人教版五年级上册7 数学广角——植树问题教案设计

这是一份人教版五年级上册7 数学广角——植树问题教案设计，共17页。教案主要包含了创设情境，导入新课，自主探索，互动授新，课堂回顾，交流收获，作业设计，巩固提升等内容，欢迎下载使用。

第七单元《数学广角——植树问题》
单元整体说明
本单元“数学广角”主要是渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，借助线段图等手段让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的简单实际问题。
植树问题通常是指沿着一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段（间隔），由于路线的不同、植树要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系也就不同。在现实生活中类似的问题还有很多，比如公路两旁安装路灯、花坛摆花、锯木头、架设电线杆，等等，这些问题中都隐藏着总数和间隔数之间的关系。
在植树问题中“植树”的路线可以是一条线段，也可以是一条首尾相接的封闭曲线如圆形。即使是关于最基本的一条线段上的植树问题，也可能有不同的情形，如两端都要栽，一端栽另一端不栽，两端都不栽。而在封闭曲线上的植树问题可以转化为在一条线段上的植树问题中的“一端栽另一端不栽”的情况。
教学目标
1.引导学生通过观察、猜测、试验、推理等活动，初步体会植树问题的模型思想。
2.通过画线段图初步培养学生探索解决问题有效方法的能力。
3.让学生尝试用植树问题的方法来解决实际生活中的简单问题，培养学生解决实际问题的能力。
课时安排

教学建议
1.借助画图的方法进行研究，并从中发现规律。
植树问题是一种比较抽象的问题，如果借助画图就简单、直观多了，一般只要掌握了画图的方法，就能找到正确答案。所以，让学生掌握画图的方法在本单元的教学中尤为重要。
2.借助“一一对应”思想理解间隔数和植树棵数之间的关系。
本单元中的三个例题就是要体现两种情况、三种数量的关系。两种情况是直线植树和封闭曲线植树，三种关系是“棵数=间隔数+1”“棵数=间隔数-1”和“棵数=间隔数”。而理解棵数和间隔数之间关系的核心方法就是“对应思想”。如：两端都植就说明一棵树就对应一个间隔，最后会多出一棵树，所以“棵数=间隔数+1”，另外两个关系也是类似的。
3.引导学生在发现规律的过程中感悟“化繁为简”的思想方法。
生活中学生经常会遇到很多新问题，由于数据较大，不利于探究和验证，往往需要我们选择一些较小的、便于探究的数据进行研究，然后再从中发现规律，并运用规律解决较复杂的问题。
4.把握好教学的度。
“数学广角”主要是通过简单的事例渗透一些重要的数学思想方法。因此，在教学时注意对例题不要进行过多的变式，或者提高问题的难度。

第1课时
两端都栽的植树问题
课时内容
教材第104页的内容及相关习题
课时
目标
1.通过猜测、试验等数学活动，初步体会两端都栽的植树问题的规律（即间隔数比株数少1的情况）。
2.能将植树问题推广到生活中的其他问题，会通过画线段图的方法来分析题意。
3.感受数学知识在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，培养应用意识和解决实际问题的能力。
重点
难点
重点：从实际问题中探究并总结棵数与间隔数之间的关系。
难点：运用植树问题的思想方法解决生活中的实际问题。

一、创设情境，导入新课
师：同学们，你们知道3月12日是什么节日吗?
【学情预设】植树节。
师：植树造林、绿化祖国是每个公民义不容辞的责任，我校教师也参加了植树活动，而且他们都是按着一棵松树、一棵杨树来种植的，如果最后一棵是松树，你知道是松树多还是杨树多吗?为什么?
【学情预设】如果最后一棵是松树，就是松树多，因为一棵松树对着一棵杨树，最后多出一棵松树。
师：如果最后一棵是杨树呢?
【学情预设】如果最后一棵是杨树，就是同样多，因为总有一棵松树对着一棵杨树。
师：其实，在植树中还蕴含着很多数学问题，这节课我们就一起来研究植树问题。（板书课题：两端都栽的植树问题）
设计意图：向学生渗透“一一对应”的思想，为下面理解间隔数和棵数的关系奠定基础。
二、自主探索，互动授新
1.探究在一条线段上植树（两端都植树）问题的规律。
课件出示教材第104页例1。

教学提示：引导学生画线段图，通过观察棵数与间隔数之间的关系，建立起“一条路两端都栽”这类植树问题的数学模型。
师：谁能说一说“一边”“两端要栽”的含义？
【学情预设】“一边”就是一旁，有可能是左边也有可能是右边，“两端要栽”指的是路的一头一尾都要栽。
教师引导用手比画什么是两端都要栽，大拇指和小指就是两端都要栽！
师：“每隔5 m”是什么意思？
【学情预设】每相邻两棵树之间的距离是5 m。
师小结：“全长100 m”是指小路的总长；“一边”是小路的一侧，指小路的左边或右边；“每隔5 m栽一棵”是指每相邻两棵树之间的距离，简称“间距”；“两端要栽”指小路的起点与终点处都要栽。
师：需要栽多少棵树呢？请同学们试着算一算！
【学情预设】预设1：100÷5=20（棵），就是20棵。
预设2：100÷5＋1=21（棵）；因为是两端都要栽，所以棵数要比间隔数多1，所以是21棵。
（根据学生的讨论出示课件）

师：实践是检验真理的唯一标准。我们该怎样确定谁的猜测正确呢？
【学情预设】引导学生回答通过验证来寻求答案。
师：对，验证是检验答案的最好方法，下面我们就一起想办法来验证一下。
师：现在有100 m的路，我们能在练习本上画出来吗？我们应该怎么解决这个问题呢？
【学情预设】画短点。
师：好主意，那怎么画，画多短呢？
老师引导：在遇到较复杂的数据，不便于研究时，我们可以换成较小的数据来研究，找出规律，再应用于复杂数据上。
师：100 m的路太长了，我们可以先在短距离的路上试一试，看一看要栽的棵数是多少。我们可以把这条路看成较短的20 m、25 m、30 m……通过画图得出规律，再根据规律求100 m的路要植树的棵数，这在数学上是常用的一种方法——化繁为简法。
师：现在10 m长的小路，每隔5 m种一棵树，能种几棵?有几个间隔？
【学情预设】第一棵种在起点，量出5 m种第二棵，再量5 m种第三棵，也就是末尾处。
师：刚才我们把小路看成10 m，通过画图，很容易就知道了能种3棵树，有2个间隔。你还想把小路看成多少米?
指名学生上台板演画图并解答。
教学提示：让学生画示意图或线段图的方法帮助思考，通过观察图示，把分割点数和栽树的棵数一一对应起来，发现并初步总结出栽树的棵数和间隔数之间的关系。
设计意图：当学生口头解释不清时，引导学生用画图的方法进行验证，体验画图的实用价值。
师：观察20 m长的路上间隔数和栽树棵数之间的关系，大家发现了什么？（课件出示）

【学情预设】因为两端都要栽树，所以棵数比间隔数多1。
师：这样一来，虽然不能直接验证，但可以从简单例子入手，给我们发现间隔的个数和棵数之间的关系提供一个方向。
师：一个事例还不能确定植树问题的规律，我们还需要别的例子来帮助发现规律。大家再看看25 m的路的一侧可以栽几棵？（课件出示）

学生独立思考，小组交流。
根据交流结果，完成表格。

教学提示：我们通常用株距来表示相邻两棵树之间的间隔。
师：通过刚才的小组研究，并观察黑板上这些数据，说说你们有什么发现?
【学情预设】我发现栽树的棵数等于间隔数加1。
师：间隔数加1怎么就能等于棵数了? 1指的是什么?为什么要加1呢?谁能解释一下?
【学情预设】因为棵数总是比间隔数多1。
师：同学们做得非常好，通过猜测、讨论、验证，可以发现植树问题中一个非常重要的规律，那就是在一条路的一边植树，如果两端都要栽的话，那么栽树的棵数比间隔数多1。
师：现在，我们用研究出的这个规律再来做一做教材第104页例1，看看你们之前的猜测对不对。
【学情预设】指导学生得出算式：100÷5=20，20+1=21（棵）。
师生交流并板书。
师：通过探究，我们找出了间隔数和棵数之间的关系。现在请你们仔细观察表格，你们还有什么发现？
【学情预设】路长÷间隔长=间隔数。
设计意图：向学生渗透一些重要的数学思想方法，教学时通过现实生活中的一些常见的实际问题，让学生构建出其中的数学模型，从中发现规律。
老师小结：遇到一个较复杂的问题，应先从简单的数据入手，然后发现规律，再解决复杂的问题，我们可以把这种方法叫做化繁为简，这是解决复杂问题的一种好方法。
2.巩固练习，强化新知。
（1）完成教材第105页“做一做”第1题。
学生独立完成，全班交流。
（2）完成教材第107页“练习二十四”第3题。
这题是两端都栽树的基本题型，学生独立完成，全班交流。
三、课堂回顾，交流收获
师：这节课学习了什么内容？大家有什么收获？
根据学生回答，教师小结：学会了“化繁为简”、画图法！知道了两端都栽树的时候，植树棵数=间隔数＋1。
四、作业设计，巩固提升
1.完成教材第107页“练习二十四”第4题。
两端都栽的植树问题的变式应用，促进学生思维的灵活性。





在本课时的教学中，让学生在解决两端都栽的植树问题的过程中发现规律，经历分析、思考问题的过程，找到解决问题的有效方法。但有的习题却是给了间距和棵数求道路全长，属于逆向思维，所以有很多同学就不知从何下手，导致出错很多。在教学过程中，注意加强发现规律与运用规律之间的联系，加强对规律的扩散教学。
五年级的学生已经具备了一定的分析综合、抽象概括、归类梳理的数学活动经验，教学时可以从实际问题入手，引导学生在分析、思考问题的过程中逐步发现隐含的规律，经历抽取出数学模型的过程，体验数学思想方法在解决问题中的应用。
第2课时
两端都不栽的植树问题
课时内容
教材第105页例2及相关习题。
课时
目标
1.通过猜测、试验等数学活动，初步体会两端都不栽的植树问题的规律。
2.让学生经历从实际问题抽象出植树问题模型的过程，通过画图、列表等方式，发现并理解直线种树中棵数与间隔数之间的关系，体会“一一对应”思想。
3.培养学生的应用意识和解决实际问题的能力，初步体验数学与生活的密切联系，培养学生的主动探究意识。
重点
难点
重点：掌握“两端都不栽的植树问题”的解题方法。
难点：已知株距和全长求株数，或已知株数和株距求全长。

一、创设情境，导入新课
老师操作：（谜面）把一张纸条用剪刀剪成两段。（打一成语）
【学情预设】一刀两断。
师：那如果剪2次呢？剪3次呢？4次？分别有多少段？……你发现了什么规律？
【学情预设】预设1：发现剪1刀的时候有两段，剪2刀的时候有三段，剪3刀的时候有四段......每次剪的刀数比段数少1。
预设2：我发现段数比刀数多1。
师：这种规律就类似我们今天要学习的“两端都不栽”。（板书课题：两端都不栽的植树问题）
设计意图：通过谜语吸引同学兴趣，从而导入新课。
二、自主探索，互动授新
1.探究在一条线段上植树（两端都不植树）问题的规律。
课件出示教材第105页例2。

师：从题目中获得的信息里面，你觉得哪些信息比较重要？
【学情预设】“两旁”“两端都不栽”等信息比较重要。
师：谁能说说“两旁”“两端都不栽”的含义？
【学情预设】“两旁”指的是道路两边，“两端都不栽”指的是道路的一头一尾都不栽。
师：我们在上节课中学习过两端都栽的情况，哪位同学能帮助大家回忆一下两端都栽时，棵数和间隔数的关系？
【学情预设】两端都栽：棵数=间隔数＋1
师：那同学们你们觉得两端都不栽的时候棵数和间隔数会是什么关系呢？
【学情预设】两端都不栽：棵数=间隔数－1
师：怎么证明你的猜想是对的呢？
小组为单位，小组互相讨论，集体汇报。
师：我们可以通过画线段图来分析，先以路长20 m为例。
（课件出示）
【学情预设】在两端都不栽的情况下要栽3棵树，即棵数＝间隔数－1，也就是说栽的棵数比间隔数少1。
师：我们再以25 m为例子。（课件出示）
【学情预设】要栽4棵树，即“棵数=间隔数-1”，也就是说栽的棵数比间隔数少1。
教师课件出示路长不同时，栽树的棵数。
师：本题该怎么解呢？
【学情预设】引导学生列出算式60÷3=20，20-1=19（棵），19×2=38（棵）。
师：为什么要“减1”，为什么要“×2”？今天研究的植树问题和前面有什么不同？
学生尝试回答。
老师引导学生明确：因为两端都不种树，所以植树的棵数比间隔数少1，“×2”是因为两馆间的路两旁都要植树。
师：我们一起来回顾一下这个题目的解答过程，通过与教材第104页例1中两端都栽的植树问题相比较，采用同样的方法得出了两端都不栽的植树问题的数学模型，即棵数=间隔数-1。
2.对比反思，提升认识。
师：两端都不栽与两端都栽的情况相比有什么相同？有什么不同？
【学情预设】例1中两端都栽时，得出的数学模型为：棵数=间隔数+1；例2采用同样的方法得出了两端都不栽的植树问题的数学模型为：棵数=间隔数-1。
3.探寻发现“一端栽，一端不栽”植树问题的规律。
课件出示教材第105页“做一做”第2题。
师：这道题与已经学过的植树问题有什么不同？（一端栽，一端不栽。）先猜一猜结果，再用自己喜欢的方法验证结果是否正确。
【学情预设】预设1：用画线段图的方法得出一共要栽7棵树。
预设2：这种一端栽一端不栽的植树问题，应该是：棵数=间隔数，可直接得出一共要栽35÷5=7（棵）。
师小结：在一端栽一端不栽的情况下，棵数=间隔数。
4.理解规律。
师：植树问题有哪几种情况？每种情况中棵数与间隔数之间是什么关系？
【学情预设】分别为：两端都栽，棵数=间隔数+1；两端都不栽，棵数=间隔数-1；一端栽一端不栽，棵数=间隔数。
师：我们是通过什么样的方法得到这些结论的？
【学情预设】通过化繁为简的方法。
师：如果你忘记或者混淆了这些情况，可以怎样做？
【学情预设】可以画线段图或示意图进行判断。
设计意图：引导学生理解、掌握植树问题的三种情况及其解决方法。
5.巩固练习，强化新知。
完成教材第107“练习二十四”第6题。
独立思考后，全班交流。
三、课堂回顾，交流收获
师：这节课学习了什么内容？大家有什么收获？
根据学生回答，教师小结：两端都不栽，棵数=间隔数-1；一端栽一端不栽，棵数=间隔数。
四、作业设计，巩固提升
1.完成教材第108页“练习二十四”第7题。
“起点不设，终点设”可看作一端栽、一端不栽的植树问题。





教材中给出动物园里绿化队在大象馆和猩猩馆之间的小路两旁栽树的问题。解决这个问题时，教材首先给出一个学生列出的错误算式：60÷3=20，每边有20个间隔，所以每边要栽21棵树。但是学生没有考虑到实际的情况，由于小路的两端是大象馆和猩猩馆，所以不用栽树了。由于学生前面有了探索的经验，这里可以放手让学生去探索，发现当两端都不栽树时，植树的棵数比间隔数少1，然后利用发现的规律再来完成例题的计算。
教学时可以从实际问题入手，引导学生在分析思考问题的过程中逐步发现隐含于不同情形中的规律，经历抽取出数学模型的过程，体验数学思想方法在解决问题中的应用。
第3课时
封闭曲线上的植树问题
课时内容
教材第106页的例3及相关习题。
课时
目标
1.建立环形植树数学模型，体会解决封闭路线植树问题的思考方法。
2.能够运用自己发现的规律解决封闭路线的植树问题，进一步培养画图能力和语言表达能力。
3.感受数学与生活的联系，培养应用数学的意识。
重点
难点
重点：建立环形植树“树的棵数=间隔数”数学模型。
难点：掌握沿封闭路线植树的规律。

一、复习旧知，迁移导入
师：同学们，你们刚刚学习了植树问题，你们掌握得怎么样呢?
师：敢接受老师的挑战吗?
【学情预设】敢。
师：哟，一个个都信心十足的，真不错。那就让我们走进我们的校园吧！
师：瞧，我们的校园多漂亮。学校最近在进行校园美化绿化建设，我们班的任务是在一条8 m长的小路一旁植树，每隔2 m栽1棵。可以怎样栽呢？
【学情预设】预设1：两端都栽：8÷2＋1=5（棵）
预设2：两端不栽：8÷2－1=3（棵）
师：第一种栽法8÷2求的是什么?为什么要加1？
【学情预设】8÷2求的是间隔数，在两端都栽的情况下，棵数=间隔数+1。
师：第二种栽法又为什么要减去1呢?
【学情预设】第二种栽法是指两端不栽的情况，棵数=间隔数－1。
师：我听出来了，你们已经掌握了沿线段植树问题中两端都栽和两端不栽的算法，两端都栽：棵数＝间隔数+1，两端不栽：棵数=间隔数－1。
师：生活中，除了在直线上植树的情况外，还有这样的植树情况。把树、花沿着各种封闭图形种植，我们就称之为封闭路线上的植树问题，这节课我们就来研究封闭路线上的植树问题。（板书课题：封闭曲线上的植树问题）
设计意图：本环节通过设计植树方案，复习了前两个课时学习的在不封闭路线上植树的两种不同情况，一方面引入新课，另一方面本节课学习在封闭路线上植树的问题时，也和这两种情况有着千丝万缕的联系，因此这样导入，可以做到温故而知新。
二、自主探索，互动授新
1.探究在一条首尾相接的封闭曲线植树问题的规律。
课件出示教材第106页例3。

师：请大家读题，说说这道题和前面学的有什么不同。
【学情预设】前面学的都是在一条直的路上植树，这道题是在圆形池塘周围植树。
师：对，植树的路线不同，我们可以把前面学习的叫做线形植树，今天学习的在圆形周围植树就是在封闭曲线上植树中的一种，叫做环形植树。
师：前两节课中，我们都是通过画图来发现规律再解题的。这道题你们能用同样的方法解决吗？试一试。
学生试着独立画示意图来分析，教师巡视点评，后出示课件。

师：谁来说说接下来你是怎样做的?
【学情预设】预设1：有的学生画图后用列表法整理数据。（课件出示下表，表中答案逐步显示）

预设2：有的学生可能会把圆拉直成线段。（师追问：这种情形相当于在线段上植树问题中的哪种情况？）
师：以40 m的长度为例，将圆拉直成线段，我们来观察一下。（课件出示）

师：哪个同学能说一说自己的发现。
【学情预设】预设1：我先把池塘周长看成40 m，每隔10 m栽一棵，能栽4棵树，有4个间隔，我发现棵数等于间隔数。
预设2：我先把池塘周长看成50 m，每隔10 m栽一棵，能栽5棵树，有5个间隔，我也发现棵数等于间隔数。
……
师：刚才同学们说得特别好，我们一起结合图来看一看，不管把池塘的周长看成多少，有一个间隔就总是有一棵树和它对应，所以间隔数和植树的棵数是相等的。（板书：棵数=间隔数）
师：下面同学们可以试着列式算一算了。
学生独立解决，教师课件出示正确答案。

设计意图：在前面学习的基础上，学生已经具备了解决这类问题的方法和能力，所以本节课让学生独立进行研究，通过画一画、圈一圈，发现规律，然后利用所得规律解决问题，培养学生的应用意识和解决问题的能力。
2.巩固练习，强化新知。
完成教材第106页“做一做”。（课件出示）

学生独立完成，全班汇报。
三、课堂回顾，交流收获
师：这节课学习了什么内容？大家有什么收获？
根据学生回答，教师小结：封闭曲线上的植树问题：棵数=间隔数。
四、作业设计，巩固提升
1.完成教材第111页“练习二十四”第12题。
巩固在封闭曲线上的植树问题的解题方法，学生可先判断属于植树问题中的哪种情况，再列式计算。
2.完成教材第111页“练习二十四”第13题。
巩固封闭曲线上的植树问题的解题方法，可以先求出花园的周长，再求植树棵数；也可以分别求出四条边上各栽多少棵，再求一共栽多少棵。





本节课的内容是在学习了在一条线段上两端都栽树、两端都不栽树、一端栽树一端不栽树的基础上进行教学的。在植树问题中，植树的路线可以是一条线段，也可以是一条首尾相接的封闭曲线。本节课中，学生能通过画一画、将圆拉直成线段等操作活动，发现封闭图形和不封闭图形“一端栽一端不栽”中棵数与间隔数的关系是一样的，都是棵数等于间隔数。在新授课上，封闭图形中植树的棵数与间隔数的关系比较抽象，难以理解，有些学生容易将新知识与前面的内容混淆，教师要及时指导，强调区别。