2023年广东省深圳市龙岗区东升学校中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省深圳市龙岗区东升学校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  有个相同的立方体搭成的儿何体如图所示，则它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  满足的最大整数是

A.  B.  C.  D.

6.  一个多边形的内角和是，则这个多边形是边形．(    )

A. 九 B. 十 C. 十一 D. 十二

7.  某车间有名工人，每人每天可以生产个螺钉或个螺母，个螺钉需要配个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，设安排名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  一组数据、、、、、这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. 、 B. 、 C. 、 D. 、

9.  在下列条件中，能够判定▱为矩形的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，、是上的两点，，交于点，则等于(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  一元二次方程的根是______．

12.  定义新运算：，例如，已知，则______．

13.  如图，在▱中，对角线，相交于点，点是边的中点已知，则______．
 

14.  如图，在点处测得塔顶的仰角为，点到塔底的水平距离是，那么塔的高度为______结果保留根号．

15.  如图，，，请你添加一个适当的条件：__________________________，使得≌．
 

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16.  随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养天的总成本为，放养天的总成本为元．设这批小龙虾放养天后的质量为，销售单价为元，根据往年的行情预测，与的函数关系为，与的函数关系如图所示．
设每天的养殖成本为元，收购成本为元，求与的值；
求与的函数关系式；
如果将这批小龙虾放养天后一次性出售所得利润为元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？
总成本放养总费用收购成本；利润销售总额总成本
 

四、解答题（本大题共6小题，共47.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：．

19.  本小题分
为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化已知用元购买种花卉与用元购买种花卉的数量相等，且种花卉每盆比种花卉多元．
，两种花卉每盆各多少元？
计划购买，两种花卉共盆，其中种花卉的数量不超过种花卉数量的，求购买种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？

20.  本小题分
为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．

本次抽样调查的样本容量是______；
补全条形统计图；
该校共有名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．

21.  本小题分

如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分并交边于点，经过点，，的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点．

求证：是的切线；

若点，的坐标分别为，，求的半径；

试探究线段，，三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

22.  本小题分
我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．
如图一，在等腰中，，边上有一点，过点作于，于，过点作于利用面积证明：．
如图二，将矩形沿着折叠，使点与点重合，点落在处，点为折痕上一点，过点作于，于若，，求的长．
如图三，在四边形中，为线段上的一点，，，连接，且，，，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据算术平方根解答即可．
此题考查算术平方根，关键是熟记常见数的算术平方根．
 

2.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
利用轴对称图形的定义进行解答即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
 

3.【答案】 

【解析】解：，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D正确，
故选：．
根据同底数幂的乘除法法则、合并同类项以及积的乘方法则计算，判断即可．
本题考查的是同底数幂的乘除法、合并同类项以及积的乘方，掌握相关的计算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：满足的最大整数是，
故选：．
根据不等式得出选项即可。
本题考查了一元一次不等式的整数解和有理数的大小比较法则，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
，
解得：．
这个多边形是十二边形．
故选D．
根据边形的内角和是，这个多边形的内角和为，就得到一个关于的方程，从而求出边数．
本题主要考查了多边形的内角和定理，把求边数问题转化成为方程问题．
 

7.【答案】 

【解析】解：设安排名工人生产螺钉，则人生产螺母，由题意得
，故C答案正确，
故选：．
题目已经设出安排名工人生产螺钉，则人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的倍从而得出等量关系，就可以列出方程．
本题是一道列一元一次方程解的应用题，考查了列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了众数和中位数，关键是掌握两种数的定义．根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则处于中间位置的两个数的平均数进行分析即可．
【解答】
解：这组数据的众数为，
从小到大排列：，，，，，，中位数是，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：、▱中，，不能判定▱是矩形，故选项A不符合题意；
B、▱中，，
▱是菱形，故选项B不符合题意；
C、▱中，，
▱是菱形，故选项C不符合题意；
D、▱中，，
▱是矩形，故选项D符合题意；
故选：．
由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
先根据垂径定理得到，则，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．
 

11.【答案】， 

【解析】解：，
或，
，，
故答案为：，．
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据新运算的定义，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．
本题考查了有理数的混合运算以及解一元一次方程，依照新运算的定义找出关于的一元一次方程是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】由平行四边形的性质可得，点是线段的中点，可得是的中位线，由中位线定理可得的长．
本题主要考查平行四边形的性质及三角形中位线的定义及性质，得出线段是的中位线是解本题的关键．
解：在▱中，对角线，相交于点，
点是的中点，
点是边的中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
 

14.【答案】 

【解析】解：在点处测得塔顶的仰角为，
，
，
，
故答案为：
根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．
此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．
 

15.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】
此题主要考查学生对全等三角形的判定这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．本题要判定≌，因为已经具备了两组边对应相等，则可考虑添加另一组边或夹角相等，即可判断两个三角形全等．
【解答】
解：添加条件是：，
在与中，
，
≌．
故答案为：答案不唯一．  

16.【答案】解：依题意得，
解得：；
当时，设，
由图象得：，
解得：
；
当时，设，
由图象得：，
解得：，
，
综上，；
，
当时，，
，
当时，，
当时，，
，抛物线开口向下，
当，，
，
当时，取得最大值，该最大值为元． 

【解析】根据题意列出方程组，求出方程组的解得到与的值即可；
根据图象，分类讨论利用待定系数法求出与的解析式即可；
根据，表示出与的函数解析式，利用一次函数与二次函数的性质求出所求即可．
此题考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：，
由得，，
由得，，
所以，不等式组的解集为． 

【解析】分别求出两个不等式的解集，求其公共解．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
 

19.【答案】解：设种花卉每盆元，种花卉每盆元，
根据题意，得：，
解这个方程，得：，
经检验，是原方程的解，并符合题意，
此时，元，
种花卉每盆元，种花卉每盆元，
答：种花卉每盆元，种花卉每盆元；
设购买种花卉盆，购买这批花卉的总费用为元，
由题意，得：，
，
解得：，
是的一次函数，，
随的增大而减小，
当时，最小，
元，
购买种花卉盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用是元．
答：购买种花卉盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用是元． 

【解析】设种花卉每盆元，种花卉每盆元，根据题意列出关于的分式方程，求解、验根即可；
根据两种花卉的费用之和列出函数关系式，再根据的取值范围求函数最值即可．
本题考查一次函数的应用和分式方程的解法，关键是根据已知条件列出函数关系式，在给定范围内求函数最值．
 

20.【答案】解：
打乒乓球的人数有：人，
踢足球的人数有：人，
补全统计图如下：

根据题意得：人，
答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有人． 

【解析】

【分析】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
根据打排球的人数和所占的百分比即可求出样本容量；
用总人数乘以打乒乓球的人数所占的百分比求出打乒乓球的人数，再用总人数减去其他项目的人数求出踢足球的人数，从而补全统计图；
用该校的总人数乘以“打篮球”的人数所占的百分比即可．
【解答】
解：本次抽样调查的总人数是：人，
则样本容量是；
故答案为：；
见答案；
见答案．  

21.【答案】证明：连接，

平分，
，
，
，
，
，
，即是的切线．
解：连接，
设的半径为，
则，
解得，，即的半径为．
解：．
证明：作于，
则，又，
四边形是矩形，
，
，
，
，
 

【解析】连接，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，证明结论；
连接，设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
作于，得到四边形是矩形，得到，根据垂径定理解答即可．
本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、矩形的判定和性质，掌握切线的判定定理是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，

，
，
，
；
解：将矩形沿着折叠，使点与点重合，
，，
，
，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得，，
等腰中，边上的高为，
由知，；
解：延长、交于，作于，

，，
∽，
，
，
，
设，
由勾股定理得，，
解得，
，
，
． 

【解析】连接，根据，可得结论；
利用翻折的性质得，，由勾股定理得，，则等腰中，边上的高为，由知，；
延长、交于，作于，利用∽，得，则，设，利用勾股定理列方程可得的长，从而得出，利用中结论可得答案．
本题是相似形综合题，主要考查了等腰三角形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，证明等腰三角形，利用中结论是解决问题、的关键．