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝12+4＝16，
设DM＝a，则MQ＝16﹣a，
∵PQBC，
∴△ABN∽△APE，
∴，
∴PEBN，
∴EQ＝PQ﹣PE＝16，
由（1）得：EM＝PE+DMa，
在Rt△QEM中，由勾股定理得：

，
解得：a＝8，
即DM的长是8；
故答案为：8．

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用勾股定理解直角三角形等知识，灵活运用前两问中结论DM+BN＝MN，已知直角三角形CMN中勾股定理结论是解题的关键．