高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版)

这是一份高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版)，共16页。试卷主要包含了下面几种推理过程是演绎推理的是，算法的三种基本结构是，在极坐标系中，点等内容，欢迎下载使用。
高二（下）期中数学试卷（文科）　
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1．已知i是虚数单位，则复数z1=2﹣i，z2=1+2i，则z1•z2在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下面几种推理过程是演绎推理的是（　　）
A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，由此推断各班人数都超过50人
B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．在数列{an}中，a1=1，an+1=（n=1，2，3），由此归纳出{an}的通项公式
D．三角函数都是周期函数，tanα是三角函数，因此tanα是周期函数
3．算法的三种基本结构是（　　）
A．顺序结构、模块结构、条件结构 B．顺序结构、条件结构、循环结构
C．顺序结构、循环结构、模块结构 D．模块结构、条件结构、循环结构
4．双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）
A． B．y=±2x C． D．
5．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（　　）
A．a、b至少有一个不为0 B．a、b至少有一个为0
C．a、b全不为0 D．a、b中只有一个为0
6．如图所示的程序框图，若输入n的值为5，则输出s的值为（　　）

A．7 B．8 C．10 D．11
7．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+y′2=1，则曲线C的方程为（　　）
A．9x2+16y2=1 B．16x2+9y2=1 C． =1 D． =1
8．在极坐标系中，点（2，）到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为（　　）
A．2 B． C． D．
9．已知实数1，t，4成等比数列，则圆锥曲线=1的离心率为（　　）
A． B．或 C．或 D．或3
10．若等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列{}为等差数列，公差为．类似，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{}的公比为（　　）
A． B．q2 C． D．
11．近日石家庄狮身人面像拆除，围绕此事件的种种纷争，某媒体通过随机询问100名性别不同的居民对此的看法，得到表

认为就应依法拆除
认为太可惜了
男
45
10
女
30
15
附：
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.025
k
2.706
3.841
5.024
K2=
参照附表，得到的正确结论是（　　）
A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“认为拆除太可惜了与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“认为拆除太可惜了与性别无关”
C．有90%以上的把握认为“认为拆除太可惜了与性别有关”
D．有90%以上的把握认为“认为拆除太可惜了与性别无关”
12．以下五个个命题，
①若实数a＞b，则a+i＞b+i．
②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1．
③在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量一定增加0.2单位．
④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．
⑤由“若a，b，c∈R，则（ab）c=a（bc）”类比“若为三个向量，则”；
正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4　
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．抛物线x2=8y的焦点坐标为　　．
14．已知直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的倾斜角为　　．
15．自然数按下列的规律排列

则上起第50行，左起第51列的数为　　．
16．函数f（x）=lnx﹣3ax有两个零点，则a的取值范围是　　．　
三．解答题：（本大题共6小题，满分共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17．已知复数z满足（1﹣i）z=1+ai，
（1）当a=3时，求复数z的模．（2）若z为纯虚数，a为何值．




18．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+1．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）求f（x）在点（﹣2，f（﹣2））处的切线方程．






19．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元），与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见表：
x
3
4
5
6
7
8
9
y
66
69
73
81
89
90
91
已知x=280， y=45309， xiyi=3487．参考公式：．残差： =yi﹣i
（1）求，；
（2）在直角坐标系上画出散点图；
（3）判断纯利y与每天销售件数x之间是否线性相关，如果线性相关，求出回归方程（保留两位小数）．
（4）如果纯利y与每天销售件数x之间线性相关，计算相应于点（9，91）的残差．








20．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．




21．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，过点F2且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，若M（﹣6，0），求当三角形MAB的面积S最大值时直线l的方程．




22．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）．
（1）当a=1时，求f（x）的极值点．
（2）求y=f（x）的单调区间；
（3）设g（x）=x2﹣2x，当a≤时，若对任意x1，x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2）恒成立，求a的取值范围．
　
参考答案与试题解析　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．已知i是虚数单位，则复数z1=2﹣i，z2=1+2i，则z1•z2在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵z1=2﹣i，z2=1+2i，
∴z1•z2=（2﹣i）（1+2i）=2+4i﹣i﹣2i2=4+3i．
∴z1•z2在复平面内对应点的坐标是（4，3）．
故选：A．　
2．下面几种推理过程是演绎推理的是（　　）
A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，由此推断各班人数都超过50人
B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．在数列{an}中，a1=1，an+1=（n=1，2，3），由此归纳出{an}的通项公式
D．三角函数都是周期函数，tanα是三角函数，因此tanα是周期函数
【解答】解：A选项，某校高二共有16个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人，也属于归纳推理，
B选项，由三角形的性质，推测空间四面体性质，属于类比推理；
C选项，在数列{an}中，a1=1，an+1=（n=1，2，3），由此归纳出{an}的通项公式，属于归纳推理；
D选项，具有明显的大前提，小前提，结论，属于典型的演绎推理的三段论形式．
综上，可知，只有D选项为演绎推理．
故选D．　
3．算法的三种基本结构是（　　）
A．顺序结构、模块结构、条件结构
B．顺序结构、条件结构、循环结构
C．顺序结构、循环结构、模块结构
D．模块结构、条件结构、循环结构
【解答】解：算法的三种基本结构是顺序结构、条件结构、循环结构，
考查四个选项，应该选B
故选B．　
4．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B．y=±2x C． D．
【解答】解：由已知得到，
因为双曲线的焦点在x轴上，
故渐近线方程为；
故选C．　
5．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（　　）
A．a、b至少有一个不为0 B．a、b至少有一个为0
C．a、b全不为0 D．a、b中只有一个为0
【解答】解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，
故选 A．　
6．如图所示的程序框图，若输入n的值为5，则输出s的值为（　　）

A．7 B．8 C．10 D．11
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；
输入n=5，i=1，S=1，
满足i≤5，s=1+0=1，i=2，
满足i≤5，s=1+1=2，i=3，
满足i≤5，s=2+2=4，i=4，
满足i≤5，s=4+3=7，i=5，
满足i≤5，s=7+4=11，i=6，
不满足i≤5，终止循环，输出s=11．
故选：D．　
7．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+y′2=1，则曲线C的方程为（　　）
A．9x2+16y2=1 B．16x2+9y2=1 C． =1 D． =1
【解答】解：把代入曲线x′2+y′2=1，可得（4x）2+（3y）2=1，化为16x2+9y2=1，即为曲线C的方程．
故选：B．　
8．在极坐标系中，点（2，）到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为（　　）
A．2 B． C． D．
【解答】解：在直角坐标系中，点即（1，），圆即 x2+y2=2x，即 （x﹣1）2+y2=1，
故圆心为（1，0），故点（2，）到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为 =，
故选 D．　
9．已知实数1，t，4成等比数列，则圆锥曲线=1的离心率为（　　）
A． B．或 C．或 D．或3
【解答】解：实数1，t，4构成一个等比数列，可得t=±2，
t=2时，圆锥曲线+y2=1，它的离心率为：e==．
t=﹣2时，圆锥曲线y2﹣=1，它的离心率为：e=．
故选：B．　
10．若等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列{}为等差数列，公差为．类似，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{}的公比为（　　）
A． B．q2 C． D．
【解答】解：∵在等差数列{an}中前n项的和为Sn的通项，且写成了 =a1+（n﹣1）×．
所以在等比数列{bn}中应研究前n项的积为Tn的开n方的形式．
类比可得=b1（）n﹣1．其公比为．
故选：C．　
11．近日石家庄狮身人面像拆除，围绕此事件的种种纷争，某媒体通过随机询问100名性别不同的居民对此的看法，得到表

认为就应依法拆除
认为太可惜了
男
45
10
女
30
15
附：
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.025
k
2.706
3.841
5.024
K2=
参照附表，得到的正确结论是（　　）
A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“认为拆除太可惜了与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“认为拆除太可惜了与性别无关”
C．有90%以上的把握认为“认为拆除太可惜了与性别有关”
D．有90%以上的把握认为“认为拆除太可惜了与性别无关”
【解答】解：由2×2列联表得到a=45，b=10，c=30，d=15；
则a+b=55，c+d=45，a+c=75，b+d=25，ad=675，bc=300，n=100；
计算观测值K2==≈3.30，
因为2.706＜3.030＜3.841，
所以有90%以上的把握认为“认为拆除太可惜了与性别有关”．
故选：C．　
12．以下五个个命题，
①若实数a＞b，则a+i＞b+i．
②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1．
③在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量一定增加0.2单位．
④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．
⑤由“若a，b，c∈R，则（ab）c=a（bc）”类比“若为三个向量，则”；
正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①若实数a＞b，则a+i＞b+i，因为非实数的两个复数不能进行大小比较，所以不正确；
②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，满足线性相关的定义，故②正确；
③在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量y平均增加0.2单位，故③不正确；
对④，对分类变量X与Y，它们的随机变量K2（χ2）的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故④不正确．
⑤由“若a，b，c∈R，则（ab）c=a（bc）”类比“若为三个向量，则”，向量的数量积不满足结合律，故不正确；
故选：A．　
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．抛物线x2=8y的焦点坐标为　（0，2）　．
【解答】解：抛物线x2=8y中，p=4，焦点在y轴上，
则其焦点坐标为（0，2）；
故答案为（0，2）．　
14．已知直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的倾斜角为　　．
【解答】解：∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴tanα=，
∴直线l的倾斜角为．
故答案为．　
15．自然数按下列的规律排列

则上起第50行，左起第51列的数为　2550　．
【解答】解：经观察，这个自然数表的排列特征有：
①第一列的每一个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；
②第一行第n个数为（n﹣1）2+1；
③第n行中从第1个数至第n个数依次递减1；
④第n列中从第1个数至第n个数依次递增1．
故上起第50行，左起第51列的数，应是第51列的第50个数，
即为[（51﹣1）2+1]+49=2550，
故答案为：2550．　
16．函数f（x）=lnx﹣3ax有两个零点，则a的取值范围是　（0，）　．
【解答】解：y=f（x）有零点，即f（x）=lnx﹣3ax=0有解，a=，
令 g（x）=，g′（x）=（）′=，
解g′（x）=0得x=e．
则g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
当x=e时，g（x）的最大值为g（e）=，
所以a≤，
由于函数f（x）=lnx﹣3ax有两个零点，
∴a的取值范围是（0，）．
故答案为：（0，）．　
三．解答题：（本大题共6小题，满分共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17．已知复数z满足（1﹣i）z=1+ai，
（1）当a=3时，求复数z的模．
（2）若z为纯虚数，a为何值．
【解答】解：（1）a=3时，（1﹣i）z=1+3i，∴（1+i）（1﹣i）z=（1+3i）（1+i），∴2z=﹣2+4i，z=﹣1+2i，
∴|z|=．
（2）∵（1﹣i）z=1+ai，∴（1+i）（1﹣i）z=（1+ai）（1+i），化为：2z=（1﹣a）+（a+1）i，∴z=+i，
∵z为纯虚数，∴=0，≠0，解得a=1．
∴a=1时，z为纯虚数．
　
18．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+1．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）求f（x）在点（﹣2，f（﹣2））处的切线方程．
【解答】解：（1）函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+1的导数为
f′（x）=﹣3x2+6x+9．
令f′（x）＜0，解得x＜﹣1，或x＞3，
可得函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）；
（2）f′（x）=﹣3x2+6x+9，
可得f（x）在点（﹣2，f（﹣2））处的切线斜率为
k=﹣3×4﹣12+9=﹣15，切点为（﹣2，3），
即有f（x）在点（﹣2，f（﹣2））处的切线方程为y﹣3=﹣15（x+2），
即为15x+y+27=0．　
19．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元），与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见表：
x
3
4
5
6
7
8
9
y
66
69
73
81
89
90
91
已知x=280， y=45309， xiyi=3487．参考公式：．残差： =yi﹣i
（1）求，；
（2）在直角坐标系上画出散点图；
（3）判断纯利y与每天销售件数x之间是否线性相关，如果线性相关，求出回归方程（保留两位小数）．
（4）如果纯利y与每天销售件数x之间线性相关，计算相应于点（9，91）的残差．
【解答】解：（1）=（3+4+5+6+7+8+9）=6， =（66+69+73+81+89+90+91）=≈79.86；
（2）把所给的7对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图；

（3）由散点图知，y与x有线性相关关系，
3×66+4×69+5×73+6×81+7×89+8×90+9×91=3487，32+42+52+62+72+82+92=280，
∴b==4.75，
a=79.86﹣6×4.75=51.36．
∴回归直线方程y=4.75x+51.36．
（4）x=9时，y=4.75×9+51.36≈94.1
相应于点（9，91）的残差91﹣94.1=﹣3.1　
20．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．
【解答】解：（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x，
用代入法消去参数求得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0．
（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），
代入y2=4x，得到，设M，N对应的参数分别为t1，t2，
则 t1+t2=12，t1•t2=48，∴|PM|+|PN|=|t1+t2|=．　
21．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，过点F2且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，若M（﹣6，0），求当三角形MAB的面积S最大值时直线l的方程．
【解答】解：（1）由题可知．解得
所以b=1，所以椭圆方程为…
（2）由题意，可设直线l的方程为x=my+2，
则点M到直线l的距离．
由 得（m2+5）y2+4my﹣1=0．
设l与E的两个交点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则y1+y2=，y1y2=．
于是AB=
=
=
=．
从而S=
令（t≥1）则m2=t2﹣1
S===2．
当且仅当即 =，即m=±时，等号成立．
故当m=±时，S最大，
此时，直线l的方程为x=y+2或x=﹣y+2，即x﹣y﹣2=0或x+y﹣2=0．…　
22．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）．
（1）当a=1时，求f（x）的极值点．
（2）求y=f（x）的单调区间；
（3）设g（x）=x2﹣2x，当a≤时，若对任意x1，x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2）恒成立，求a的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）=ax2﹣（2a+1）x+2lnx，x＞0，
∴f′（x）=ax﹣（2a+1）+，
当a=1时，f′（x）=x﹣3+=，
令f′（x）=0，解得x=1或x=2，
∴f（x）的极值点为x=1和x=2
（2）∵f′（x）=，x＞0
①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，2）上，f′（x）＞0；在区间（2，+∞）上f′（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．
②当0＜a＜时，＞2，在区间（0，2）和（，+∞）上，f′（x）＞0；在区间（2，）上f′（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，2）和（，+∞），单调递减区间是（2，）．
③当a=时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
④当a＞时，0＜＜2，在区间（0，）和（2，+∞）上，f′（x）＞0；在区间（，2）上f′（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，）和（2，+∞），单调递减区间是（，2）．
（3）由已知，若对任意x1，x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2）恒成立，
则在（0，2]上有f（x）max＜g（x）min．
∵g（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1
∴gmin（x）=﹣1，
由（2）可知，
当a≤时，f（x）在（0，2]上单调递增，
∴f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，
∴只需﹣2a﹣2+2ln2＜﹣1，解得a＞ln2﹣，
故a的取值范围为（ln2﹣，]