河北省衡水中学2013-2014学年高二上学期三调考试 数学理试题

这是一份河北省衡水中学2013-2014学年高二上学期三调考试 数学理试题，共13页。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
一.选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1．以eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1 C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,16)＝1
2. 若抛物线的准线方程为x=–7, 则抛物线的标准方程为（ ）
A．x2=–28y B. y2=28x C. y2=–28x D. x2＝28y
3.若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为( ）
A．y=±2x B．y= C． D．
4.椭圆的四个顶点为A、B、C、D，若菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是( ）A. B. C. D.
5．椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值是( ）
A. EQ \F(1,2) B. 1或–2 C. 1或 EQ \F(1,2) D. 1
6.已知抛物线,直线与交于两点,若,则点到直线的最大距离为( ）A．2 B．4 C．8 D．-4
7.等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于两点,，则的实轴长为（ ）
A．B．C．D．
8.抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为（ ）
A. B. C. D.
9.设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 则p =（ ）
A．1 B． C．2 D．3
11．已知椭圆C:的焦点为，若点P在椭圆上，且满足 (其中为坐标原点)，则称点P为“★点”，那么下列结论正确的是 ( )
A．椭圆上的所有点都是“★点” B．椭圆上仅有有限个点是“★点”
C．椭圆上的所有点都不是“★点” D．椭圆上有无穷多个点(但不是所有的点)是“★点”
12. 若是双曲线上一点，且满足，则该点一定位于双曲线（ ）A．右支上 B.上支上 C.右支上或上支上 D.不能确定
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二.填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）
13．、是双曲线的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点的距离等于9，则点P到焦点的距离等于
14. 已知P为抛物线x2＝ eq \f(1,4) y上的点，点P到x轴的距离比它到y轴的距离大3，则点P的坐标是____________．
15. 已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则的面积为_______.
16.已知点在曲线上，过点作曲线的两条弦和，且，则直线过定点_________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）
17.已知双曲线的离心率为，且。
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值.
18．过动点M（，0）且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A、B，试确定实数a的取值范围，使．
19. 在直线：上任取一点M，过点M且以双曲线的焦点为焦点作椭圆．
(1)M点在何处时，所求椭圆长轴最短；
20.已知均在椭圆上，直线、分别过椭圆的左右焦点、，当时，有.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设是椭圆上的任一点，为圆的任一条直径，求的最大值.
21.已知点为抛物线的焦点，点是准线上的动点，直线交抛物线于两点，若点的纵坐标为，点为准线与轴的交点．
（Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）求的面积范围；
（Ⅲ）设，，求证：为定值．
22.已知椭圆E：(a>b>0),以F1（-c,0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0,b）作圆F1的两条切线，设切点为M、N.
(1)若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1(0,-b)时，求此椭圆的离心率;
(2)若直线MN的斜率为-1,且原点到直线MN的距离为4（-1）,求此时的椭圆方程；
(3)是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间(-)内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由.
1．以eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1 C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,16)＝1
【答案】D
【解析】eq \f(x2,4) － eq \f(y2,12)＝－1化为eq \f(y2,12) － eq \f(x2,4)＝1，椭圆中
椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,16)＝1
2. 若抛物线的准线方程为x=–7, 则抛物线的标准方程为（ ）
A．x2=–28y B. y2=28x C. y2=–28x D. x2＝28y
【答案】B
【解析】
3.若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为( ）
A．y=±2x B．y= C． D．
【答案】B
【解析】离心率为渐近线方程为y=
4.椭圆的四个顶点为A、B、C、D，若菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是( ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】菱形ABCD的内切圆半径为c,所以
5．椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值是( ）
A. EQ \F(1,2) B. 1或–2 C. 1或 EQ \F(1,2) D. 1
【答案】D
【解析】（负值舍去）
6.已知抛物线,直线与交于两点,若,则点到直线的最大距离为( ）A．2 B．4 C．8 D．-4
【答案】C
【解析】直线垂直于x轴时，点到直线有最大距离. 由，得
7.等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于两点,，则的实轴长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设等轴双曲线方程为，抛物线的准线，代入到，得
8.抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】过点M作准线的垂线，根据抛物线定义，则点M的纵坐标为
9.设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】设的方程为，，的面积为，过点与平行的直线与的距离为，与椭圆的交点个数为2
10. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 则p =（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】双曲线的离心率为2，△AOB的面积为,
11．已知椭圆C:的焦点为，若点P在椭圆上，且满足 (其中为坐标原点)，则称点P为“★点”，那么下列结论正确的是 ( )
A．椭圆上的所有点都是“★点” B．椭圆上仅有有限个点是“★点”
C．椭圆上的所有点都不是“★点” D．椭圆上有无穷多个点(但不是所有的点)是“★点”
【答案】B
【解析】的焦点为，设
椭圆上仅有有限个点是“★点”
12. 若是双曲线上一点，且满足，则该点一定位于双曲线（ ）A．右支上 B.上支上 C.右支上或上支上 D.不能确定
【答案】A
【解析】双曲线的渐近线方程是，满足，点一定位于一四象限两条渐近线之内双曲线右支上
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二.填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）
13．、是双曲线的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点的距离等于9，则点P到焦点的距离等于
【答案】17
【解析】∵双曲线得：a=4，由双曲线的定义知||P|-|P||=2a=8，|P|=9，
∴|P|=1＜（不合，舍去）或|P|=17，故|P|=17．
14. 已知P为抛物线x2＝ eq \f(1,4) y上的点，点P到x轴的距离比它到y轴的距离大3，则点P的坐标是____________．
【答案】（1,4）和（-1,4）
【解析】点P到x轴的距离比它到y轴的距离大3，设点P的坐标，点P的坐标
15. 已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则的面积为_______.
【答案】
【解析】依题意，可知当以F1或F2为三角形的直角顶点时，点P的坐标为，则点P到x轴的距离为，此时的面积为；当以点P为三角
形的直角顶点时，点P的坐标为，舍去。故的面积为.
16.已知点在曲线上，过点作曲线的两条弦和，且，则直线过定点_________.
【答案】直线过定点
【解析】
以代替，得
所以直线过定点
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）
17.已知双曲线的离心率为，且。
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）离心率为，且双曲线C的方程为。
（2）设
线段AB的中点坐标是代入，
得
18．过动点M（，0）且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A、B，试确定实数a的取值范围，使．
【答案】
【解析】由题意，直线的方程为，将，得．
设直线与抛物线的两个交点的坐标为、，
则 又，
∴．
∵ ， ∴ ．
解得． 故时，有．
19. 在直线：上任取一点M，过点M且以双曲线的焦点为焦点作椭圆．
(1)M点在何处时，所求椭圆长轴最短；
(2)求长轴最短时的椭圆方程．
【答案】
【解析】(1)故双曲线
的两焦点过向引垂直线：
，求出关于的对称点，则的坐标为（4，2）（如图）， 直线的方程为。∴，解得 ∴即为所求的点.此时，=
(2)设所求椭圆方程为，∴ ∴
∴所求椭圆方程为.
20.已知均在椭圆上，直线、分别过椭圆的左右焦点、，当时，有.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设是椭圆上的任一点，为圆的任一条直径，求的最大值.
【答案】
【解析】(Ⅰ)因为，所以有
所以为直角三角形；
则有所以，
又，
在中有 即，解得
所求椭圆方程为
(Ⅱ)
从而将求的最大值转化为求的最大值
是椭圆上的任一点，设，则有即
又，所以
而,所以当时，取最大值 故的最大值为
21.已知点为抛物线的焦点，点是准线上的动点，直线交抛物线于两点，若点的纵坐标为，点为准线与轴的交点．
（Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）求的面积范围；
（Ⅲ）设，，求证：为定值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）为定值．
【解析】（Ⅰ）由题知点的坐标分别为，，于是直线的斜率为， 所以直线的方程为，即为m
（Ⅱ）设两点的坐标分别为，由得，
所以，．于是．
点到直线的距离，所以.
因为且，于是，所以的面积范围是．
（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得
，，
于是，（）.所以．
所以为定值．
22.已知椭圆E：(a>b>0),以F1（-c,0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0,b）作圆F1的两条切线，设切点为M、N.
(1)若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1(0,-b)时，求此椭圆的离心率;
(2)若直线MN的斜率为-1,且原点到直线MN的距离为4（-1）,求此时的椭圆方程；
(3)是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间(-)内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】
【解析】（1）圆F1的方程是（x+c）2+y2=(a-c)2,因为B2M、B2N与该圆切于M、N点，所以B2、M、F1、N四点共圆，且B2F1为直径，则过此四点的圆的方程是(x+)2+(y-)2=,从而两个圆的公共弦MN的方程为cx+by+c2=(a-c)2,又点B1在MN上, ∴a2+b2-2ac=0,∵b2=a2-c2,
∴2a2-2ac-c2=0,即e2+2e-2=0,∴e=-1.(负值已舍去)
(2)由（1）知，MN的方程为cx+by+c2=(a-c)2,由已知-=-1.
∴b=c,而原点到MN的距离为d==|2c-a|=a,
∴a=4,b2=c2=8,所求椭圆方程是;
(3)假设这样的椭圆存在，由（2）则有-<-<-,
∴<<,∴<<,∴<<.故得2<<3,
∴3<<4,求得