2021-2022学年四川省内江市高一（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

2021-2022学年四川省内江市高一（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. (    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知为等差数列，且，则(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

4. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 的内角、、所对的边分别为、、，若，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在等比数列中，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知数列是等比数列，且，，则的前项和为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则公比为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 中，，，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

11. 是边长为的等边三角形，点、分别在边、上，且，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知正实数、满足，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. ______．
14. 已知数列的前项和，则的通项公式为______．
15. 已知的内角、、所对的边分别为、、，若，，则面积的最大值为______．
16. 已知点，，是函数，图象上的动点，若，则的最大值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知，，且，，求：
    ；
    ．
18. 已知，，函数．
    求的最小正周期；
    已知的内角、、所对的边分别为，、，若，、成等比数列，为函数的最大值，试判断的形状．
19. 已知等比数列的前项和为，且，．
    求通项公式；
    若的前项按某种顺序重新排列后是递增等差数列的第八、九、十项，求的前项和的最小值．
20. 已知数列的前项和为，且．
    证明数列是常数列，并求的通项公式；
    设数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
21. 已知的内角、、所对的边分别为，、，的面积为，若．
    求证：；
    若，为内一点，且，求的取值范围．
22. 已知数列满足：，．
    直接写出，的值；
    (ⅱ)求的通项公式；
    求数列的前项和．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
利用两角和的正弦公式，即可解出．
本题考查了两角和的正弦公式，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，，
，求得，
，
则，
故选：．
由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得的值，求得的坐标，可得则的值．
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：设为等差数列的公差，
，
，
故选：．
由题意，利用等差数列的通项公式，求出的值．
本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
对于，当时，，故A错误；
对于，，，时，，故B错误；
对于，，，，故C正确；
对于，当时，，故D错误．
故选：．
举反例判断；对于，由，得，从而．
本题考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由正弦定理知，且，
，
，
，
，
．
故选：．
利用正弦定理解出角，再利用正弦定理，即可解出值．
本题考查了解三角形，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：等比数列中，，，，
则，
故选：．
由题意，利用等比数列的通项公式，求得的值，可得的值．
本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：设等比数列的公比为，由，即，
所以，解得，又，所以，
所以，记数列的前项和为，
则，
所以数列的前项和为．
故选：．
设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式及已知条件求出，即可得到的通项公式，从而得到的通项公式，记数列的前项和为，利用等比数列求和公式求出，即可得解．
本题考查数列求和，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设等差数列的公差为，
因为，
，
，
因为，，成等比数列，
所以，
所以，
所以，
故选：．
设等差数列的公差为，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，以及等比数列的定义，计算可得所求的值．
本题考查等差数列和等比数列的性质，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
由正弦定理：，
，
，
，
，，
由正弦定理得，，
，
当时，取得最小值为：，
故选：．
利用同角三角函数关系式，余弦定理，即可解出角，再利用正弦定理，以及角的范围，即可解出．
本题考查了解三角形，正余弦定理，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，


．
故选：．
利用诱导公式将化为，再利用二倍角的余弦公式即可求出结果．
本题考查诱导公式、二倍角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：是边长为的等边三角形，点、分别在边、上，且，
则以为原点，所在的直线为轴，平面内过垂直于的直线为轴，
建立直角坐标系，如图所示：

则，
因为点、分别在边、上，且，
设且，则，
所以，
故当时，的最小值为．
故选：．
根据三角形形状及各点位置，建立平面直角坐标系，设动点坐标，利用平面向量的坐标运算，并结合函数思想求得最值．
本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：正实数、满足，
．
当且仅当，即，时取等号，
的最小值为．
故选：．
由题可知，再利用基本不等式求解即可．
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用诱导公式和二倍角的余弦函数公式直接求解．
本题考查诱导公式和二倍角的余弦函数公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，数列的前项和，
当时，，
当时，，
故．
根据题意，分种情况讨论：当时，，当时，，求出的表达式，综合可得答案．
本题考查数列的前项和与通项的关系，涉及数列的表示方法，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由余弦定理可得，
，当且仅当时取等号，
且为三角形内角，
，
．
故答案为：．
利用余弦定理解出的最大值，再利用三角形面积公式，即可解出．
本题考查了解三角形，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：点，，是函数，图象上的动点，
则可设的坐标，
又若，得即，得，
则，，
设，，
则，故在上单调递增，
从而得到在处取得最大值，
故答案为：．
设出的坐标，再利用向量的坐标运算表示出，求导即可．
本题考查了向量的坐标运算以及导数与单调性相关知识，属于中档题．
 

17.【答案】解：因为，所以，
则，
所以，
因为，，且，，
所以，，则，
又，所以． 

【解析】由已知求出，的值，再利用正切的和角公式化简即可求解；利用已知求出的范围，再利用正切的三角函数值即可求解．
本题考查了两角和与差的三角函数的公式的应用，涉及到角的求解，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：，，
，
，
，
．
由可知，，
则，解得，
，、成等比数列，
，
，
，即，解得，
为等边三角形． 

【解析】根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，求出，再结合周期公式，即可求解．
根据已知条件，先求出角，再结合余弦定理，以及等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，以及余弦定理，属于中档题．
 

19.【答案】解：设等比数列的公比为，由，，
所以，解得或，
所以或．
解：若，则前项均为，显然不满足是递增的等差数列，故舍去；
所以，则，，，
因为是递增的等差数列，所以，，，
所以公差，
所以，
所以当时，时，
所以当时，取得最小值，即； 

【解析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，即可求出、，从而求出通项公式；
列出数列的前项，再按照要求排列，即可求出的通项公式，再根据数列的单调性及前项和公式计算可得．
本题考查数列求和，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】证明：由，取，得，即，
当时，有，
可得，
则，即，
数列是常数列，又，
，即；
解：，
，
对任意恒成立，，即，
解得或．
实数的取值范围是． 

【解析】由已知数列递推式求得首项，取，可得，与原递推式联立，即可证明数列是常数列，并求的通项公式；
利用裂项相消法求数列的前项和为，结合对任意恒成立，可得关于的一元二次不等式，求解得答案．
本题考查数列递推式，考查推理论证能力与运算求解能力，训练了裂项相消法求数列的前项和，是中档题．
 

21.【答案】解：证明：因为，
由均值不等式，当且仅当时取等号，
所以，即，
而在三角形中，，所以，
即；
，，由可得，
如图所示：建立以为轴，以为轴的平面直角坐标系，由题意可得，，，
设，因为，所以，
即，即，
整理可得，
而的方程为，，
与联立，可得，
所以，
因为，
所以，
即的取值范围为． 

【解析】由三角形的面积公式及均值不等式可得角的正弦值的范围，再由在三角形中，角的正弦值的范围，可证得角的大小；
由可得，建立适当的平面直角坐标系，可得，，的坐标，设的坐标，由题意可得，，代入坐标可得的横纵坐标的关系，求出直线的方程，与的横纵坐标的关系联立，求出横坐标的值，即的最大值，再求的表达式，由的范围，求出其取值范围．
本题考查三角形的面积公式的应用及均值不等式的应用，向量数量积的求法，属于中档题．
 

22.【答案】解：对任意的，，则，
，，
对任意的，，则，
上述两个等式作差可得，
所以，数列的奇数项成以为首项，以为公差的等差数列，
数列的偶数项成以为首项，以为公差的等差数列，
当为正奇数时，设，则，
当为正偶数时，设，则．
综上所述，对任意的，．
解：，
所以，，
则，
两式作差得
，
因此，． 

【解析】利用递推公式可得出、的值；
分析出数列的奇数项、偶数项分别成以为公差的等差数列，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；
利用错位相减法可求得．
本题考查数列求和，考查学生的运算能力，属于中档题．