2021-2022学年四川省眉山市高一（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

2021-2022学年四川省眉山市高一（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 不等式的解集为(    )

A.  B.
C.  D.

2. 直线的倾斜角为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若，满足约束条件，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 在中，已知，，，则边长为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知数列满足，，为数列的前项和，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 向量，满足，，，则向量，的夹角是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为(    )

A.  B.  C.  D. 或

9. 已知矩形中，，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点距离地面的高度与地面垂直，在赛道一侧找到一座建筑物，测得的高度为，并从点测得点的仰角为；在赛道与建筑物之间的地面上的点处测得点，点的仰角分别为和其中，，三点共线该学习小组利用这些数据估算得约为米，则的高约为米．(    )
    参考数据：，，

A.  B.  C.  D.

11. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 直线经过的定点是______．
14. 在正项等比数列中，是与的等差中项，则的公比为______．
15. 已知，均为锐角，，，则______．
16. 已知向量，的夹角为，且，，若点满足，其中，且满足，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知直线：和：．
    若两直线垂直，求实数的值；
    若两直线平行，求两直线间的距离．
18. 已知的内角分别为，，，且．
    求角的大小；
    求的取值范围．
19. 已知函数．
    求函数的单调增区间；
    若，且，求的值．
20. 已知数列满足，．
    求证：数列为等差数列；
    求数列的前项和．
21. 已知等差数列满足，，数列的前项和为，且．
    求数列，的通项公式；
    求数列的前项和．
22. 在中，角，，的对边分别为，，，请在以下三个条件中任选一个，完成下问题：
    
    ；
    求角的大小；
    若，点在边上，且，，求的面积．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了因式分解法，是基础题．
把原不等式两边同时乘以，把二次项系数化为正值，因式分解后可求得二次不等式的解集．
【解答】
解：由，得．
即，解得．
所以不等式的解集为．
故选A．  

2.【答案】 

【解析】解：直线即，故直线的斜率等于，设直线的倾斜角等于，
则，且，故，
故选：．
把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系，倾斜角的范围，求出倾斜角的大小．
本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小．求出直线的斜率是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由得，
平移直线，由图象平移知当直线，经过点时，直线的截距最大，此时最小，
由，得，即，
则，
故选：．
作出不等式组对应的平面区域，利用直线的几何意义进行求解即可．
本题主要考查线性规划的应用，利用平移直线法，利用直线截距的几何意义进行转化求解是解决本题的关键，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：在中，已知，，，
则．
故选：．
直接利用余弦定理计算求解即可．
本题考查余弦定理的应用，是基本知识的考查．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．
由条件根据两角差的正切公式，求得所给式子的值．

【解答】

解：，
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：由，，于是是首项为，公比为的等比数列，
故，
根据求和公式，，
令，即，
解得．
故选：．
先求出通项公式，然后求出其前项和，解方程即可．
本题考查了等比数列的前项和的计算，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由，知，即，
所以，解得，
所以，，
因为，，所以，．
故选：．
将两边平方，并结合平面向量数量积的运算法则，即可得解．
本题考查平面向量的数量积，熟练掌握平面向量数量积的运算法则，模长的计算方法是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设等差数列的公差为，，，
，，
解得，，
时，
解得，
则取最小值时，的值为或．
故选：．
利用等差数列的通项公式与求和公式可得，，令，即可得出结论．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：矩形，，
，，
，，
，，
，
故选：．
利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理求出，，再利用数量积运算求解即可．
本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，平面向量基本定理，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意知，，则，，，
在中，，
在中，，则，
则，
，
则米，
故选：．
根据正弦定理以及两角和差的三角公式进行转化求解即可．
本题主要考查解三角形的应用，根据仰角的定义分别求出对应角的大小，利用正弦定理建立方程进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：设，，
因为，所以当时，，
当时，，
根据不等式可知或，
对于，必有即，
则当时，，
当且仅当时等号成立，
所以，的最小值为．
故选：．
根据题意：，，由一次函数以及不等式分析变形后带入，然后利用基本不等式求解．
本题主要考查不等式恒成立的处理方法，代数式最值的求解等知识，属于中等题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，，，
，，
解得，，
，且，，
，．
故选：．
利用和差公式结合条件求出和，再求出即可．
本题考查了和差公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
令，解得，，
则直线经过的定点是．
故答案为：．
根据已知条件，结合定点的定义，即可求解．
本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：是与的等差中项，
，
设的公比为，，
则，即，解得或舍去，
故的公比为．
故答案为：．
根据已知条件，结合等差中项的性质，可得，再结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由于已知，均为锐角，，，
所以，；
故．
故答案为：．
直接利用三角函数关系式的变换和角的恒等变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，角的恒等变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：向量，的夹角为，且，，，


，
，
的最小值为，
故答案为：．
利用平面向量的数量积运算，平面向量的求模公式得到，再利用二次函数求最值即可．
本题考查平面向量的数量积运算，平面向量的求模公式，二次函数求最值，属于中档题．
 

17.【答案】解：两直线垂直，，解得．
两直线平行，，解得或，
当时，两直线重合，故舍去，所以，
此时：，：，
则两直线间的距离为． 

【解析】根据已知条件，结合两直线垂直的性质，即可求解．
根据已知条件，结合直线平行的性质，以及平行直线间的距离公式，即可求解．
本题主要考查直线平行，垂直的性质，属于基础题．
 

18.【答案】解：因为，
所以，解得或，
由于，所以，可得；


，
因为，所以，则，
所以
所以的取值范围是． 

【解析】利用二倍角余弦公式得到方程，解得，即可得解．
依题意，利用和差角公式化简，再根据的取值范围，求出的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得．
本题主要考查特殊角的三角函数值，解三角形中的最值与范围问题等知识，属于中等题．
 

19.【答案】解：，
令，得，
所以函数的单调增区间为；
由可得，
又因为，所以，
而，所以，
所以；
所以
． 

【解析】利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，再由可求出函数的增区间，
由可得，然后求出的范围，再求出的值，而，两边取余弦化简可求得结果
本题考查三角函数的图像与性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】证明：令，因为，
所以数列为等差数列，首项为，公差为；
解：由问可知；故；
所以；
所以． 

【解析】直接利用关系式的恒等变换整理得常数，进一步求出数列为等差数列；
利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：设等差数列的公差为，由，，
整理得：，
化简得，
解得：或；
若，则；若，
则；
由数列的前项和为；
当时，得；
当时，有；
有，即，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以．
综上：或；；
若，则；
若，则；
得；
得：；
整理化简得：；
综上：若，则；
若，
则． 

【解析】直接利用等差数列的性质和数列的递推关系式的应用求出数列，的通项公式；
利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：若选：由，
得，
所以，
所以，
所以，所以，即，
又，所以；
若选：，由余弦定理，得，
所以，代入条件，有，
因为，所以，即，
由正弦定理，有，
因为，，所以，又，所以；
若选：由，得
，
由正弦定理，有，
所以，又，所以；
由，可知，
则，
在中，
，
在中，由正弦定理可知，即，
所以，所以在中，，
所以． 

【解析】若选，利用诱导公式及和差角公式求出，从而得解；
若选，利用余弦定理得到，再利用正弦定理将边化角，最后利用两角和的正弦公式计算即可；
若选，根据同角三角函数的基本关系将切化弦，利用正弦定理将角化边，再求出即可；
利用诱导公式得到，求出，由两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出，最后根据面积公式求解即可．
本题主要考查正弦定理及其应用，三角形面积的计算等知识，属于中档题．