河北省衡水中学2013-2014学年高二上学期四调考试 数学文试题

这是一份河北省衡水中学2013-2014学年高二上学期四调考试 数学文试题，共10页。试卷主要包含了 已知、为双曲线C，设、是曲线上的点，，则必有等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
一。选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1.双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】双曲线的离心率为，选C.
2.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】曲线的极坐标方程化成直角坐标方程为即，选B.
3. 已知、为双曲线C:的左、右焦点,点在曲线上,∠=,则到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】双曲线C:的左、右焦点,设，到轴的距离为
4. 已知动点的坐标满足方程，则的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】动点的坐标满足方程，就是
动点到距离之差为8，所以的轨迹方程是
5.设椭圆的离心率为，右焦点为，方程 的两个实根分别为和，则点（ ）
Ａ．必在圆内 Ｂ．必在圆上
Ｃ．必在圆外 Ｄ．以上三种情形都有可能
【答案】A
【解析】方程 的两个实根分别为和，
点必在圆内，故选A
6. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D
【答案】C
【解析】虚轴长为2，焦距为双曲线的渐近线方程为，选C
7.已知等边△ABC中，D、E分别是CA、CB的中点，以A、B为焦点且过D、E的椭圆和双曲线的离心率分别为、，则下列关于、的关系式不正确的是( )
A． B． C． D .
【答案】A
【解析】故选A.
8已知F为抛物线的焦点，M为其上一点，且，则直线MF的斜率为( )．
A．－eq \f(\r(3),3) B．±eq \f(\r(3),3) C．－eq \r(3) D．±eq \r(3)
【答案】B
【解析】 ，选B.
9. 已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）
A B C D
【答案】C
【解析】，点的轨迹所包围的图形的面积等于，选C.
10.设、是曲线上的点，，则必有 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】,其图形是平行四边形，与x轴交于（-5,0）（5,0），与y轴交于（0，9）（0,-9），必有，选A
11.已知AB为半圆的直径，P为半圆上一点，以A、B为焦点且过点P做椭圆，当点P在半圆上移动时，椭圆的离心率有( )
A．最大值eq \f(1,2) B．最小值eq \f(1,2) C．最大值eq \f(\r(2),2) D．最小值eq \f(\r(2),2)
【答案】D
【解析】画图分析可知椭圆的离心率有最小值eq \f(\r(2),2)，选D.
12.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】方程为
与联立，解得
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）
13.已知点P的极坐标为，那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为
【答案】
【解析】设是直线上任意一点，则
14. 已知，方程表示双曲线，则是的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）
【答案】充分不必要
【解析】方程表示双曲线， ，是的充分不必要条件。
15.若直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离为
【答案】
【解析】将直线的极坐标方程为化为直角坐标方程为
16. 抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是
【答案】
【解析】直线的方程为（舍去）
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）
17.如图，抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2), , 均在抛物线上.
（1）求该抛物线方程；
（2） 若AB的中点坐标为，求直线AB方程
【答案】（1）（2）.
【解析】（1）抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，设其方程为，点P(1,2) 在抛物线上,代入，得，所以该抛物线方程为.
（2）, 均在抛物线上.,两式相减得，
直线AB方程是即
18. 已知双曲线，、是双曲线的左右顶点，是双曲线上除两顶点外的一点，直线与直线的斜率之积是，
(1)求双曲线的离心率；
(2)若该双曲线的焦点到渐近线的距离是，求双曲线的方程.
【答案】(1) (2) 双曲线的方程是
【解析】解（1）因为在双曲线上，则
……
又，则.
及，解之得； …
（2）取右焦点，一条渐近线即，
据题意有，…………10分
由（1）知，∴，故双曲线的方程是
19. 已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1
(1)求椭圆的方程；
(2)若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
【答案】(1)
(2) 点M的轨迹方程为，轨迹是两条平行于x轴的线段．
【解析】解：（1）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得
解得a=4,c=3, 所以椭圆C的方程为
（2）设M（x,y）,P(x,),其中，由已知得
而，故 ①
由点P在椭圆C上得 代入①式并化简得
所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段．
20. 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．
（1）如果直线l过抛物线的焦点，求eq \(OA,\s\up15(→))·eq \(OB,\s\up15(→))的值；
（2）如果eq \(OA,\s\up15(→))·eq \(OB,\s\up15(→))＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
【答案】（1）eq \(OA,\s\up15(→))·eq \(OB,\s\up15(→))=－3. （2）过定点(2,0)
【解析】(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，
设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x中得，
y2－4ty－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
∴eq \(OA,\s\up15(→))·eq \(OB,\s\up15(→))＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2
＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
(2)设l：x＝ty＋b代入抛物线方程y2＝4x，消去x得
y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，∴eq \(OA,\s\up15(→))·eq \(OB,\s\up15(→))＝x1x2＋y1y2
＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.
令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，
∴直线l过定点(2,0)．∴若eq \(OA,\s\up15(→))·eq \(OB,\s\up15(→))＝－4，则直线l必过一定点．
21. 如图，直线y＝kx＋b与椭圆交于A、B两点，记△AOB的面积为S．
（1）求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（2）当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．
【答案】（1）S取到最大值1．
（2）直线AB的方程是
或
或或
【解析】(I)解：设点A的坐标为，点B的坐标为，
由，解得
所以
当且仅当时，．S取到最大值1．
（Ⅱ）解：由得
①
｜AB｜＝ ②
又因为O到AB的距离 所以 ③
③代入②并整理，得
解得，，代入①式检验，△＞0
故直线AB的方程是
或或或．
22. 已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．
（1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；
（2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．
【答案】（1） , （2）所在直线的方程为．
【解析】解：（Ⅰ）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为．设两点坐标分别为．由得．
所以．又因为边上的高等于原点到直线的距离．
所以，．
（Ⅱ）设所在直线的方程为，
由得．因为在椭圆上，
所以．
设两点坐标分别为，则，，
所以．又因为的长等于点到直线的距离，
即．所以．
所以当时，边最长，（这时）
此时所在直线的方程为．