高二下期末(文科)数学试卷-(解析版)

这是一份高二下期末(文科)数学试卷-(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第二学期期末数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题）.
1．设集合A＝{x|x2+2x﹣3＜0}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∩B＝（　　）
A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣3＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜2}
2．＝（　　）
A． B． C． D．
3．要得到函数y＝cos（x+）的图象，只需将函数y＝cos（x﹣）的图象（　　）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度
4．已知函数f（x+2）＝log2x+x，若f（4）＝a，则f（a）＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．某中学有高中生3600人，初中生2400人为了解学生课外锻炼情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本．已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则n＝（　　）
A．48 B．72 C．60 D．120
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）

A．20 B．24 C．18 D．16
7．已知，则＝（　　）
A． B． C． D．
8．已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断错误的是（　　）
A．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n B．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
C．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+1）＝f（﹣x+1），当0＜x≤1时，f（x）＝x2﹣2x+3，则＝（　　）
A． B． C． D．
10．已知抛物线C：x＝4y2的焦点为F，若斜率为的直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，则线段AB的中点到准线的距离为（　　）
A． B． C． D．
11．黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．例如，一个正五边形可以看成是由正五角星和五个顶角为108°的黄金三角形组成，如图所示，在黄金三角形A1AB中，．根据这些信息，若在正五边形ABCDE内任取一点，则该点取自正五边形A1B1C1D1E1内的概率是（　　）

A． B． C． D．
12．已知函数若存在实数x1，x2满足0≤x1＜x2≤2，且f（x1）＝f（x2），则x2﹣x1的最大值为（　　）
A． B． C．1﹣ln2 D．2﹣ln4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知向量，若，则m＝　 　．
14．已知实数x，y满足不等式组，则z＝x﹣y的最小值为　 　．
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则＝　 　．
16．已知点P（5，0），若双曲线的右支上存在两动点M，N，使得，则的最小值为　 　．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn．





18．某航空公司规定：国内航班（不构成国际运输的国内航段）托运行李每件重量上限为50kg，每件尺寸限制为40cm×60cm×100cm，其中头等舱乘客免费行李额为40kg，经济舱乘客免费行李额为20kg．某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查，得到如下数据：
携带行李重量（kg）
[0，20]
（20，30]
（30，40]
（40，50]
头等舱乘客人数
8
33
12
2
经济舱乘客人数
37
5
3
0
合计
45
38
15
2
（1）请完成答题卡上的2×2列联表，并判断是否在犯错概率不超过0.05的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关；
（2）调研小组为感谢参与调查的旅客，决定从托运行李超出免费行李额且不超过10kg的旅客中随机抽取2人赠送“100元超额行李补助券”，求这2人中至少有1人是头等舱乘客的概率．
参考公式，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：
P（K≥k0）
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828






19．图1是由平行四边形ABCD和Rt△ABE组成的一个平面图形，其中∠BAD＝60°，AB⊥AE，AD＝AE＝2AB＝2，将△ABE沿AB折起到△ABP的位置，使得，如图2．
（1）证明：PA⊥BD．
（2）求点C到平面PBD的距离．







20．已知函数在x＝0处取得极值．
（1）求m的值；
（2）若过点（2，t）可作曲线y＝f（x）的三条切线，求t的取值范围．











21．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，且F2到直线的距离为．
（1）求椭圆C的方程．
（2）过F1的直线m交椭圆C于P，Q两点，O为坐标原点，以OP，OQ为邻边作平行四边形OPDQ，是否存在直线m，使得点D在椭圆C上？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．











22．已知函数．
（1）当a＝1时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥﹣1在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x|x2+2x﹣3＜0}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∩B＝（　　）
A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣3＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜2}
【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．
解：∵A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，
∴A∩B＝{x|0＜x＜1}．
故选：B．
2．＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解：＝．
故选：A．
3．要得到函数y＝cos（x+）的图象，只需将函数y＝cos（x﹣）的图象（　　）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度
【分析】由题意利用函数y＝Acos（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
解：把函数y＝cos（x﹣）＝cos（x﹣）的图象向左平移1个单位长度，
可得函数y＝cos（x﹣+1）＝cos（x+）的图象，
故选：C．
4．已知函数f（x+2）＝log2x+x，若f（4）＝a，则f（a）＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】推导出f（4）＝f（2+2）＝log22+2＝3，从而f（a）＝f（3）＝f（2+1），由此能求出结果．
解：∵函数f（x+2）＝log2x+x，f（4）＝a，
∴f（4）＝f（2+2）＝log22+2＝3，
f（a）＝f（3）＝f（2+1）＝log21+1＝1．
故选：A．
5．某中学有高中生3600人，初中生2400人为了解学生课外锻炼情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本．已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则n＝（　　）
A．48 B．72 C．60 D．120
【分析】根据分层抽样的基本知识建立比例关系并解方程即可．
解：高中人数
初中人数
∴
∴n＝120
故选：D．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）

A．20 B．24 C．18 D．16
【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．
解：三视图转换为几何体为：

所以：V＝＝20，
故选：A．
7．已知，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解．
解：∵，
∴＝cos[﹣（2）]＝cos（2θ﹣）＝1﹣2sin2（）＝1﹣2×＝．
故选：D．
8．已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断错误的是（　　）
A．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n
B．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
C．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n
D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
【分析】对于A，由线面垂直的性质定理和面面平行的性质得m∥n；对于B，由线线平行的性质、面面平行的判定定理得α∥β；对于C，由线线平行的判定定理得m∥n；对于D，α与β相交或平行．
解：由l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，知：
对于A，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则由线面垂直的性质定理和面面平行的性质得m∥n，故A正确；
对于B，若m⊥α，n⊥β，m∥n，则由线线平行的性质、面面平行的判定定理得α∥β，故B正确；
对于C，若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则由线线平行的判定定理得m∥n，故C正确；
对于D，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故D错误．
故选：D．
9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+1）＝f（﹣x+1），当0＜x≤1时，f（x）＝x2﹣2x+3，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，分析可得f（2+x）＝﹣f（x），进而有f（4+x）＝f（x），即函数f（x）的周期为4，据此可得＝f（）＝﹣f（），结合函数的解析式计算可得答案．
解：根据题意，函数f（x）满足f（x+1）＝f（﹣x+1），函数图象关于直线x＝1对称，且有f（﹣x）＝f（2+x），
又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），
则有f（2+x）＝﹣f（x），
进而有f（4+x）＝f（x），即函数f（x）的周期为4，
故＝f（）＝﹣f（），
又由当0＜x≤1时，f（x）＝x2﹣2x+3，则f（）＝，
故＝﹣f（）＝﹣，
故选：C．
10．已知抛物线C：x＝4y2的焦点为F，若斜率为的直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，则线段AB的中点到准线的距离为（　　）
A． B． C． D．
【分析】求出抛物线的准线方程，然后求解准线方程，求出线段AB的中点的横坐标，然后求解即可．
解：抛物线C：x＝4y2，可得准线方程为：x＝﹣，过点F（，0）且斜率的直线l：y＝（x﹣），
由题意可得：，可得x2﹣x+＝0，
直线l与抛物线C相交于A、B两点，则线段AB的中点的横坐标为：，
则线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为：+＝．
故选：A．
11．黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．例如，一个正五边形可以看成是由正五角星和五个顶角为108°的黄金三角形组成，如图所示，在黄金三角形A1AB中，．根据这些信息，若在正五边形ABCDE内任取一点，则该点取自正五边形A1B1C1D1E1内的概率是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据多边形相似，求出满足条件的概率即可．
解：如图示：
，
在△ABC中，过点B作BH⊥AC，垂足为H，设AB＝2，
由题意知AA1＝A1B＝﹣1，∠A1AB＝36°，
在△A1AB中，由余弦定理得：
cos∠A1AB＝＝＝，
在RT△ABH中，得：
cos∠A1AB＝＝，
∴AH＝AB•＝2×＝，
∴A1H＝AH﹣AA1＝﹣（﹣1）＝，
∴A1B1＝2A1H＝3﹣，
正五边形ABCDE与正五边形A1B1C1D1E1的面积分别记作S1，S2，
∵正五边形ABCDE与正五边形A1B1C1D1E1相似，
∴＝＝＝，
若在正五边形ABCDE内任取一点，
则该点取自正五边形A1B1C1D1E1内的概率是 ，
故选：B．
12．已知函数若存在实数x1，x2满足0≤x1＜x2≤2，且f（x1）＝f（x2），则x2﹣x1的最大值为（　　）
A． B． C．1﹣ln2 D．2﹣ln4
【分析】画出函数图象得到x2﹣x1＝x2﹣ln（2x2），令g（x）＝x﹣ln（2x），，根据函数的单调性求出其最大值即可．
解：画出函数f（x）的图象，如图示：

结合f（x）的图象可知，
因为x1＝ln（2x2），所以，则x2﹣x1＝x2﹣ln（2x2），
令g（x）＝x﹣ln（2x），，则，
所以g（x）在上单调递增，
故，
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知向量，若，则m＝　　．
【分析】可求出，然后根据即可得出，然后进行向量坐标的数量积运算即可求出m的值．
解：，，且，
∴，解得．
故答案为：．
14．已知实数x，y满足不等式组，则z＝x﹣y的最小值为　﹣3　．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（﹣1，2）．
化z＝x﹣y为y＝x﹣z，由图可知，当直线y＝x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最小值为﹣3．
故答案为：﹣3．
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则＝　﹣　．
【分析】利用三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanA的值，利用二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．
解：∵，
∴bccosA＝×bcsinA，可得cosA＝sinA，即tanA＝，
∴＝＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
16．已知点P（5，0），若双曲线的右支上存在两动点M，N，使得，则的最小值为　　．
【分析】画出图形，利用向量的数量积的几何意义，转化为双曲线上的点到P距离的平方，然后求解最小值即可．
解：由题意，
则＝＝，的最小值，就是双曲线上的点M到P距离的平方的最小值，
设M（m，n），则：，
＝（m﹣5）2+n2＝（m﹣5）2+3m2﹣3＝4m2﹣10m+22，当m＝时，表达式取得最小值：．
故答案为：．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）当n≥2时，2Sn﹣1＝nan﹣1，可得2an＝（n+1）an﹣nan﹣1（n≥2），整理化简可得：，利用“累乘求积法”可得an．
（2）由（1）可知＝，利用裂项求和方法即可得出．
解：（1）当n≥2时，2Sn﹣1＝nan﹣1，又2Sn＝（n+1）an，
相减可得2an＝（n+1）an﹣nan﹣1（n≥2），
整理得（n﹣1）an＝nan﹣1（n≥2），则，
故，
当n＝1时，a1＝2满足上式，故an＝2n．
（2）由（1）可知＝，
则＝．
18．某航空公司规定：国内航班（不构成国际运输的国内航段）托运行李每件重量上限为50kg，每件尺寸限制为40cm×60cm×100cm，其中头等舱乘客免费行李额为40kg，经济舱乘客免费行李额为20kg．某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查，得到如下数据：
携带行李重量（kg）
[0，20]
（20，30]
（30，40]
（40，50]
头等舱乘客人数
8
33
12
2
经济舱乘客人数
37
5
3
0
合计
45
38
15
2
（1）请完成答题卡上的2×2列联表，并判断是否在犯错概率不超过0.05的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关；
（2）调研小组为感谢参与调查的旅客，决定从托运行李超出免费行李额且不超过10kg的旅客中随机抽取2人赠送“100元超额行李补助券”，求这2人中至少有1人是头等舱乘客的概率．
参考公式，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：
P（K≥k0）
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
【分析】（1）补全列联表，计算观测值，对照附表得出结论；
（2）由题意利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．
解：（1）补全2×2列联表如下：

托运免费行李
托运超额行李
合计
头等舱乘客人数
53
2
55
经济舱乘客人数
37
8
45
合计
90
10
100
因为，
所以在犯错概率不超过0.05的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关．
（2）由题意可知托运行李超出免费行李额且不超过10kg的旅客有7人，其中头等舱乘客有2人，记为A，B，经济舱乘客有5人，记为a，b，c，d，e．
从这7人中随机抽取2人的情况有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ae，Ba，
Bb，Bc，Bd，Be，ab，ac，ad，ae，bcbd，be，cd，ce，de，共21种，
其中符合条件的情况有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ae，Ba，Bb，Bc，Bd，Be，共11种．
故所求概率．
19．图1是由平行四边形ABCD和Rt△ABE组成的一个平面图形，其中∠BAD＝60°，AB⊥AE，AD＝AE＝2AB＝2，将△ABE沿AB折起到△ABP的位置，使得，如图2．
（1）证明：PA⊥BD．
（2）求点C到平面PBD的距离．

【分析】（1）推导出∠ABC＝120°，连接AC，根据余弦定理得AC2＝7，由勾股定理得PA⊥AC，再由PA⊥AB，得PA⊥平面ABCD，由此能证明PA⊥BD．
（2）推导出BD⊥CD，PA⊥平面ABCD，由PA⊥BD，又BD⊥AB，得BD⊥平面PAB，从而BD⊥PB，设点C到平面PBD的距离为h，由VC﹣PBD＝VP﹣BCD，能求出点C到平面PBD的距离．
解：（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，
所以∠ABC＝120°．
连接AC，在△ABC中，根据余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠ABC＝7，
因为，所以PC2＝AC2+PA2，所以PA⊥AC，
因为PA⊥AB，且AB∩AC＝A，
所以PA⊥平面ABCD，
因为BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．
（2）解：因为BC＝AD＝2，CD＝AB＝1，∠BCD＝∠BAD＝60°，
所以，所以BD⊥CD．
则△BCD的面积为．
由（1）可知PA⊥平面ABCD，
所以．
由（1）可知PA⊥BD，又BD⊥AB，
所以BD⊥平面PAB，
因为PB⊂平面PAB，所以BD⊥PB，
因为，
所以△PBD的面积为．
设点C到平面PBD的距离为h，
因为VC﹣PBD＝VP﹣BCD，所以，
解得．

20．已知函数在x＝0处取得极值．
（1）求m的值；
（2）若过点（2，t）可作曲线y＝f（x）的三条切线，求t的取值范围．
【分析】（1）对f（x）求导，再结合题意可得f′（0）＝0，解得m．
（2）设切点坐标为，由导数的几何意义可得切线斜率k＝，写出切线的方程，再代入（2，t），得．令，由于有三条切线所以y＝t与y＝g（x）由三个交点．对函数g（x）求导分析单调性及极值，进而得出t的取值范围．
解：（1）因为，以．
因为f（x）在x＝0处取得极值，所以f'（0）＝m＝0．
经验证m＝0符合题意．
（2）设切点坐标为，
由，得，
所以切线方程为，
将（2，t）代入切线方程，得．
令，则g'（x）＝x2﹣4，
则g'（x）＝x2﹣4＝0，解得x＝±2．
当x＜﹣2或x＞2时，g'（x）＞0，
所以g（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上单调递增；
当﹣2＜x＜2时，g'（x）＜0，
所以g（x）在（﹣2，2）上单调递减．
所以g（x）的极大值为，g（x）的极小值为．
因为有三条切线，所以方程t＝g（x）有三个不同的解，y＝t与y＝g（x）的图象有三个不同的交点，
所以．
21．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，且F2到直线的距离为．
（1）求椭圆C的方程．
（2）过F1的直线m交椭圆C于P，Q两点，O为坐标原点，以OP，OQ为邻边作平行四边形OPDQ，是否存在直线m，使得点D在椭圆C上？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据离心率得到a，b，c的关系，进而可表示出直线l的方程为，则可表示出F2到直线的距离，解得c＝1，即可得到C的方程；
（2）考虑直线PQ斜率存在时的情况，联立直线与椭圆方程，利用根与系数关系结合平行四边形性质，运用向量法得到，求得D的坐标，代入椭圆方程，解出k∈∅；斜率不存在时m：x＝﹣1，满足条件，得到D坐标
解：（1）因为椭圆C的离心率为，所以，
所以a＝2c，，
所以直线l的方程为，
即．
由题意可得F2（c，0），则，解得c＝1．
故椭圆C的标准方程为．
（2）①当直线PQ的斜率存在时，
设直线m的方程为y＝k（x+1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．
联立，整理得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，
则，．
设D（x0，y0），由四边形OPDQ为平行四边形，得，
则，即，
若点D落在椭圆C上，则，
即，
整理得，解得k∈∅．
②当直线PQ的斜率不存在时，直线m的方程为x＝﹣1，
此时存在点D（﹣2，0）在椭圆C上．
综上，存在直线m：x＝﹣1，使得点D（﹣2，0）在椭圆C上．
22．已知函数．
（1）当a＝1时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥﹣1在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）求出导函数，构造函数h（x）＝ex﹣x，利用函数的导数判断函数的单调性，然后转化推出f（x）的单调性即可．
（2）求出导函数，令，求出导函数，，判断函数的单调性求解函数f（x）最小值，推出ae﹣1≥﹣1，得到a的范围．当a≤0时，说明不符合题意；当时，推出a的范围，然后得到结果．
解：（1）．
令h（x）＝ex﹣x，x∈（0，+∞），则h'（x）＝ex﹣1＞0，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，h（x）＞h（0）＝1，即ex＞x．
故在（0，1）上，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
在（1，+∞）上，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
（2），x∈[1，+∞），
令，x∈[1，+∞），，
故在[1，+∞）上，g'（x）＜0，g（x）单调递减，易得．
当时，f'（x）≥0，函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（1）＝ae﹣1≥﹣1，
解得a≥0，故．
当a≤0时，f'（x）≤0，函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，f（1）＜﹣1，不符合题意．
当时，则存在x0∈（1，+∞），使得，
则函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．
所以，
解得a≥e﹣2，即．
综上，．