2024届高考数学一轮复习课时质量评价52含答案

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课时质量评价(五十二)
A组　全考点巩固练
1．(1)解：因为以F1F2为直径的圆过点A(0，－b)，所以b＝c，
又a＝b2+c2＝2b，所以椭圆C：x22b2+y2b2＝1，
又C过点(2，3)，
所以22b2+3b2＝1，解得b＝2，a＝22，
所以椭圆C的方程为x28+y24＝1.
(2)证明：由题意，直线l的斜率一定存在，
所以设直线l的方程为y＝kx+1，M(x1，y1)，N(x2 ，y2)，
由x28+y24=1，y=kx+1，消去y得(1＋2k2)x2＋4kx－6＝0，Δ＝64k2＋24>0.
于是x1＋x2＝－4k1+2k2，x1x2＝-61+2k2.
又A(0，－2)，所以k1＝y1+2x1，k2＝y2+2x2，
则k1·k2＝y1+2y2+2x1x2＝kx1+3kx2+3x1x2＝k2x1x2+3kx1+x2+9x1x2＝k2＋2k2－91+2k26＝－32为定值．
2．(1)解：由题意得e2＝c2a2＝a2-b2a2＝23，整理得a2＝3b2，
由t＝0时，|AB|＝263，得1a2+23b2＝1，因此a＝3，b＝1.故椭圆E的方程是x23＋y2＝1.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(3，y1)，将x＝ty＋1代入x23＋y2＝1得(t2＋3)y2＋2ty－2＝0，
y1＋y2＝－2tt2+3，y1·y2＝－2t2+3，从而ty1·y2＝y1＋y2.①
直线BD：y＝y2-y1x2-3(x－3)＋y1，设直线BD与x轴的交点为(x0，0)，
则y2-y1x2-3(x0－3)＋y1＝0，所以x0＝y13-x2y2-y1＋3＝y12-ty2y2-y1＋3＝2y1-ty1y2y2-y1＋3，
将①式代入上式可得x0＝2，故直线BD过定点(2，0)．
3．(1)证明：据题意设直线l方程是y＝kx＋b(k＞0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为|AC|＋|BD|＝p，所以y1＋y2＝p，
由y=kx+b，y2=2px，得ky2－2py＋2pb＝0，所以y1＋y2＝2pk＝p，
所以k＝2，即l的斜率为定值2.
(2)解：由(1)Δ＝4p2－8pkb＞0，即0＜kb＜12p，
因为点Q到直线l的距离d＝2b1+k2，且|AB|＝1+k2|x1－x2|，
所以S1＝12|AB|d＝|b||x1－x2|，S2＝12(|AC|＋|BD|)|CD|＝12|y1＋y2||x1－x2|＝pk·|x1－x2|，
所以S1S2＝kbp＝kbp＝kbp，
因为0＜kb＜12p，所以0＜kbp＜12，
假设存在正整数λ，使3S1＝λS2成立，则0＜λ3＜12，所以0＜λ＜32.
所以存在正整数λ＝1，使3S1＝λS2成立．
B组　新高考培优练
4．(1)证明：设D(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A(－x1，－y1)，直线BD的斜率k＝y2-y1x2-x1，由x124+y122=1，x224+y222=1，两式相减得y2-y1x2-x1＝－12×x1+x2y1+y2.
因为kAB＝y1+y2x1+x2＝－1，
所以k＝y2-y1x2-x1＝12，
故直线BD的斜率为定值12.
(2)解：连接OB(图略)，因为A，D关于原点对称，
所以S△ABD＝2S△OBD，由(1)可知BD的斜率k＝12，设BD的方程为y＝12x＋t.因为D在第三象限，
所以－2＜t＜1且t≠0，
O到BD的距离d＝t1+14＝2t5.
由y=12x+t，x24+y22=1，整理得3x2＋4tx＋4t2－8＝0，
Δ＝(4t)2－4×3×(4t2－8)>0(－2 所以x1＋x2＝－4t3，x1x2＝4t2-23，
所以S△ABD＝2S△OBD＝2×12×|BD|×d
＝52x1+x22-4x1x2×2t5
＝|t|×x1+x22-4x1x2
＝|t|·96-32t23＝423·t23-t2≤22.
所以当且仅当t＝62时，S△ABD取得最大值22.
5．解：(1)曲线C1：x2＋y2＝r2(r＞0)和C2：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)都过点P(0，－2)，
所以r＝2，b＝2，
所以曲线C1的方程为x2＋y2＝4.
因为曲线C2的离心率为32，
所以e2＝c2a2＝1－b2a2＝34，
所以a＝4，
所以曲线C2的方程x216+y24＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线PA的方程为y＝k1x－2，代入到x2＋y2＝4中消去y，可得(1+k12)x2－4k1x＝0，解得x＝0或x1＝4k11+k12，
所以y1＝2k12-21+k12.
直线PB的方程为y＝k2x－2，代入方程x216+y24＝1，
消去y，可得(1+4k22)x2－16k2x＝0，解得x＝0或x2＝16k21+4k22，所以y2＝8k22-21+4k22.
因为k1＝4k2，
所以直线AB的斜率k＝y2-y1x2-x1＝－1k1，
故直线AB的方程为y-2k12-21+k12＝-1k1x-4k11+k12，
即y＝－1k1x＋2，所以直线AB恒过定点(0，2)．