2021-2022学年四川省凉山州高一（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

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2021-2022学年四川省凉山州高一（下）期末数学试卷（文科）

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 不等式的解集是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 已知向量，，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 骑行是一种健康自然的运动旅游方式，能充分享受旅行过程之美．一辆单车，一个背包即可出行，简单又环保．在不断而来的困难当中体验挑战，在旅途的终点体验成功．一种变速自行车后齿轮组由个齿轮组成，它们的齿数成等差数列，其中最小和最大的齿轮的齿数分别为和，求后齿轮所有齿数之和(    )

A.  B.  C.  D.

4. 在中，，，，则为(    )

A.  B.  C. 或 D.

5. 非零实数，满足，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 设实数，满足条件，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知等比数列的前项积为，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在中，点在边的延长线上，且，，则(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10. ，表示直线，，，表示平面，给出下列结论：
    若，，，则，
    若，，，则，
    若，，，则，
    若，，，则，
    其中正确的结论个数为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知，，，是球面上的四个点，面，，，则该球体的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知是内的一点，且，，，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知向量，，若，则______．
14. 若，则的最小值为______．
15. 正项等比数列中，，则数列的前项和______．
16. 已知中，点在边上，，则的取值范围为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    设单位向量，满足．
    求与的夹角；
    求．
18. 本小题分
    已知函数．
    当时，解不等式；
    若恒成立，求的取值范围．
19. 本小题分
    已知等差数列满足，．
    求数列的通项公式；
    求数列的前项和．
20. 本小题分
    已知直三棱柱中，为正方形，，分别为，的中点．
    证明：平面；
    若是边长为正三角形，求四面体的体积．

21. 本小题分
    在中，，，的对边分别为，，，满足条件，．
    求的面积；
    若，求的值．
22. 本小题分
    已知数列前项和满足．
    证明是等比数列；
    数列，，求数列的前项和．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不等式，即，求得，
故选：．
由题意可得，，由此求得的范围．
本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：；
；
．
故选：．
根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出．
考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意，后齿轮的齿数构成等差数列，记为，
由题意，可知，，
则后齿轮所有齿数之和．
故选：．
由已知直接利用等差数列的求和公式求解．
本题考查等差数列的通项公式与前项和公式，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，，
由得，
即，
得，
故选：．
利用正弦定理进行计算即可．
本题主要考查正弦定理的应用，利用正弦定理建立方程进行求解是解决本题的关键，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，当，时，满足，但，A错误，
，当，时，满足，但，B错误，
，当，，时，满足，但，C错误，
，，，，D正确，
故选：．
利用不等式的性质判断，利用举实例法判断．
本题考查不等式的性质，举实例法的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】截：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，，令，化为，
由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最小值为．
故选：．
由约束条件作出可行域，令，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：等比数列的前项积为，，
，，，，，
故选：．
运用等比数列的通项公式建立方程组解之．
本题考查了等比数列的性质及等比数列任意两项的关系，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为点在边的延长线上，
所以，，三点共线，
又，所以，则，
故选：．
利用三点共线以及平面向量基本定理即可求解．
本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题知该几何体是三棱锥，
所以，
，
所以该几何体的表面积为：．

故选：．
由题知该几何体是三棱锥，再根据表面积公式即可得出答案．
本题考查三视图求表面积，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对，若，，，则，故正确；
对，若，，，则，故正确；
对，若，，，
如正方体中，平面平面，平面，，
但与平面不垂直，故错误；
对，若，，，
如正方体中，平面平面，平面平面，平面平面，但，故错误．

所以正确的结论个数为个．
故选：．
根据线面关系和面面关系的性质判断即可．
本题考查空间线面的位置关系，考查学生的分析能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为，所以，即，
所以外接圆的直径即为，
又平面，设三棱锥外接球的半径为，
则，
即，所以，
所以外接球的体积．
故选：．
依题意可得，即可得到外接圆的直径即为，设三棱锥外接球的半径为，再由平面，即可得到，从而求出外接球的半径，最后根据球的体积公式计算可得．
本题考查了三棱锥的外接球体积的计算，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
设，，
则，
由柯西不等式可得，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值是．
故选：．
根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，以及三角形面积公式，可得，再根据三角形之间的面积关系和柯西不等式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，掌握柯西不等式是解本题的关键，属于难题．
 

13.【答案】 

【解析】解：向量，
又，

解得：
故答案为：
由已知中向量，若，结合向量平行共线的充要条件，构造关于的方程，解方程即可得到答案．
本题考查的知识点平面向量共线平行的坐标表示，其中根据向量平行共线的充要条件，构造关于的方程，是解答本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
当且仅当，即时取等号，
则 的最小值为，
故答案为：．
利用基本不等式求最值即可．
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：正项等比数列中，，，，
，
答案为：．
运用等比数列的通项公式、前项公式直接求解．
本题考查了等比数列的基本运算，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，，则，
设，则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，
因为，，所以，
所以，，
则，
所以，
故答案为：．
设，，设，分别在和中，由余弦定理求解，用与表示，进而所求转化为关于的三角函数，结合三角函数的值域可得结果．
本题考查了余弦定理与三角函数最值的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
，
是单位向量，
，与的夹角为．
，
． 

【解析】根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，即可求解．
将平方，再开根号，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，属于基础题．
 

18.【答案】解：当时，，
由得，即，
所以：或，
即不等式的解集为或．
当时，恒成立，满足条件，
当时，恒成立，，
即，综上所述：的取值范围为． 

【解析】利用一元二次不等式的解法进行求解即可．
讨论的取值范围，利用不等式恒成立进行求解即可．
本题主要考查一元二次不等式的解法以及不等式恒成立问题，讨论的取值范围，利用一元二次不等式恒成立的等价条件进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 

19.【答案】解：设的公差为，则：，解得：，
所以的通项公式为；
由知，所以，
所以，
，
由得：，
所以：． 

【解析】由等差数列的基本量法求得后可得通项公式；
用错位相减法求和．
本题考查了等差数列的通项公式以及错位相减求和问题，属于基础题．
 

20.【答案】证明：连接，，则交于点，

因为，分别为，的中点，
所以在中，
因为平面，平面，
所以平面；
解：连接、、，，

，
所以四面体的体积为． 

【解析】利用中位线定理及线面平行的判定定理即可求解；
利用可得答案．
本题考查了线面平行的证明和四面体的体积计算，属于中档题．
 

21.【答案】解：由，结合余弦定理得：，
得，
由，知，，
得，
所以．
由正弦定理得：．
所以． 

【解析】利用余弦定理建立方程进行求解即可．
根据正弦定理建立方程进行求解即可．
本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理，余弦定理建立方程进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 

22.【答案】证明：由得：，，
两式相减得，，即，，
当时，，则，
所以是以为首项，公比为的等比数列．
解：由知，则，
故，
所以． 

【解析】由得，从而得到是等比数列．
将代入并化简得，裂项相消即可．
本题考查了由数列的递推关系证明等比数列以及裂项相消求和计算，属于基础题．