2021-2022学年江西省赣州市经开区八年级（下）第五次月考数学试卷（含解析）

2021-2022学年江西省赣州市经开区八年级（下）第五次月考数学试卷

一．选择题（本题共6小题，共18分）

1. 下列各数中是无理数的是

A.  B.  C.  D.

2. 在中，，、、所对的边分别为、、，已知：：，，则的面积为

A.  B.  C.  D.

3. 下列各式计算正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 在中，，，则的大小为

A.  B.  C.  D.

5. 若，则，若，则，若要使，则需满足

A.  B.  C.  D.

6. 下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是

1. 在中，若，则为直角三角形
   B. 三边长的平方之比为：：
   C. 三内角之比为：：
   D. 三边长分别为，，，，，

二．填空题（本题共6小题，共18分）

7. 实数的平方根______．
8. 比较大小： ______ 填写“”或“”或“”．
9. 一个正数的两个平方根分别是与，则的值为______．
10. 如图，在中，，，以为一条边向三角形外部作正方形，为上一点，则四边形的面积为______．
    
    
     

11. 九章算术勾股卷有一题目：今有垣高一丈．依木于垣，上于垣齐．引木却行四尺，其木至地，问木长几何？意即：一道墙髙一丈，一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平，若木棒下端向后退，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向后退了四尺时，木棒上端恰好落到地上，则木棒长______尺丈尺．
12. 如图，在中，，，，为射线上一点，且为等腰三角形，则的长为______．

三．计算题（本题共1小题，共6分）

13. 计算：

四．解答题（本题共11小题，共78分）

14. 如图，在中，，垂足为点，，，求的面积．
    
    
     

15. 比较下列算式的结果的大小填“”“”或“”．
    ______
    ______
    ______
    通过观察归纳，用含字母，的式子表示中的规律，并证明．
16. 图是放置在水平面上的可折叠式护眼灯，其中底座的高，连杆，灯罩如图，转动、，使得成平角，且灯罩端点离桌面的高度为，求的距离．

17. 如图，点表示的数为，一只蚂蚁从点沿数轴向右直爬个单位后到达点，设点所表示的数为．
    求的值；
    求的值．

18. 如图是的方格纸，每个小正方形的边长为，顶点为格点，我们把每个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形、请仅用无刻度的直尺按以下要求作图：
    
    在图中作出面积为的格点正方形；
    在图中作出周长为的格点直角三角形．
19. 李明刚买了一套毛坯新房，其中一个房间的地板为一个长宽之比为：的长方形，其面积为．
    求这个房间地板的长和宽；
    用块大小相同的正方形地板砖刚好把这个房间地板铺满，求这种地板砖的边长．
20. 已知与互为相反数，求的值；
    已知与互为相反数，求的平方根．
21. 如图，在中，，，点在上，且，．
    求证：；
    求的长．

22. 如图，已知的三边长分别为、、，且的算术平方根为，立方根为，与互为相反数．
    分别求、、的值；
    求的面积

23. 如图，图分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿、箱长、拉杆的长度都相等，即，点、在线段上，点在上，支杆．
    
    若时，，相距，试判定与的位置关系，并说明理由；
    当，时，求的长．
24. 在中，点是平面内任意一点不同于、、，若点与、、中的某两点的连线的夹角为直角时，则称点为的一个勾股点．
    
    如图，若点是内一点，，，，试说明点是的一个勾股点；
    如图，已知点是与、两点的连线的夹角为直角，且，若，，求的长；
    如图，在中，，，，点在上，且，点在射线上．若点是的勾股点，请求出的长．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是无理数，故本选项符合题意．
故选：．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

2.【答案】

【解析】解：，：：，
设，则，
，即，
解得，
，．
，
故选：．
根据勾股定理和三角形的面积求解即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：选项，原式，符合题意；
选项，原式，不符合题意；
选项，原式，不符合题意；
选项，原式，不符合题意；
故选：．
根据立方根和算术平方根的定义计算即可．
本题考查了立方根和算术平方根的定义，解题时注意算术平方根与平方根的区别．
 

4.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
，
故选：．
由勾股定理的逆定理求出，则可得出答案．
本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，求出是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：，
．
故选：．
根据偶次方的性质可得答案．
本题考查平方根、立方根，熟练掌握偶次方的性质是解题关键．
 

6.【答案】

【解析】解：，，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.三边长的平方之比为：：，
此三角形的两小边的平方和等于最长边的平方，
此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.三角形的三内角之比为：：，三角形的内角和等于，
最大角的度数是，
此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D.，，，
，
，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等，即可判断选项A、选项B和选项D；根据三角形内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

7.【答案】

【解析】解：，
实数的平方根是．
故答案为：．
根据算术平方根、平方根的定义解决此题．
本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根的定义是解决本题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：，
，
即，
故答案为：．
先估算出，再除以即可．
本题考查了估算无理数的大小，能估算的范围是解此题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：由正数的两个平方根互为相反数可得
，
解得，
所以，，
所以．
故答案为：．
利用一个正数的两个平方根互为相反数可得到，可求得，再由平方根的定义可求得的值．
本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：，，，
，
正方形的面积，
，
，
四边形的面积，
故答案为：．
根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理，正方形的面积，正确的理解题意是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
当木棒的上端与墙头平齐时，木棒与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为 尺，则木棒底端离墙有 尺，根据勾股定理可求出 的值．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．
【解答】
解：如图，设木棒 长为 尺，则木棒底端 离墙的距离 的长有 尺，

在 中，
，
，
解得，
故答案为： ．   

12.【答案】或或

【解析】解：在中，，
如图，

当时，；
如图，

当时，
则；
如图，若时，

设，则，
在中，，
，
解得：，
，
综上所述的长为或或．
故答案为：或或．
分三种情况讨论：如图，当时，；如图，当时得；如图当为底时．设，在中，由勾股定理得，解得：，则可得出答案．
本题考查勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
 

13.【答案】解：

．

【解析】先算乘法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

14.【答案】解：，
，
，，
，
，
，
的面积

，
的面积为．

【解析】根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理求出，从而求出的面积．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

15.【答案】   

【解析】解：，而，
，
；
，
；
，
，
；
故答案为：，，．
把根号外面的数移到根号里面去，然后判断数的大小．
本题主要考查了二次根式的乘除法、实数大小比较，掌握这两个知识点的综合应用是解题关键．
 

16.【答案】解：过点作于，如图，
，，
四边形为矩形，
，，
，，
，
的距离为．

【解析】过点作于，如图，，，易得四边形为矩形，所以，，则，，然后利用勾股定理计算出．
本题考查了勾股定理的应用：在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 

17.【答案】解：蚂蚁从点沿数轴向右直爬个单位到达点，
点所表示的数比点表示的数大，
点表示，点所表示的数为，
；



．

【解析】本题考查了实数与数轴，是基础题，主要利用了在数轴上向右运动相加的规律，还利用了绝对值的性质和二次根式的运算．
根据数轴上的点运动规律：右加左减的规律可求出的值；
把的值代入，再根据绝对值的性质、实数运算的法则计算即可得解．
 

18.【答案】解：如图，正方形即为所求；
如图，即为所求．
 

【解析】作一个边长为的正方形即可；
作一个腰为，底为的等腰三角形即可．
本题考查作图应用与设计作图，正方形的判断关系着，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：设长方形的长为，则宽为，
根据题意，得：，
即，
，
，
，
，，
答：这个房间地板的长为，宽为；
这种地板砖的边长为．
答：这种地板砖的边长为

【解析】根据长、宽的比设出长为，宽为，根据面积列出关于的方程，利用平方根的概念求解可得；
其边长为正方形地砖面积的算术平方根，据此求解可得．
本题主要考查算术平方根，算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．记为．
 

20.【答案】解：与互为相反数，
，
可得，
；
与互为相反数，
，，
解得：，
，
的平方根是．

【解析】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解得到的值，即可求出所求；
利用相反数的性质，以及非负数的性质列出方程，求出方程的解得到与的值，即可求出所求．
此题考查平方根的定义、非负数的性质，以及相反数的定义，能够根据相反数的定义和非负数的定义得到字母的值是解题关键．
 

21.【答案】证明：在中，，，，
，
是直角三角形，且，
；
解：，
，
，，
，
在中，，
，
的长为．

【解析】根据勾股定理即可得到结论；
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：根据题意得，，，
解得，，；
过点作于，如图，设，，则，
在中，，
在中，，
得，
解得，
，
的面积．

【解析】根据算术平方根、立方根和相反数的定义得到，，，然后解一次方程得到、、的值；
过点作于，如图，设，，则，利用勾股定理得到，，然后解方程组得到的值，最后利用三角形面积公式求解．
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．也考查了算术平方根和立方根．
 

23.【答案】解：，
理由：连接，

，，
，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
；
过点作，垂足为，

，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
的长为．

【解析】连接，根据题意可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可解答；
过点作，垂足为，根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图，延长交于，
是的外角，
，
，
点是的一个勾股点；
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
；
在中，，，，
则，
，
如图，当时，设，，
在和中，，
，
解得：；
如图，当时，设，，
在和中，，
，
解得：；
如图，当时，点为的中点，
，
，
综上所述，点是的勾股点时，的长为或或．

【解析】延长交于，根据三角形的外角性质得到，根据勾股点的定义证明结论；
根据勾股定理求出，证明，根据勾股定理计算，得到答案；
分、、三种情况，根据勾股定理、直角三角形的性质解答即可．
本题考查的是勾股点的定义、等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．