黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

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宾县第二中学2022-2023学年度下学期期末考试
高一数学试卷
命题人：付孟成 考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2．请将答案规范填写在答题卡上.
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设复数满足，则复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法法则化简可得复数.
【详解】由题意可得.
故选：A.
2. 是边长为1的正三角形，那么的斜二测平面直观图的面积（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出原三角形的面积，再根据原图和直观图面积之间的关系即可得解.
【详解】以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，
画对应的轴，轴，使，如下图所示，

结合图形，的面积为，
作，垂足为，
则，，
所以的面积，
即原图和直观图面积之间的关系为，
所以，的面积为.
故选：A.
【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积的关系，属于基础题.
3. 如图，在平行四边形中，（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算法则计算出结果.
【详解】.
故选：D
4. 在中，已知，，的外接圆半径为1，则
A. B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦定理求出边a，和sinB，进而求的角C，再根据三角形面积公式求解．
【详解】已知 A=，得sinA= ，
∵ b=1，R=1，根据正弦定理，得 ，sinB= ,
∵ ，易知B为锐角，∴B= ,∴C=
根据三角形的面积公式，S△ABC=.故选C.
【点睛】本题考查了正弦定理，三角形中边角关系，以及三角形面积公式的应用，属于基础题．
5. 在一个随机试验中，彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，则下列说法正确的是（ ）
A. 与是互斥事件，也是对立事件
B. 与是互斥事件，也是对立事件
C. 与是互斥事件，但不是对立事件
D. 与是互斥事件，也是对立事件
【答案】D
【解析】
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念和性质，根据题中条件，逐项判断，即可得出结果.
【详解】因为彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，
所以与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故A错；
与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故B错；
与是互斥事件，且，所以也是对立事件，故C错；
与是互斥事件，且，
所以也是对立事件，故D正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件的定义，属于基础题型.
6. 已知某地A、B、C三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层随机抽样的方法抽取15%的户数进行调查，则样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是（ ）．

A. 150，15 B. 150，20 C. 200，15 D. 200，20
【答案】A
【解析】
【分析】将饼图中的、、三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以得出样本容量，在村人口户数乘以，再乘以可得出村贫困户的抽取的户数.
【详解】由图得样本容量为，
抽取贫困户户数为户，则抽取村贫困户的户数为户．
故选：A.
7. 已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出侧棱长，再求出侧面积和两个底面积，即可得表面积．
【详解】由题意侧棱长为．
所以表面积为：．
故选：A.
【点睛】本题考查棱柱的表面积，解题关键是求出侧棱长．
8. 海伦公式是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积S的公式，表达式为：；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式.现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（ ）
A. B.
C. D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】用正弦定理将条件转化为边长的比，结合周长可求出三边的长度，将三边的长度代入海伦－秦九韶公式即可求出三角形的面积.
【详解】在中，因为，
由正弦定理可得：，
设，，，且，
∴，解得，
即，，，且，
∴
.
故选：C.
【点睛】本题考查三角形正弦定理和海伦－秦九韶公式的应用，考查理解辨析、运算求解能力，属基础题.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的，没有错误选项的得2分．）
9. 小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（ ）
A. 抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜
B. 同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜
C. 从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜
D. 小明､小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜
【答案】ACD
【解析】
【分析】在四个选项中分别列出小明与小华获胜的情况，由此判断两人获胜是否为等可能事件．
【详解】解：对于A，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，所以游戏公平
对于B，恰有一枚正面向上包括正，反反，正两种情况，而两枚都正面向上仅有正，正一种情况，
所以游戏不公平
对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，所以游戏公平
对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，一共四种情况：（6,6），（6,8），（8,6），（8,8）；两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平．
故选：ACD．
【点睛】本题考查等可能事件的判断，考查运算求解能力，是基础题．
10. 下列关于复数的说法正确的是（ ）
A. 复数是实数的充要条件是
B. 复数是纯虚数的充要条件是
C. 若互为共轭复数，则是实数
D. 若互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y轴对称
【答案】AC
【解析】
【分析】AB选项，根据复数的概念和分类作出判断；CD选项，利用共轭复数的概念，乘法法则和几何意义判断出CD.
【详解】对于A：当复数是实数时，，若，则为实数，
故是实数的充要条件是，显然成立，故A正确；
对于B：若复数是纯虚数，则且，故B错误；
对于C：若互为共轭复数，设，则，所以是实数，故C正确；
对于D：若互为共轭复数，设，则，所对应的坐标分别为，，这两点关于x轴对称，故D错误.
故选：AC
11. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，由面积公式求出，再由余弦定理求出，即可得解.
【详解】，
由正弦定理可得，
整理可得，
所以，
三角形内角，，
∴，∵，，故A正确，B错误；
∵，，
，解得，
由余弦定理，得，
解得或（舍去），故C正确， D错误.
故选：AC.
12. 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（ ）
A. AC⊥B1E
B. B1C∥平面A1BD
C. 三棱锥C1﹣B1CE的体积为
D. 异面直线B1C与BD所成的角为45°
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，由已知可得AC⊥平面BB1D1D，从而可得AC⊥B1E；对于B，利用线面平行的判定定理可判断；对于C，由进行求解即可；对于D，由于BD∥B1D1，所以∠CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，从而可得结果
【详解】解：如图，

∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面BB1D1D，
又B1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥B1E，故A正确；
∵B1C∥A1D，A1D⊂平面A1BD，B1C平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD，故B正确；
三棱锥C1﹣B1CE的体积为，故C错误；
∵BD∥B1D1，∴∠CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，又△CB1D1是等边三角形，
∴异面直线B1C与BD所成的角为60°，故D错误.
故选：AB.
【点睛】此题考查线线垂直的判定、线面平行的判定、异面直线所成的角以及体积的计算等知识，考查推理能力，属于中档题
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 组数据2，，4,6,10的平均值是5，则此组数据的方差是_______.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：因,故,所以,应填.
考点：平均数和方差的计算．
14. 已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为40n，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距_______________n．

【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理求的长度即可.
【详解】由题设， n且，
正弦定理有，则，可得 n.
故答案为：
15. 在平行四边形中，，垂足为P，若，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形对角线互相平分得到，再利用向量的几何意义求出，求出.
【详解】平行四边形中，，
因为，所以，
根据向量的几何意义可知，
解得：.

故答案为：
16. 如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为___________.

【答案】
【解析】
【分析】作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理求出，求出底面圆的半径r，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积.
【详解】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：

该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得：
∴.
设底面圆的半径为r,则有,解得,
所以这个圆锥的高为，
则这个圆锥的体积为.
故答案为：.
【点睛】立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设实部为正数的复数z，满足，且复数为纯虚数．
（1）求复数z；
（2）若复数z是关于x的方程（m，的根，求实数m和n的值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据复数模的公式，结合复数乘法的运算法则和纯虚数的概念即可得出答案.
（2）复数z是关于x的方程（m，的根，代入方程可得，解方程即可得出答案.
【小问1详解】
设，（a，，），则
因为为纯虚数，所以，
又，所以，
联立方程得，，故.
【小问2详解】
因为是关于的方程（m，）的根，
所以，即，
所以
解得，．
18. 已知向量，，.
（1）若点，，能构成三角形，求实数应满足的条件；
（2）若为直角三角形，且为直角，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】(1)点，，能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线，利用向量共线的坐标公式计算即可．
(2)为直角三角形，且为直角，则，利用向量的数量积坐标公式计算即可．
详解】（1）已知向量，，，
若点，，能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线.
，，
故知，
∴实数时，满足条件.
（2）若为直角三角形，且为直角，则，
∴，
解得.
【点睛】本题考查平面向量共线的坐标公式和数量积的坐标运算，考查学生逻辑思维能力，属于基础题．
19. 为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示．

（1）求图中a的值；
（2）试估计本次物理测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（3）该校准备对本次物理测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前13%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）由直方图区间频率和为1求参数a；
（2）根据直方图求物理测试成绩的平均分即可；
（3）根据直方图求出成绩从高到低排列且频率为对应分数即可.
【小问1详解】
由，解得；
【小问2详解】
，
故本次防疫知识测试成绩的平均分为；
【小问3详解】
设受嘉奖的学生分数不低于分，
因为，对应的频率分别为0.15，0.1，
所以，解得，
故受嘉奖的学生分数不低于分．
20. 甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：
（Ⅰ）两人都投中；
（Ⅱ）恰好有一人投中；
（Ⅲ）至少有一人投中.
【答案】（Ⅰ）0.72；（Ⅱ）0.26；（Ⅲ）0.98.
【解析】
【分析】（Ⅰ）由相互独立事件概率的乘法公式即可得解；
（Ⅱ）由相互独立事件概率的乘法公式、互斥事件概率的加法公式，运算即可得解；
（Ⅲ）由互斥事件概率加法公式即可得解.
【详解】设“甲投中”，“乙投中”，则“甲没投中”，“乙没投中”，
由于两个人投篮的结果互不影响，
所以与相互独立，与，与，与都相互独立，
由已知可得，，则，；
（Ⅰ）“两人都投中”，则；
（Ⅱ）“恰好有一人投中”，且与互斥，
则
；
（Ⅲ）“至少有一人投中”，且、、两两互斥，
所以
.
【点睛】本题考查了对立事件的概率及概率的加法公式、乘法公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.
21. 如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，点F为侧棱PC上一点．

（1）若PF＝FC，求证：PA∥平面BDF；
（2）若BF⊥PC，求证：平面BDF⊥平面PBC．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设AC，BD的交点为O，所以PA∥OF，利用线面平行的判定定理即可证得结论；
（2）由题意得BD⊥AC，BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC，则BD⊥PC，又BF⊥PC，所以PC⊥平面BDF，利用面面垂直的判定定理可得结论.
【小问1详解】
设AC，BD的交点为O，连OF，

因为底面ABCD为菱形，且O为AC中点，PF＝FC，所以PA∥OF，
又PAË平面BDF，OFÌ平面BDF，故PA∥平面BDF．
【小问2详解】
因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，
因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以BD⊥PA，
又ACBD＝O，AC，BD平面ABCD，所以BD⊥平面PAC，
又PCÌ平面PAC， 所以BD⊥PC，
又BF⊥PC，BDBF＝B，BD，BF平面BDF，所以PC⊥平面BDF，
又PCÌ平面PBC，故平面BDF⊥平面PBC.
22. 在锐角中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，从条件①：，条件②：，条件③：这三个条件中选择一个作为已知条件．
（1）求角A的大小；
（2）若，求周长的取值范围．
【答案】（1）
（2）周长的取值范围为
【解析】
【分析】（1）若选条件①，切化弦即可；若选条件②，等价转换即可；若选条件③，由正弦定理，边化角得，再根据诱导公式等价转化即可.
（2）由正弦定理，边化角得，结合B的范围求解.
【小问1详解】
选条件①：因为，所以，即，又因为为锐角三角形，所以，所以，所以.
选条件②：因为，所以
所以，又因为，所以，所以，所以，
选条件③：由正弦定理可得
即，又因为，所以，因为，所以.
【小问2详解】


，，
则即，
即周长的取值范围为.