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2022-2023学年江西省新余市八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年江西省新余市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省新余市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列运算正确的是( )
A. 3 3+ 3=4 B. 5− 2= 3
C. 3× 5= 15 D. 18÷ 2=9
2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A. 3，2， 5 B. 1， 2， 3 C. 6，7，8 D. 2，3，4
3. 学校为了解“我劳动、我快乐”活动开展情况，随机调查了50名学生一周参加劳动时间，数据如表所示.这些学生一周参加劳动时间的众数、中位数分别是( )
人数(人)
10
14
15
11
时间(小时)
3
4
5
6
A. 10，15 B. 5，4.5 C. 5，5 D. 10，14.5
4. 匀速地向一个如图所示的容器内注水，最后把容器注满.在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律可能是( )
A.
B.
C.
D.
5. 一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论：
①k<0；
②a>0；
③关于x的方程kx−x=a−b的解是x=3；
④当x<3时，y1
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
6. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O.点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC=60°，BC=2AB=4.下列结论：
①AB⊥AC；
②AD=4OE；
③BD=2 7；
④S△BOE=14S△ABC．
其中正确结论的个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 二次根式 3−x有意义，则实数x的取值范围是______ ．
8. 已知一个样本1，4，2，5，x，其平均数是3，则这个样本的方差是______ ．
9. 一次函数y=(k−1)x+3经过第一、二、四象限，则k的取值范围是______ ．
10. 对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b= a+b a−b，如：3⊕2= 3+2 3−2= 5，那么12⊕4=______．
11. 如图，直线y=x+4与x轴，y轴分别交于A和B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，P为OA上一动点，当PC+PD的值最小时，点P的坐标为______．
12. 在一张长为6cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形(要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上)则剪下的等腰三角形的底边长为______ cm．
三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. (本小题3.0分)
计算： 27− 12+3 13− (−2)2．
14. (本小题3.0分)
如图，将平行四边形ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE=DF.求证：AE=CF．
15. (本小题6.0分)
学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆AB高度，通过测量得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米(如图1)；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为12米(如图2).根据以上信息，求旗杆AB的高度．
16. (本小题6.0分)
图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.线段AB的端点均在格点上.只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法，保留作图痕迹．
(1)在图①中画出线段AB的中点C；
(2)在图②中画出线段AB的垂直平分线．
17. (本小题6.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=ax+4与x轴，y轴分别交于点B，A，且与直线l2：y=kx相交于点C(2,2)．
(1)求a和k的值；
(2)结合图象，直接写出kx≥ax+4时x的取值范围．
18. (本小题6.0分)
如图，点E，F分别是矩形ABCD的边AD，BC上的一点，将矩形ABCD沿直线EF对折后，点A与点C重合，连接CE和AF．
求证：四边形AECF为菱形．
19. (本小题8.0分)
学史明志守初心，砥砺前行担使命.某校开展“学四史”答题竞赛活动，现从七、八年级中各随机抽取了20名学生的初赛成绩(初赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀)统计、整理如下：
七年级抽取的学生的初赛成绩：6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10．
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
8.3
8.5
c
1.41
八年级
a
b
7
1.61
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ．
(2)根据以上数据分析，从中位数来看，______ 年级成绩更优秀；从方差来看，______ 年级成绩更整齐；
(3)若该校八年级有300名学生参加初赛，规定优秀才可进入复赛，估计八年级进入复赛的学生人数为多少人．
20. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF．
(1)求证：四边形ADFE是矩形；
(2)连接OF，若AD=4，EC=3，∠BAE=30°，求OF的长度．
21. (本小题8.0分)
2023年春节科幻电影《流浪地球2》火热上映，激发了人们阅读科幻书籍的热情.某学校图书馆购进甲、乙两种科幻书籍，已知购买1本甲图书和1本乙图书共需75元，购买1本甲图书的价钱比购买2本乙图书的价钱少15元．
(1)求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？
(2)某中学计划购进甲、乙两种图书共70本，且甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多6本，设乙种图书x本，购买甲、乙两种图书总费用y元，求y关于x的函数解析式并说明x的取值范围.怎样购买，才能使购书总费用y最少？并求出最少费用．
22. (本小题9.0分)
【阅读】我们将 a+ b与 a− b称为一对“对偶式”，因为( a+ b)( a− b)=( a)2−( b)2=a−b，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将( a+ b)和( a− b)中的“ ”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如2+ 22− 2=(2+ 2)2(2− 2)(2+ 2)=3+2 2.像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
(1)对偶式2+ 3与2− 3之间的关系是______ ．
A.互为相反数
B.绝对值相等
C.互为倒数
(2)已知x=1 6− 5，y=1 6+ 5，求x2y+xy2的值；
(3)解方程： 24−x− 8−x=2.(利用“对偶式”相关知识，提示：令 24−x+ 8−x=t)．
23. (本小题9.0分)
如图1，经过点A(−6,0)的直线AB与y轴交于点B，与直线y=−x交于点C(−2,m)，P是直线AB上的一个动点(点P与A，B不重合)，过点P作y轴的平行线，分别交直线y=−x和x轴于点D，E，设动点P的横坐标为t．
(1)求m的值和直线AB的解析式；
(2)当DP=BO时，求t的值；
(3)作PF//x轴，交直线y=−x于点F.在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
24. (本小题12.0分)
某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
(1)观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：______，
②BC，DC，CF之间的数量关系为：______；(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，(1)中的①，②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若已知AB=2，CD=14BC，请直接写出GE的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、3 3+ 3=4 3，故A不符合题意；
B、 5与− 2不能合并，故B不符合题意；
C、 3× 5= 15，故C符合题意；
D、 18÷ 2= 9=3，故D不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、∵( 3)2+22=7，( 5)2=5，
∴( 3)2+22≠( 5)2，
∴不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
B、∵12+( 2)2=3，( 3)2=3，
∴12+( 2)2=( 3)2，
∴能构成直角三角形，故该选项符合题意；
C、∵62+72=85，82=64，
∴62+72≠82，
∴不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
D、∵22+32=13，42=16，
∴22+32≠42，
∴不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
故选：B．
利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵一周参加劳动时间为5小时的人数有15人，人数最多，
∴众数为5，
∵一共有50名学生参加调查，一周参加劳动时间处在第25名和第26名的均为5小时，
∴中位数为5，
故选：C．
根据中位数和众数的定义求解即可．
本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．掌握众数和中位数的概念是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：由题意知：纵坐标表示的是水面的高度，横坐标表示的时间；整个注水过程大致可分为三个阶段：
①向容器最下面的圆柱体中注水时，由于注水速度不变，水面逐渐升高，且此段函数是一次函数，排除A和D；
②向容器中间的圆柱体中注水时，由于大圆柱体的底面积大于中间圆柱体的底面积，因此水位上升的幅度会增大，可排除B；
③向容器最上面的小圆柱体中注水时，由于最小圆柱体的底面积小于中间圆柱体的底面积，因此水面上升的幅度会加大，综上可知，C符合题意．
故选：C．
此题首先要弄清横、纵坐标所代表的意义，然后要考虑到上中下三个圆柱的底面积不同，所以水面升高的速度也不同；可依据上面的两点来判断各项的对错．
主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
5.【答案】B
【解析】解：∵一次函数y1=kx+b随x的增大而减小，
∴k<0，故①正确；
∵y2=x+a与y轴的交点在x轴下方，
∴a<0，故②错误；
将kx−x=a−b变形得：kx+b=x=a，
∵一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象交点的横坐标为3，
∴x=3时，kx+b=x+a，故③正确；
由函数图象可知，当x<3时，y1>y2，故④错误；
∴正确的有①③．
故选：B．
根据一次函数的性质对①②进行判断，利用一次函数与一元一次方程的关系对③进行判断，利用函数图象，分析图象的上下关系对④进行判断．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟记一次函数的性质是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵点E为BC的中点，
∴BC=2BE=2CE，
又∵BC=2AB，
∴AB=BE，
∵∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=∠BEA=60°，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，
即AB⊥AC，故①正确；
在平行四边形ABCD中，AD//BC，AD=BC，AO=CO，
∴∠CAD=∠ACB，
在△AOF和△COE中，
∠CAD=∠ACBOA=OC∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AB⊥AC，点E为BC的中点，
∴AE=CE，
∴平行四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
在Rt△COE中，∠ACE=30°，
∴OE=12CE=14BC=14AD，故②正确；
∵AC⊥EF，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，
Rt△EOC中，OC= EC2−OE2= 4−1= 3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，
Rt△OCD中，OD= CD2+OC2= 3+4= 7，
BD=2OD=2 7，故③正确；
在平行四边形ABCD中，OA=OC，
又∵点E为BC的中点，
∴S△BOE=12S△BOC=14S△ABC，故④正确；
正确的结论有4个，
故选：A．
通过判定△ABE为等边三角形求得∠BAE=60°，利用等腰三角形的性质求得∠EAC=30°，从而判断①；由勾股定理可求OC，DO的长，由平行四边形的性质可求BD=2OD，从而判断③，结合菱形的性质和含30°直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．
本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．
7.【答案】x≤3
【解析】解：根据题意得，3−x≥0，
∴x≤3．
故答案为：x≤3．
根据二次根式有意义的条件，先列出不等式，求解即可．
本题考查了二次根式，掌握二次根式有意义的条件是解决本题的关键．
8.【答案】2
【解析】解：∵数据为1，4，2，5，x，它的平均数是3，
∴(1+2+4+5+x)÷5=3，
解得：x=3，
则这个样本方差s2=15×[(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2]=2．
故答案为：2．
根据平均数的定义先求出x的值，再根据方差公式进行计算即可．
本题考查方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2].
9.【答案】k<1
【解析】解：∵一次函数y=(k−1)x+3经过第一、二、四象限，
∴k−1<0，
解得k<1，
故答案为：k<1．
根据一次函数y=(k−1)x+3经过第一、二、四象限，可以得到k−1<0，然后求解即可．
本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
10.【答案】 2
【解析】解：12⊕4= 12+4 12−4= 2．
故答案为： 2．
先依据定义列出算式，然后再进行计算即可．
本题主要考查的是算术平方根的性质，根据定义运算列出算式是解题的关键．
11.【答案】(−1,0)
【解析】解：作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，最小值为CD′，如图．
令y=x+4中x=0，则y=4，
所以点B的坐标为(0,4)；
令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=−4，
所以点A的坐标为(−4,0)．
因为点C、D分别为线段AB、OB的中点，
所以点C(−2,2)，点D(0,2)．
因为点D′和点D关于x轴对称，
所以点D′的坐标为(0,−2)．
设直线CD′的解析式为y=kx+b，
因为直线CD′过点C(−2,2)，D′(0,−2)，
所以有−2k+b=2b=−2，解得k=−2b=−2，
所以直线CD′的解析式为y=−2x−2．
令y=0，则0=−2x−2，解得：x=−1，
所以点P的坐标为(−1,0)．
故答案为：(−1,0)．
根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．
本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是求出直线CD′的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
12.【答案】4 2或2 10或4 3
【解析】解：分三种情况计算：
(1)当AE=AF=4时，如图：
∴EF= 42+42=4 2；
(2)当AE=EF=4时，如图：
则BE=5−4=1，
BF= EF2−BE2= 42−12= 15，
∴AF AB2+BF2= 52+( 15)2=2 10；
(3)当AE=EF=4时，如图：
则DE=6−4=2，
DF= EF2−DE2= 42−22=2 3，
∴AF= AD2+DF2= 62+(2 3)2=4 3，
故答案为：4 2或2 10或4 3．
因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分(1)腰长在矩形相邻的两边上，(2)一腰在矩形的宽上，(3)一腰在矩形的长上，三种情况讨论．(1)△AEF为等腰直角三角形，直接利用直接勾股定理求解即可；(2)先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再利用勾股定理求出结论；(3)先利用勾股定理求出BF，再利用勾股定理求出底边．
本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度．
13.【答案】解：原式=3 3−2 3+ 3−2
=2 3−2．
【解析】根据二次根式加减法的计算方法进行计算即可．
本题考查二次根式的加减法，掌握二次根式加减法的计算方法是正确解答的前提，掌握合并同类二次根式的法则是解决问题的关键．
14.【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB，CD//AB，
∴∠ABD=∠CDB，
∵∠ABD=180°−∠ABE，∠CDB=180°−∠CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD ∠ABE=∠CDF BE=DF ，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF．
【解析】根据平行四边形的性质得出CD=AB，CD//AB，则∠ABD=∠CDB，进而推出∠ABE=∠CDF，利用SAS证明△ABE≌△CDF，根据全等三角形的性质即可得出结论．
此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
15.【答案】解：设AB=x，根据题意得：
在Rt△ACE中，AC2=AE2+CE2，
即：(x+3)2=(x−1)2+122，
解得：x=17．
答：旗杆AB的高度为17米．
【解析】设AB=x米，在Rt△ACE中根据勾股定理列方程求解即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．
16.【答案】解：(1)如图①中，点C即为所求；
(2)如图②中，线段CD即为所求．
【解析】(1)取格点P，Q，连接PQ交AB与点C，点C即为所求；
(2)取格点C，D，作直线CD即可．
本题考查作图−应用与设计作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
17.【答案】解：(1)把C(2,2)代入y=ax+4，得
2a+4=2，
解得a=−1，
把C(2,2)代入y=kx，得
2k=2，
解得k=1；
(2)观察图象，kx≥ax+4时x的取值范围为x≥2．
【解析】(1)先把C点坐标代入y=ax+4中可求得a的值，然后把C点坐标代入y=kx中可求得k的值；
(2)结合图象，写出直线 2不在直线l1下方所对应的自变量的范围即可．
本题是两条直线相交问题，考查了待定系数法、一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法．
18.【答案】证明：∵将矩形ABCD沿直线EF对折后，点A与点C重合，
∴OA=OC，EF⊥AC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，
在△OAE和△OCF中，
∠OEA=∠OFC∠OAE=∠OCFOA=OC，
∴△OAE≌△OCF(AAS)，
∴OE=OF，
∵OA=OC，EF⊥AC，
∴四边形AECF为菱形．
【解析】由折叠可知OA=OC，EF⊥AC，易根据AAS证明△OAE≌△OCF，得到OE=OF，于是根据“对角线互相垂直平分的四边形为菱形”即可证明四边形AECF为菱形．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定，熟练掌握折叠的性质和判定菱形的方法是解题关键．
19.【答案】8.3 9 9 七 七
【解析】解：(1)八年级的平均数a=120×(6+7×6+8×4+9×4+10×5)=8.3，
八年级的中位数为b=8+82=8，
七年级的众数c=9．
故答案为：8.3，9，9；
(2)根据以上数据分析，从中位数来看，七年级成绩更优秀；从方差来看，七年级成绩更整齐；
故答案为：七，七；
(3)300×4+520=135(人)，
答：估计八年级进入复赛的学生人数大约为135人．
(1)根据中位数平均数、定义、众数的定义即可求出a、b、c的值；
(2)根据中位数和方差的意义解答即可；
(3)用300乘优秀的百分比即可求解．
本题考查中位数、众数定义、用样本去估算总体．关键在于从图中获取信息，结合中位数、众数进行作答．
20.【答案】(1)证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB//DC且AB=DC，
∴∠ABE=∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
AB=DC∠ABE=∠DCFBE=CF，
∴△ABE≌△DCF(SAS)，
∴AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°，
∴AE//DF，
∴四边形ADFE是矩形；
(2)解：由(1)知：四边形ADFE是矩形，
∴EF=AD=4，
∵EC=3，
∴BE=CF=1，
∴BF=5，
Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴AB=2BE=2，
∴DF=AE= AB2−BE2= 3，
∴BD= BF2+DF2= 52+( 3)2=2 7，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴OF=12BD= 7．
【解析】(1)由在平行四边形性质得到AB//DC且AB=DC，由平行线的性质得到∠ABE=∠DCF，根据三角形的判定可证得△ABE≌△DCF，由全等三角形的性质得到AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°，可得AE//DF，根据矩形的判定即可得到结论；
(2)由矩形的性质得到EF=AD=6，进而求得BE=CF=2，BF=8，由∠ABE=60°可求得AB=2BE=4，由勾股定理可求得DF=AE=2 3，BD=2 19，由平行四边形性质得OB=OD，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设甲种图书每本的进价是x元，则乙种图书每本的进价是y元，
根据题意得，x+y=75x=2y−15，
解得x=45y=30，
∴甲种图书每本的进价是45元，则乙种图书每本的进价是30元；
(2)设购买甲种图书m本，则购买乙种图书(70−m)本，
∵甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多6本，
∴m≥70−m+6，
解得m≥38，
根据题意得：y=45m+30(70−m)=15m+2100，
∵15>0，
∴y随m的增大而增大，
∴m=38时，y取最小值，最小值为15×38+2100=2670，
此时70−m=70−38=32，
∴购买甲种图书38本，购买乙种图书32本，能使购书总费用W最少，最少费用为2670元．
【解析】(1)设甲种图书每本的进价是x元，则乙种图书每本的进价是y元，可得x+y=75x=2y−15，解方程可得答案；
(2)设购买甲种图书m本，由甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多6本，得m≥38，而y=45m+30(70−m)=15m+2100，根据一次函数性质可得答案．
本题考查分式方程，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
22.【答案】C
【解析】解：(1)∵(2+ 3)(2− 3)=4−3=1，
∴2+ 3与2− 3互为倒数，
故答案为：C；
(2)∵x=1 6− 5= 6+ 5( 6− 5)( 6+ 5)= 6+ 5，
y=1 6+ 5= 6− 5( 6+ 5)( 6− 5)= 6− 5，
∴x+y= 6+ 5+ 6− 5=2 6，xy=( 6+ 5)( 6− 5)=6−5=1，
∴x2y+xy2=xy(x+y)=1×2 6=2 6；
(3)令 24−x+ 8−x=t，
∵ 24−x− 8−x=2，
∴( 24−x+ 8−x)( 24−x− 8−x)=2t，
即24−x−8+x=2t，
解得t=8，
∴ 24−x+ 8−x=8②，
①+②得， 24−x=5，
∴24−x=25，
∴x=−1．
(1)求出(2+ 3)与(2− 3)的积即可得出结论；
(2)求出x+y，x−y，xy的值，再根据因式分解，代入计算即可；
(3)根据“对偶式”的性质求出t的值，再将两个方程联立得到 24−x=5，再由算术平方根的意义求解即可．
本题考查二次根式的化简，平方差公式，掌握算术平方根的定义，理解“对偶式”的性质是正确解答的关键．
23.【答案】解：(1)将C(−2,m)代入y=−x，
∴m=2，
∴C(−2,2)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴−6 k+b=0−2k+b=2，
解得k=12b=3，
∴直线AB的解析式为y=12x+3；
(2)∵DE⊥x轴，
∴P(t,12t+3)，D(t,−t)，E(t,0)，
∵DP=BO，
∴|32t+3|=3，
解得t=0(舍)或t=−4；
(3)存在某一时刻，使得A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形，理由如下：
∵PF//x轴，
∴F(−12t−3,12t+3)，
①当AE为平行四边形的对角线时，12t+3+12t+3=0，
解得t=−6，
∴P(−6,0)(舍)；
②当AF为平行四边形的对角线时，−12t−3−6=2t，
解得t=−185，
∴P(−185,65)；
③当AP为平行四边形的对角线时，t−6=−12t−3+t，
解得t=6，
∴P(6,6)；
综上所述：P点坐标为(−185,65)或(6,6)．
【解析】(1)将C(−2,m)代入y=−x，可求m的值，再用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)分别求出P(t,12t+3)，D(t,−t)，E(t,0)，根据题意可得方程|32t+3|=3，即可求t的值；
(3)求出F(−12t−3,12t+3)，再由平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式求出t的值即可．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，平行线的性质是解题的关键．
24.【答案】垂直 BC=CF+CD
【解析】解：(1)①正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，AD=AF ∠BAD=∠CAF AB=AC ，
∴△DAB≌△FAC(SAS)，
∴∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；
故答案为：垂直；
②△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
故答案为：BC=CF+CD；
(2)CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC.理由如下：
∵正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，AD=AF ∠BAD=∠CAF AB=AC ，
∴△DAB≌△FAC(SAS)，
∴∠ABD=∠ACF，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°．
∴∠ABD=180°−45°=135°，
∴∠BCF=∠ACF−∠ACB=135°−45°=90°，
∴CF⊥BC．
∵CD=DB+BC，DB=CF，
∴CD=CF+BC．
(3)解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如图3所示：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC= 2AB=2 2，AH=12BC= 2，
∴CD=14BC= 22，CH=12BC= 2，
∴DH=3 22，
由(2)证得BC⊥CF，CF=BD=5 22，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE=CM，EM=CN，
∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠ADH=∠DEM，
在△ADH与△DEM中，∠ADH=∠DEM ∠AHD=∠DME AD=DE ，
∴△ADH≌△DEM(AAS)，
∴EM=DH=3 22，DM=AH= 2，
∴CN=EM=3 22，EN=CM=3 22，
∵∠ABC=45°，
∴∠BGC=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG=BC=2 2，
∴GN=CG−CN= 22，
∴EG= GN2+EN2= ( 22)2+(3 22)2= 5．
(1)①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；
(2)根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．
(3)根据等腰直角三角形的性质得到BC= 2AB=2 2，AH=12BC= 2，求得DH=3 22，根据正方形的性质得到AD=DE，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM，EM=CN，由角的性质得到∠ADH=∠DEM，根据全等三角形的性质得到EM=DH=3 22，DM=AH= 2，等量代换得到CN=EM=3 22，EN=CM=3 22，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=2 2，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了四边形综合题，需要掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2022-2023学年江西省新余市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列运算正确的是( )
A. 3 3+ 3=4 B. 5− 2= 3
C. 3× 5= 15 D. 18÷ 2=9
2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A. 3，2， 5 B. 1， 2， 3 C. 6，7，8 D. 2，3，4
3. 学校为了解“我劳动、我快乐”活动开展情况，随机调查了50名学生一周参加劳动时间，数据如表所示.这些学生一周参加劳动时间的众数、中位数分别是( )
人数(人)
10
14
15
11
时间(小时)
3
4
5
6
A. 10，15 B. 5，4.5 C. 5，5 D. 10，14.5
4. 匀速地向一个如图所示的容器内注水，最后把容器注满.在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律可能是( )
A.
B.
C.
D.
5. 一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论：
①k<0；
②a>0；
③关于x的方程kx−x=a−b的解是x=3；
④当x<3时，y1
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
6. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O.点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC=60°，BC=2AB=4.下列结论：
①AB⊥AC；
②AD=4OE；
③BD=2 7；
④S△BOE=14S△ABC．
其中正确结论的个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 二次根式 3−x有意义，则实数x的取值范围是______ ．
8. 已知一个样本1，4，2，5，x，其平均数是3，则这个样本的方差是______ ．
9. 一次函数y=(k−1)x+3经过第一、二、四象限，则k的取值范围是______ ．
10. 对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b= a+b a−b，如：3⊕2= 3+2 3−2= 5，那么12⊕4=______．
11. 如图，直线y=x+4与x轴，y轴分别交于A和B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，P为OA上一动点，当PC+PD的值最小时，点P的坐标为______．
12. 在一张长为6cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形(要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上)则剪下的等腰三角形的底边长为______ cm．
三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. (本小题3.0分)
计算： 27− 12+3 13− (−2)2．
14. (本小题3.0分)
如图，将平行四边形ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE=DF.求证：AE=CF．
15. (本小题6.0分)
学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆AB高度，通过测量得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米(如图1)；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为12米(如图2).根据以上信息，求旗杆AB的高度．
16. (本小题6.0分)
图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.线段AB的端点均在格点上.只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法，保留作图痕迹．
(1)在图①中画出线段AB的中点C；
(2)在图②中画出线段AB的垂直平分线．
17. (本小题6.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=ax+4与x轴，y轴分别交于点B，A，且与直线l2：y=kx相交于点C(2,2)．
(1)求a和k的值；
(2)结合图象，直接写出kx≥ax+4时x的取值范围．
18. (本小题6.0分)
如图，点E，F分别是矩形ABCD的边AD，BC上的一点，将矩形ABCD沿直线EF对折后，点A与点C重合，连接CE和AF．
求证：四边形AECF为菱形．
19. (本小题8.0分)
学史明志守初心，砥砺前行担使命.某校开展“学四史”答题竞赛活动，现从七、八年级中各随机抽取了20名学生的初赛成绩(初赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀)统计、整理如下：
七年级抽取的学生的初赛成绩：6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10．
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
8.3
8.5
c
1.41
八年级
a
b
7
1.61
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ．
(2)根据以上数据分析，从中位数来看，______ 年级成绩更优秀；从方差来看，______ 年级成绩更整齐；
(3)若该校八年级有300名学生参加初赛，规定优秀才可进入复赛，估计八年级进入复赛的学生人数为多少人．
20. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF．
(1)求证：四边形ADFE是矩形；
(2)连接OF，若AD=4，EC=3，∠BAE=30°，求OF的长度．
21. (本小题8.0分)
2023年春节科幻电影《流浪地球2》火热上映，激发了人们阅读科幻书籍的热情.某学校图书馆购进甲、乙两种科幻书籍，已知购买1本甲图书和1本乙图书共需75元，购买1本甲图书的价钱比购买2本乙图书的价钱少15元．
(1)求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？
(2)某中学计划购进甲、乙两种图书共70本，且甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多6本，设乙种图书x本，购买甲、乙两种图书总费用y元，求y关于x的函数解析式并说明x的取值范围.怎样购买，才能使购书总费用y最少？并求出最少费用．
22. (本小题9.0分)
【阅读】我们将 a+ b与 a− b称为一对“对偶式”，因为( a+ b)( a− b)=( a)2−( b)2=a−b，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将( a+ b)和( a− b)中的“ ”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如2+ 22− 2=(2+ 2)2(2− 2)(2+ 2)=3+2 2.像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
(1)对偶式2+ 3与2− 3之间的关系是______ ．
A.互为相反数
B.绝对值相等
C.互为倒数
(2)已知x=1 6− 5，y=1 6+ 5，求x2y+xy2的值；
(3)解方程： 24−x− 8−x=2.(利用“对偶式”相关知识，提示：令 24−x+ 8−x=t)．
23. (本小题9.0分)
如图1，经过点A(−6,0)的直线AB与y轴交于点B，与直线y=−x交于点C(−2,m)，P是直线AB上的一个动点(点P与A，B不重合)，过点P作y轴的平行线，分别交直线y=−x和x轴于点D，E，设动点P的横坐标为t．
(1)求m的值和直线AB的解析式；
(2)当DP=BO时，求t的值；
(3)作PF//x轴，交直线y=−x于点F.在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
24. (本小题12.0分)
某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
(1)观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：______，
②BC，DC，CF之间的数量关系为：______；(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，(1)中的①，②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若已知AB=2，CD=14BC，请直接写出GE的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、3 3+ 3=4 3，故A不符合题意；
B、 5与− 2不能合并，故B不符合题意；
C、 3× 5= 15，故C符合题意；
D、 18÷ 2= 9=3，故D不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、∵( 3)2+22=7，( 5)2=5，
∴( 3)2+22≠( 5)2，
∴不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
B、∵12+( 2)2=3，( 3)2=3，
∴12+( 2)2=( 3)2，
∴能构成直角三角形，故该选项符合题意；
C、∵62+72=85，82=64，
∴62+72≠82，
∴不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
D、∵22+32=13，42=16，
∴22+32≠42，
∴不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
故选：B．
利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵一周参加劳动时间为5小时的人数有15人，人数最多，
∴众数为5，
∵一共有50名学生参加调查，一周参加劳动时间处在第25名和第26名的均为5小时，
∴中位数为5，
故选：C．
根据中位数和众数的定义求解即可．
本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．掌握众数和中位数的概念是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：由题意知：纵坐标表示的是水面的高度，横坐标表示的时间；整个注水过程大致可分为三个阶段：
①向容器最下面的圆柱体中注水时，由于注水速度不变，水面逐渐升高，且此段函数是一次函数，排除A和D；
②向容器中间的圆柱体中注水时，由于大圆柱体的底面积大于中间圆柱体的底面积，因此水位上升的幅度会增大，可排除B；
③向容器最上面的小圆柱体中注水时，由于最小圆柱体的底面积小于中间圆柱体的底面积，因此水面上升的幅度会加大，综上可知，C符合题意．
故选：C．
此题首先要弄清横、纵坐标所代表的意义，然后要考虑到上中下三个圆柱的底面积不同，所以水面升高的速度也不同；可依据上面的两点来判断各项的对错．
主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
5.【答案】B
【解析】解：∵一次函数y1=kx+b随x的增大而减小，
∴k<0，故①正确；
∵y2=x+a与y轴的交点在x轴下方，
∴a<0，故②错误；
将kx−x=a−b变形得：kx+b=x=a，
∵一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象交点的横坐标为3，
∴x=3时，kx+b=x+a，故③正确；
由函数图象可知，当x<3时，y1>y2，故④错误；
∴正确的有①③．
故选：B．
根据一次函数的性质对①②进行判断，利用一次函数与一元一次方程的关系对③进行判断，利用函数图象，分析图象的上下关系对④进行判断．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟记一次函数的性质是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵点E为BC的中点，
∴BC=2BE=2CE，
又∵BC=2AB，
∴AB=BE，
∵∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=∠BEA=60°，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，
即AB⊥AC，故①正确；
在平行四边形ABCD中，AD//BC，AD=BC，AO=CO，
∴∠CAD=∠ACB，
在△AOF和△COE中，
∠CAD=∠ACBOA=OC∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AB⊥AC，点E为BC的中点，
∴AE=CE，
∴平行四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
在Rt△COE中，∠ACE=30°，
∴OE=12CE=14BC=14AD，故②正确；
∵AC⊥EF，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，
Rt△EOC中，OC= EC2−OE2= 4−1= 3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，
Rt△OCD中，OD= CD2+OC2= 3+4= 7，
BD=2OD=2 7，故③正确；
在平行四边形ABCD中，OA=OC，
又∵点E为BC的中点，
∴S△BOE=12S△BOC=14S△ABC，故④正确；
正确的结论有4个，
故选：A．
通过判定△ABE为等边三角形求得∠BAE=60°，利用等腰三角形的性质求得∠EAC=30°，从而判断①；由勾股定理可求OC，DO的长，由平行四边形的性质可求BD=2OD，从而判断③，结合菱形的性质和含30°直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．
本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．
7.【答案】x≤3
【解析】解：根据题意得，3−x≥0，
∴x≤3．
故答案为：x≤3．
根据二次根式有意义的条件，先列出不等式，求解即可．
本题考查了二次根式，掌握二次根式有意义的条件是解决本题的关键．
8.【答案】2
【解析】解：∵数据为1，4，2，5，x，它的平均数是3，
∴(1+2+4+5+x)÷5=3，
解得：x=3，
则这个样本方差s2=15×[(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2]=2．
故答案为：2．
根据平均数的定义先求出x的值，再根据方差公式进行计算即可．
本题考查方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2].
9.【答案】k<1
【解析】解：∵一次函数y=(k−1)x+3经过第一、二、四象限，
∴k−1<0，
解得k<1，
故答案为：k<1．
根据一次函数y=(k−1)x+3经过第一、二、四象限，可以得到k−1<0，然后求解即可．
本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
10.【答案】 2
【解析】解：12⊕4= 12+4 12−4= 2．
故答案为： 2．
先依据定义列出算式，然后再进行计算即可．
本题主要考查的是算术平方根的性质，根据定义运算列出算式是解题的关键．
11.【答案】(−1,0)
【解析】解：作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，最小值为CD′，如图．
令y=x+4中x=0，则y=4，
所以点B的坐标为(0,4)；
令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=−4，
所以点A的坐标为(−4,0)．
因为点C、D分别为线段AB、OB的中点，
所以点C(−2,2)，点D(0,2)．
因为点D′和点D关于x轴对称，
所以点D′的坐标为(0,−2)．
设直线CD′的解析式为y=kx+b，
因为直线CD′过点C(−2,2)，D′(0,−2)，
所以有−2k+b=2b=−2，解得k=−2b=−2，
所以直线CD′的解析式为y=−2x−2．
令y=0，则0=−2x−2，解得：x=−1，
所以点P的坐标为(−1,0)．
故答案为：(−1,0)．
根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．
本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是求出直线CD′的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
12.【答案】4 2或2 10或4 3
【解析】解：分三种情况计算：
(1)当AE=AF=4时，如图：
∴EF= 42+42=4 2；
(2)当AE=EF=4时，如图：
则BE=5−4=1，
BF= EF2−BE2= 42−12= 15，
∴AF AB2+BF2= 52+( 15)2=2 10；
(3)当AE=EF=4时，如图：
则DE=6−4=2，
DF= EF2−DE2= 42−22=2 3，
∴AF= AD2+DF2= 62+(2 3)2=4 3，
故答案为：4 2或2 10或4 3．
因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分(1)腰长在矩形相邻的两边上，(2)一腰在矩形的宽上，(3)一腰在矩形的长上，三种情况讨论．(1)△AEF为等腰直角三角形，直接利用直接勾股定理求解即可；(2)先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再利用勾股定理求出结论；(3)先利用勾股定理求出BF，再利用勾股定理求出底边．
本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度．
13.【答案】解：原式=3 3−2 3+ 3−2
=2 3−2．
【解析】根据二次根式加减法的计算方法进行计算即可．
本题考查二次根式的加减法，掌握二次根式加减法的计算方法是正确解答的前提，掌握合并同类二次根式的法则是解决问题的关键．
14.【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB，CD//AB，
∴∠ABD=∠CDB，
∵∠ABD=180°−∠ABE，∠CDB=180°−∠CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD ∠ABE=∠CDF BE=DF ，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF．
【解析】根据平行四边形的性质得出CD=AB，CD//AB，则∠ABD=∠CDB，进而推出∠ABE=∠CDF，利用SAS证明△ABE≌△CDF，根据全等三角形的性质即可得出结论．
此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
15.【答案】解：设AB=x，根据题意得：
在Rt△ACE中，AC2=AE2+CE2，
即：(x+3)2=(x−1)2+122，
解得：x=17．
答：旗杆AB的高度为17米．
【解析】设AB=x米，在Rt△ACE中根据勾股定理列方程求解即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．
16.【答案】解：(1)如图①中，点C即为所求；
(2)如图②中，线段CD即为所求．
【解析】(1)取格点P，Q，连接PQ交AB与点C，点C即为所求；
(2)取格点C，D，作直线CD即可．
本题考查作图−应用与设计作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
17.【答案】解：(1)把C(2,2)代入y=ax+4，得
2a+4=2，
解得a=−1，
把C(2,2)代入y=kx，得
2k=2，
解得k=1；
(2)观察图象，kx≥ax+4时x的取值范围为x≥2．
【解析】(1)先把C点坐标代入y=ax+4中可求得a的值，然后把C点坐标代入y=kx中可求得k的值；
(2)结合图象，写出直线 2不在直线l1下方所对应的自变量的范围即可．
本题是两条直线相交问题，考查了待定系数法、一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法．
18.【答案】证明：∵将矩形ABCD沿直线EF对折后，点A与点C重合，
∴OA=OC，EF⊥AC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，
在△OAE和△OCF中，
∠OEA=∠OFC∠OAE=∠OCFOA=OC，
∴△OAE≌△OCF(AAS)，
∴OE=OF，
∵OA=OC，EF⊥AC，
∴四边形AECF为菱形．
【解析】由折叠可知OA=OC，EF⊥AC，易根据AAS证明△OAE≌△OCF，得到OE=OF，于是根据“对角线互相垂直平分的四边形为菱形”即可证明四边形AECF为菱形．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定，熟练掌握折叠的性质和判定菱形的方法是解题关键．
19.【答案】8.3 9 9 七 七
【解析】解：(1)八年级的平均数a=120×(6+7×6+8×4+9×4+10×5)=8.3，
八年级的中位数为b=8+82=8，
七年级的众数c=9．
故答案为：8.3，9，9；
(2)根据以上数据分析，从中位数来看，七年级成绩更优秀；从方差来看，七年级成绩更整齐；
故答案为：七，七；
(3)300×4+520=135(人)，
答：估计八年级进入复赛的学生人数大约为135人．
(1)根据中位数平均数、定义、众数的定义即可求出a、b、c的值；
(2)根据中位数和方差的意义解答即可；
(3)用300乘优秀的百分比即可求解．
本题考查中位数、众数定义、用样本去估算总体．关键在于从图中获取信息，结合中位数、众数进行作答．
20.【答案】(1)证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB//DC且AB=DC，
∴∠ABE=∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
AB=DC∠ABE=∠DCFBE=CF，
∴△ABE≌△DCF(SAS)，
∴AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°，
∴AE//DF，
∴四边形ADFE是矩形；
(2)解：由(1)知：四边形ADFE是矩形，
∴EF=AD=4，
∵EC=3，
∴BE=CF=1，
∴BF=5，
Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴AB=2BE=2，
∴DF=AE= AB2−BE2= 3，
∴BD= BF2+DF2= 52+( 3)2=2 7，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴OF=12BD= 7．
【解析】(1)由在平行四边形性质得到AB//DC且AB=DC，由平行线的性质得到∠ABE=∠DCF，根据三角形的判定可证得△ABE≌△DCF，由全等三角形的性质得到AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°，可得AE//DF，根据矩形的判定即可得到结论；
(2)由矩形的性质得到EF=AD=6，进而求得BE=CF=2，BF=8，由∠ABE=60°可求得AB=2BE=4，由勾股定理可求得DF=AE=2 3，BD=2 19，由平行四边形性质得OB=OD，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设甲种图书每本的进价是x元，则乙种图书每本的进价是y元，
根据题意得，x+y=75x=2y−15，
解得x=45y=30，
∴甲种图书每本的进价是45元，则乙种图书每本的进价是30元；
(2)设购买甲种图书m本，则购买乙种图书(70−m)本，
∵甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多6本，
∴m≥70−m+6，
解得m≥38，
根据题意得：y=45m+30(70−m)=15m+2100，
∵15>0，
∴y随m的增大而增大，
∴m=38时，y取最小值，最小值为15×38+2100=2670，
此时70−m=70−38=32，
∴购买甲种图书38本，购买乙种图书32本，能使购书总费用W最少，最少费用为2670元．
【解析】(1)设甲种图书每本的进价是x元，则乙种图书每本的进价是y元，可得x+y=75x=2y−15，解方程可得答案；
(2)设购买甲种图书m本，由甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多6本，得m≥38，而y=45m+30(70−m)=15m+2100，根据一次函数性质可得答案．
本题考查分式方程，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
22.【答案】C
【解析】解：(1)∵(2+ 3)(2− 3)=4−3=1，
∴2+ 3与2− 3互为倒数，
故答案为：C；
(2)∵x=1 6− 5= 6+ 5( 6− 5)( 6+ 5)= 6+ 5，
y=1 6+ 5= 6− 5( 6+ 5)( 6− 5)= 6− 5，
∴x+y= 6+ 5+ 6− 5=2 6，xy=( 6+ 5)( 6− 5)=6−5=1，
∴x2y+xy2=xy(x+y)=1×2 6=2 6；
(3)令 24−x+ 8−x=t，
∵ 24−x− 8−x=2，
∴( 24−x+ 8−x)( 24−x− 8−x)=2t，
即24−x−8+x=2t，
解得t=8，
∴ 24−x+ 8−x=8②，
①+②得， 24−x=5，
∴24−x=25，
∴x=−1．
(1)求出(2+ 3)与(2− 3)的积即可得出结论；
(2)求出x+y，x−y，xy的值，再根据因式分解，代入计算即可；
(3)根据“对偶式”的性质求出t的值，再将两个方程联立得到 24−x=5，再由算术平方根的意义求解即可．
本题考查二次根式的化简，平方差公式，掌握算术平方根的定义，理解“对偶式”的性质是正确解答的关键．
23.【答案】解：(1)将C(−2,m)代入y=−x，
∴m=2，
∴C(−2,2)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴−6 k+b=0−2k+b=2，
解得k=12b=3，
∴直线AB的解析式为y=12x+3；
(2)∵DE⊥x轴，
∴P(t,12t+3)，D(t,−t)，E(t,0)，
∵DP=BO，
∴|32t+3|=3，
解得t=0(舍)或t=−4；
(3)存在某一时刻，使得A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形，理由如下：
∵PF//x轴，
∴F(−12t−3,12t+3)，
①当AE为平行四边形的对角线时，12t+3+12t+3=0，
解得t=−6，
∴P(−6,0)(舍)；
②当AF为平行四边形的对角线时，−12t−3−6=2t，
解得t=−185，
∴P(−185,65)；
③当AP为平行四边形的对角线时，t−6=−12t−3+t，
解得t=6，
∴P(6,6)；
综上所述：P点坐标为(−185,65)或(6,6)．
【解析】(1)将C(−2,m)代入y=−x，可求m的值，再用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)分别求出P(t,12t+3)，D(t,−t)，E(t,0)，根据题意可得方程|32t+3|=3，即可求t的值；
(3)求出F(−12t−3,12t+3)，再由平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式求出t的值即可．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，平行线的性质是解题的关键．
24.【答案】垂直 BC=CF+CD
【解析】解：(1)①正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，AD=AF ∠BAD=∠CAF AB=AC ，
∴△DAB≌△FAC(SAS)，
∴∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；
故答案为：垂直；
②△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
故答案为：BC=CF+CD；
(2)CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC.理由如下：
∵正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，AD=AF ∠BAD=∠CAF AB=AC ，
∴△DAB≌△FAC(SAS)，
∴∠ABD=∠ACF，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°．
∴∠ABD=180°−45°=135°，
∴∠BCF=∠ACF−∠ACB=135°−45°=90°，
∴CF⊥BC．
∵CD=DB+BC，DB=CF，
∴CD=CF+BC．
(3)解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如图3所示：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC= 2AB=2 2，AH=12BC= 2，
∴CD=14BC= 22，CH=12BC= 2，
∴DH=3 22，
由(2)证得BC⊥CF，CF=BD=5 22，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE=CM，EM=CN，
∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠ADH=∠DEM，
在△ADH与△DEM中，∠ADH=∠DEM ∠AHD=∠DME AD=DE ，
∴△ADH≌△DEM(AAS)，
∴EM=DH=3 22，DM=AH= 2，
∴CN=EM=3 22，EN=CM=3 22，
∵∠ABC=45°，
∴∠BGC=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG=BC=2 2，
∴GN=CG−CN= 22，
∴EG= GN2+EN2= ( 22)2+(3 22)2= 5．
(1)①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；
(2)根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．
(3)根据等腰直角三角形的性质得到BC= 2AB=2 2，AH=12BC= 2，求得DH=3 22，根据正方形的性质得到AD=DE，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM，EM=CN，由角的性质得到∠ADH=∠DEM，根据全等三角形的性质得到EM=DH=3 22，DM=AH= 2，等量代换得到CN=EM=3 22，EN=CM=3 22，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=2 2，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了四边形综合题，需要掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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