河北省衡水中学2013-2014学年高二上学期二调考试 数学理试题

这是一份河北省衡水中学2013-2014学年高二上学期二调考试 数学理试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共2页。共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1．若，都是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】,故选A
2.若点在椭圆上，、分别是该椭圆的两焦点，且，则的面积是（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】，故选A
3．下列命题中，是真命题的个数：（ ）
（１）且是的充要条件；
（２）命题“若，则”的逆命题与逆否命题；
（３）命题“若，则”的否命题与逆否命题；
（４），使。
A．0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】B
【解析】只有（４），使是真命题，故选B
4. 等差数列{an}的前n项和为Sn(n＝1,2,3，…)，若当首项a1和公差d变化时，a5＋a8＋a11是一个定值，则下列选项中为定值的是( )
A．S17 B．S18 C．S15 D．S14
【答案】C
【解析】 a5＋a8＋a11故选C
5．椭圆内一点，过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在的直线方程 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】过点P的弦两式相减，得：
弦的中点, ,弦所在的直线方程为所以，故选B
6.方程(x+y -2)=0表示的曲线是( )
A一个圆和一条直线 B半个圆和一条直线
C一个圆和两条射线 D一个圆和一条线段
【答案】C
【解析】注意到，x+y -2=0落在圆上及圆外的部分，可知方程(x+y -2)=0表示的曲线是一个圆和两条射线，故选C
7．椭圆+=1上有n个不同的点P1,P2,P3,…,Pn, F是右焦点，|P1F|，|P2F|，…，|PnF|组成等差数列，且公差d>，则n的最大值是（ ）
A.99B.100 C.199 D.200
【答案】D
【解析】椭圆+=1，所以则n的最大值是200，故选D
8. 如果AB是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则的值为( )
A ．e－1 B．1－e C．e2－1 D．1－e2
【答案】C
【解析】设两式相减，得：所以
故选C
9．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】满足的点总在椭圆内部，故选C
10．定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列, 仍
是等比数列,则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函
数:①; ②; ③; ④.
则其中是“保等比数列函数”的的序号为（ ）
A．① ②B．③ ④
C．① ③ D．② ④
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为q，①，
②， 常数，③④数，故选C
11．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的交点个数为 ( )
A．至多一个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【解析】∵直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，
∴eq \f(4,\r(m2＋n2))>2，∴m2＋n2<4，∴eq \f(m2,9)＋eq \f(n2,4)∴点(m，n)在椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的内部，
∴过点(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的交点个数为2个．答案：B
12．已知F1,F2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且 记线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比
为1 : 2，则该椭圆的离心率等于 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知点P在圆上，由消y得,
又因为△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1: 2，可得,
,选D
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）
13．等比数列{an}中，a1＝512，公比q＝eq \f(1,2)，用πn表示它的n项之积：＝a1·a2·a3…an，取得最大值时n＝________.
【答案】9或10
【解析】取得最大值
14. 若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为 .
【答案】6
【解析】设
15.设定点M(-3,4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为邻边作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为___________.
【答案】 (除去两点()和()
【解析】
因为动点N在圆x2+y2=4上运动，(除去两点()和()
16．给出下列四个命题:
①命题,则,
②当时,不等式的解集为非空;
③当X>1时,有
④设有五个函数.,其中既是偶函数又在 上是增函数的有2个.
其中真命题的序号是_____.
【答案】③
【解析】真命题只有③，五个函数.,其中既是偶函数又在上是增函数的有1个. = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②错。
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）
17.（12分）设命题p：实数x满足，其中。
命题q：实数x满足，
(1) 若为真，求实数x的取值范围；
(2) 若条件，求实数a的取值范围；
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由，得，
，
为真，实数x的取值范围是
(2)
所以
18.已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）
和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．
【答案】（1） （2）存在
【解析】（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．
依题意 ∴ 椭圆方程为 ．………4分
（2）假若存在这样的k值，由得．
∴ ． ①
设，则 ② 8分
而．
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，
即．…③……………10分
将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立．
综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E．………………………12分
19．设是数列的前项和，，.
⑴求的通项；
⑵设，求数列的前项和.
【答案】⑴ ⑵
【解析】⑴时，，
整理得，，
数列是以2为公差的等差数列，其首项为，
所以；
⑵由⑴知，，
20.数列{an}的前n项和为Sn，＝1，＝2Sn(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
【答案】(1) an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1 n＝1,2·3n－2n≥2))(2) Tn＝eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(1,2)))3n－1(n∈N*)．
【解析】(1)∵an＋1＝2Sn，
∴Sn＋1－Sn＝an＋1＝2Sn，
∴eq \f(Sn＋1,Sn)＝3.
又∵S1＝a1＝1，∴数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列．
∴Sn＝3n－1(n∈N*)．
当n≥2时，an＝2Sn－1＝2·3n－2，且a1＝1，
∴an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1 n＝1,2·3n－2n≥2)).
(2)Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan，
当n＝1时，T1＝1；
当n≥2时，Tn＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n·3n－2①
∴3Tn＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n·3n－1②
①－②得，－2Tn＝－2＋4＋2(31＋32＋…＋3n－2)－2n·3n－1
＝2＋2·eq \f(31－3n－2,1－3)－2n·3n－1＝－1＋(1－2n)·3n－1，
∴Tn＝eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(1,2)))3n－1(n≥2)，
又∵T1＝a1＝1也满足上式，
∴Tn＝eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(1,2)))3n－1(n∈N*)．

21.已知集合,函数的定义域为Q
（1）若，求实数a的取值范围;
（2）若方程在内有解，求实数a的取值范围。
【答案】（1）（2）
【解析】（1）
（2）方程在内有解，，
22. 如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.
(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；
(Ⅱ) 设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.
【答案】(I) (II) 和0
【解析】 (I)……①
矩形ABCD面积为8，即……②
由①②解得：，
∴椭圆M的标准方程是.
(II)，
设，则，
由得.
.
当过点时，，当过点时，.
①当时，有，
，
其中，由此知当，即时，取得最大值.
②由对称性，可知若，则当时，取得最大值.
③当时，，，
由此知，当时，取得最大值.
综上可知，当和0时，取得最大值.