2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】联立求出交点，再由垂直关系得出所求直线方程.

【详解】联立，解得，.

设与直线垂直的直线方程是

将，代入方程，解得

故所求方程为

故选：D.

2．椭圆：的左、右焦点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于A，两点，若的周长为16，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据椭圆的定义及的周长求出，再根据离心率的计算公式即可得解.

【详解】解：由题可知，即，

所以椭圆的离心率.

故选：A.

3．已知是空间向量的一个基底，则可以与向量，，构成基底的向量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由基底的定义求解即可.

【详解】因为，，，为不共面向量，所以能构成基底，故A正确；

因为，，，为共面向量，所以不能构成基底，故B错误；

因为，，，为共面向量，所以不能构成基底，故C错误；

因为，，，为共面向量，所以不能构成基底，故D错误.

故选：A.

4．已知双曲线的一条渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，得到关系，然后得到关系，再求解双曲线的离心率．

【详解】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：，

圆的圆心，半径为，

因为双曲线的一条渐近线与圆相切，

所以，，整理得，

因为由，

所以

所以.

故选：C.

5．当圆 截直线所得的弦长最短时，实数（    ）

A． B．1 C．  D．-1

【答案】D

【分析】根据直线方程得到直线经过定点，通过比较点到圆心的距离和半径的大小得到点在圆的内部，再利用几何的方法得到直线时弦长最短，最后利用垂直关系列方程求解即可.

【详解】解：圆：，即，圆心为，半径，直线：，即，令，解得，即直线恒过定点，又，所以点在圆内部，所以当直线时弦长最短，又，所以，解得.

故选：D.

6．在长方体中，，则（    ）

A．1 B．0 C．3 D．

【答案】C

【分析】先利用线面垂直的性质得到，接着用向量的线性运算表示，然后用数量积运算即可求解

【详解】

由长方体可得平面，平面，所以，

因为，，

所以，

故选：C

7．在平面直角坐标系中，若直线与曲线，有两个公共点，则b的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】画出直线与曲线的图象，结合判别式以及图象求得正确答案.

【详解】曲线，即，

即以原点为圆心，半径为的圆在轴右侧的部分，

画出直线与曲线的图象如下图所示，

由消去并化简得，

由解得或（舍去）.

结合图象可知的取值范围是.

故选：A

8．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．

【详解】设，由，因为 ，，所以

，

因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；

当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．

故选：C．

【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．

二、多选题

9．下列说法中，正确的有（    ）．

A．过点且在，轴截距相等的直线方程为

B．直线在轴上的截距为－2

C．若点在圆外，则或

D．已知点是直线上一动点，、是圆：的两条切线，、是切点，则四边形面积的最小值为

【答案】BD

【分析】根据截距的概念可判AB的正误，利用点在圆外可得参数范围，利用切线的性质及面积公式可得最小值.

【详解】对于A选项，过点且在、轴截距相等的直线方程为，或者，故A错误；

对B选项，直线在轴上的截距为，故B正确；

对于C选项，，，，，点在圆外，，解得，或，综上或，故C错误；

对于D选项，圆心，半径，圆心到直线的距离，即的最小值，由，所，四边形的面积最小值，故D正确．

故选：BD

10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是（    ）

A．直线BD与A1D 所成的角为45°

B．异面直线BD与AD1所成的角为60°

C．二面角A-B1C-C1的正弦值为

D．二面角A-B1C-C1的正弦值为

【答案】BD

【分析】先利用几何法找出题目中异面直线所成的角和二面角的平面角，再借助几何知识求出角度及正弦值，验证选项.

【详解】正方体中，为等边三角形，直线BD与A1D 所成的角为60°，选项A错误；

，异面直线BD与AD1所成的角等于BD与BC1所成的角，为等边三角形， ∴异面直线BD与AD1所成的角为60°，选项B正确；

BC1与CB1相交于点O，连接AO、AC1，如图所示：

正方体中，，O为B1C的中点，∴，，二面角A-B1C-C1的平面角为，

不妨设正方体棱长为2，，，，

由余弦定理，，

∴，则二面角A-B1C-C1的正弦值为，选项C错误，选项D正确.

故选：BD

11．设，，是空间一个基底，下列选项中正确的是（    ）

A．若，，则；

B．则，，两两共面，但，，不可能共面；

C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使；

D．则，，一定能构成空间的一个基底

【答案】BC

【分析】所成角不一定为，A错误，，，共面不能构成空间的一个基底，B正确，根据空间向量基本定理得到C正确，，，向量共面，D错误

【详解】，，则所成角不一定为，A错误；

若，，共面，则不能构成空间的一个基底，B正确；

根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组，使，C正确；

，故，，向量共面，不能构成空间的基底向量，D错误.

故选：BC

12．已知椭圆：的左右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（       ）

A．离心率的取值范围为

B．当离心率为时，的最大值为

C．存在点使得

D．的最小值为1

【答案】BD

【分析】由题设可得、，利用离心率公式即可求范围判断A；当得，进而求焦点坐标，再利用椭圆定义及有界性求的最大值判断B；根据已知判断的大小关系，再判断以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有无交点，即可判断C；由结合基本不等式求最值，注意等号成立条件.

【详解】由题设，，则，又在椭圆内部，则，即，

∴，故A错误；

当时，有，易得，.

∴由，则，故B正确；

由，即，以原点为圆心，为半径的圆与椭圆无交点，

∴椭圆上不存在点使得，故C错误；

由，当且仅当时等号成立，即为短轴端点取等号，

∴的最小值为1，故D正确.

故选：BD

【点睛】关键点点睛：根据已知首先可得、，再综合应用离心率公式、椭圆定义及有界性，结合基本不等式判断各选项的正误.

三、填空题

13．已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______.

【答案】

【分析】先求得，再根据投影向量的模的公式求解即可

【详解】由题，，故在上的投影向量的模

故答案为：.

14．已知两圆和相交于两点，则直线的方程是_____．

【答案】

【详解】试题分析：两圆为①，②，可得，所以公共弦所在直线的方程为．

【解析】相交弦所在直线的方程

15．唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，怎样走才能使总路程最短？在平面角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马”的最短总路程为___________.

【答案】

【分析】求出点P关于直线的对称点的坐标，设直线上任一点N，当且仅当Q，N，三点共线时取最小值，可得最短距离．

【详解】设点关于直线的对称点的坐标为

则解得：，

所以，

设，设直线上的点，则

则当且仅当Q，N，三点共线时取等号，

而，

所以最短总路程为，

故答案为：．

16．已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是　 　.

【答案】

【详解】∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上．

设左焦点为，根据椭圆定义：|AF|+|A|=2a

又∵|BF|=|A|   ∴|AF|+|BF|=2a  ……①

O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c

又|AF|=2csinα   ……②

|BF|=2ccosα    ……③

将②③代入①  2csinα+2ccosα=2a

∴，即，

∵，

∴)≤1，故椭圆离心率的取值范围为

四、解答题

17．设直线L的方程为（a＋1）x＋y＋2－a＝0（a∈R）．

⑴求证：不论a为何值，直线L必过一定点；

⑵若直线L在两坐标轴上的截距相等，求直线L的方程；

⑶若直线L不经过第二象限，求a的取值范围．

【答案】（1）； （2）或； （3） .

【分析】（1）将直线整理为，由可得定点；

（2）对是否为0分类讨论，结合直线的截距概念列方程求解；

（3）由直线的斜率及纵截距列不等式组求解即可.

【详解】（1）由（a＋1）x＋y＋2－a＝0整理得：，

当时，方程总是成立，

即：，方程总是成立，

所以不论a为何值，直线L必过一定点.

（2）由（a＋1）x＋y＋2－a＝0整理得：，

当时，直线L的方程为：，此时直线的横、纵截距都为0，满足题意．

当时，直线L的方程可化为：，要使得直线L在两坐标轴上的截距相等，则，即：．此时直线L的方程为：.

综上可得：或.

（3）直线L不经过第二象限，则，解得：.

【点睛】本题主要考查了直线过定点问题，还考查了直线的截距概念，直线图像特征相关知识，属于基础题.

18．已知圆，点．

(1)过作圆的切线，求切线方程；

(2)过作直线与圆交于，两点，且，求直线的方程

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）根据题意，设所求切线方程为，再根据圆心到直线的距离为半径列式解方程即可求解；

（2）根据题意得圆心到直线的距离为，进而设直线的方程为，再根据圆心到直线的距离为半径列式解方程即可求解；

【详解】（1）解：由题知圆，即圆心为，半径为，

因为，所以点在圆外，

所以，当切线斜率不存在时，方程为，此时与圆相交，不满足题意；

故设所求切线的斜率为，方程为，

因为与圆相切，

所以，，即，解得，

所以，所求切线方程为或

（2）因为，所以圆心到直线的距离为，

当切线斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离为1，不满足题意；

所以，设直线的方程为，

所以，，即，解得或，

所以，直线的方程为或

19．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；

(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.

【详解】（1）因为，O是中点，所以，

因为平面，平面平面，

且平面平面，所以平面．

因为平面，所以.

（2）[方法一]：通性通法—坐标法

如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，

则，设,

所以，

设为平面的法向量，

则由可求得平面的一个法向量为．

又平面的一个法向量为，

所以，解得．

又点C到平面的距离为，所以，

所以三棱锥的体积为．

[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角

如图所示，作，垂足为点G．

作，垂足为点F，连结，则．

因为平面，所以平面，

为二面角的平面角．

因为，所以．

由已知得，故．

又，所以．

因为，

．

[方法三]：三面角公式

考虑三面角，记为，为，，

记二面角为．据题意，得．

对使用三面角的余弦公式，可得，

化简可得．①

使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②

将①②两式平方后相加，可得，

由此得，从而可得．

如图可知，即有，

根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，

结合的正切值，

可得从而可得三棱锥的体积为．

【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；

方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.

方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.

20．已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上．

（1）求双曲线C的方程及渐近线方程；

（2）以为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）先求解出椭圆的焦点坐标，则双曲线的焦点坐标可求，再结合点在双曲线上求解出双曲线的方程，并求解出渐近线方程；

（2）利用点差法求解出直线的斜率，再结合直线过点，则可求直线的方程.

【详解】（1）因为椭圆的焦点坐标为，所以双曲线的焦点坐标为，

又因为在双曲线上，所以 ，所以，

所以双曲线的方程为：，渐近线方程为；

（2）设，所以，所以，

所以，又因为，

所以，所以弦所在直线的方程为：，即.

【点睛】本题考查双曲线方程求解、双曲线的渐近线方程求解以及中点弦问题，难度一般.设为双曲线的一条弦的中点（不平行于坐标轴），则.

21．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E．

(1)求证；

(2)若平面平面，，，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)详见解析

(2)

【分析】（1）首先证明平面，再根据线面平行的性质定理，即可证明线线平行；

（2）取的中点，首先证明互相垂直，再以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用线面角的向量公式，即可求解.

【详解】（1），

且平面，平面，

平面，

又平面，且平面平面，

；

（2）连结，取中点，连结，，

在菱形中，，是等边三角形，

又为中点，，

平面平面，平面平面，

平面，且，

平面，平面，

，

又，，

以点为原点，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

，，，，，

，，

设平面的一个法向量为，

则，所以，令，则，，

故，又，

设与平面所成角为，

，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

22．已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.

(1)求E的方程；

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.

【答案】（1） （2）

【详解】试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求.

试题解析：（1）设，因为直线的斜率为，

所以，.

又

解得，

所以椭圆的方程为.

（2）解：设

由题意可设直线的方程为：，

联立消去得，

当，所以，即或时

.

所以

点到直线的距离

所以，

设，则，

，

当且仅当，即，

解得时取等号，

满足

所以的面积最大时直线的方程为：或.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.