2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第六中学校高一上学期期末适应性训练数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第六中学校高一上学期期末适应性训练数学试题

一、单选题

1．集合，集合，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先解出，再求出的补集，最后利用交集的运算即可求解.

【详解】由可得，则，

那么.用区间可以表示为.

故选：B

2．下列说法正确的是（    ）

A．锐角是第一象限角 B．第二象限角是钝角

C．第一象限角是锐角 D．第四象限角是负角

【答案】A

【分析】根据角的定义判断．

【详解】锐角大于而小于，是第一象限角，但第一象限角不都是锐角，

第二象限角不都是钝角，第四象限角有正角有负角．只有A正确．

故选：A．

3．函数的零点所在的大致区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可知在递增，且，由零点存在性定理即可得出答案.

【详解】易判断在递增，.

由零点存在性定理知，函数的零点所在的大致区间为.

故选:D.

4．，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由指数函数与对数函数的单调性求解即可

【详解】因为，

，

，

即，，，

所以，

故选：B

5．某观光种植园开设草莓自摘活动，使用一架两臂不等长的天平称重．一顾客欲购买2的草莓，服务员先将1的砝码放在天平左盘中，在天平右盘中放置草莓A使天平平衡；再将1的砝码放在天平右盘中，在天平左盘中放置草莓B使天平平衡；最后将两次称得的草莓交给顾客．你认为顾客购得的草莓是（    ）

A．等于2 B．小于2 C．大于2 D．不确定

【答案】C

【分析】根据已知条件列方程，结合基本不等式求得正确答案.

【详解】设天平左臂长，右臂长，且，

设草莓有，草莓有千克，

所以，

所以.

故选：C

6．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的单调性求解.

【详解】函数的图象，如图所示：

由图象知：函数在R上单调递增，

所以转化为，

解得 ，

故选；B

7．为了得到函数的图像，只需将函数的图象（    ）

A．左移个单位长度 B．左移个单位长度

C．右移个单位长度 D．右移个单位长度

【答案】D

【分析】根据函数图象的平移变换即可求解.

【详解】因为，

所以为了得到函数的图像，

只需将函数的图象右移个单位长度，

故选:D.

8．已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法中错误的是（    ）

A．函数的图象关于点对称

B．函数的图象关于直线对称

C．函数在上单调递增

D．函数在的取值范围为

【答案】D

【分析】根据题图得，，由可得，故，再逐项分析即可.

【详解】由题意可得,，解得.

由，得.

因为，所以，所以.

,所以函数的图象关于点对称，故A正确；

，故函数的图象关于直线对称，故B正确；

时，，所以函数在上单调递增，故C正确；

时，，所以,

所以，故D错误.

故选:D.

二、多选题

9．下列结论中正确的是（    ）

A．

B．若，则

C．命题“，”的否定是“，”

D．“”是“”的充分条件

【答案】AB

【分析】根据二倍角正弦公式的逆用，可知A正确；由，解出值，即可判断B项；根据全称量词命题的否定，写出命题的否定，可判断C项；举例可说明D项.

【详解】对于A项，根据二倍角正弦公式的逆用，可知，故A项正确；

对于B项，由，可知，故B项正确；

对于C项，命题“，”的否定是“，”，故C项错误；

对于D项，取，，则成立，，故D项错误.

故选：AB.

10．以下结论正确的是（    ）

A．函数的最小值是2 B．若a，且，则

C．若，则的最小值为3 D．函数的最大值为0

【答案】BD

【分析】由基本不等式知识对选项逐一判断

【详解】对于A，当时，，故A错误，

对于B，由基本不等式知当，则，故B正确，

对于C，令，方程无解，则等号不成立，故C错误，

对于D，当时，，当时等号成立，故函数的最大值为0，故D正确，

故选：BD

11．已知函数f(x)＝tanx－sinx，下列四个命题中真命题有（   ）

A．f(x)的最小正周期为 B．f(x)的图象关于原点对称

C．f(x)的图象关于直线x＝对称 D．f(x)的图象关于(，0)对称

【答案】BD

【分析】根据函数周期的定义，结合线对称、点对称的性质判断即可.

【详解】因为，

所以f(x)的最小正周期不是，因此选项A不正确；

因为，所以定义域关于原点对称，

又因为，

所以函数f(x)是奇函数，因此它的图象关于原点对称，所以选项B正确；

因为

，

所以f(x)的图象不关于直线x＝对称，因此选项C不正确；

因为

，

所以f(x)的图象关于(，0)对称，因此选项D正确，

故选：BD

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的定义域为

B．当函数的图象关于点成中心对称时，

C．当时，在上单调递减

D．设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2022个交点，记为（，2，…，2022），则的值为0

【答案】ACD

【分析】对A：由即可判断；对B：由，可得的图象关于点成中心对称，从而即可判断；对C：，且，即可判断；对D：由函数和图象关于对称，则与图象的交点成对出现，且每一对均关于对称，从而即可求解判断.

【详解】解：对A：要使函数有意义，则，即，

∴的定义域为，所以选项A正确；

对B：∵，

∴的图象关于点成中心对称，

∴当函数的图象关于点成中心对称时，，所以选项B不正确；

对C：由选项B知，当时，，

∴在单调递减，所以选项C正确；

对D：∵，，

∴的图象关于对称，又函数的图象关于对称，

∴与图象的交点成对出现，且每一对均关于对称，

，所以选项D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．已知扇形的周长为6，圆心角为，则该扇形的面积为__________．

【答案】

【分析】设扇形的弧长为，半径为，然后根据已知建立方程求出，，进而可以求解．

【详解】解：设扇形的弧长为，半径为，

则，且，则，，

所以扇形面积为.

故答案为：．

14．函数为偶函数，且对任意都有，当时，，则__________．

【答案】/

【分析】直接根据函数的周期性以及奇偶性即可得结果.

【详解】因为对任意都有，即函数的最小正周期为，

所以，

又因为函数为偶函数，当时，，

所以，

故答案为：.

15．已知函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝_________．

【答案】

【分析】设，判断是奇函数，故，从而可求解.

【详解】设，则的定义域为，

则

，

∴，是奇函数，因此.

又，，

∴，．

故答案为:.

16．设函数（，），若是函数的零点，是函数的一条对称轴，在区间上单调，则的最大值是______.

【答案】14

【分析】根据正弦型函数的零点、对称轴，结合正弦型函数的单调性进行求解即可.

【详解】因为是函数的零点，是函数的对称轴，

所以，，解得，.

因为在区间上单调，则，得，所以.

当时，，得，，即，，又，则，得.

当时，，其中，于是在区间上不单调.

当时，，得，，即，，又，则，得.

当时， ，满足在区间上单调.

综上，的最大值是14.

故答案为：14

【点睛】关键点睛：本题利用正弦型函数的单调性、对称性在求解时，检验区间是否单调是本题的关键.

四、解答题

17．已知，且.求下列各式的值：

(1)：

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据角的范围和同角三角函数的基本关系得出，进一步得到，将式子弦化切即可求解；

(2)利用诱导公式将式子化简为，结合（1）即可求解.

【详解】（1）因为且，所以，

则，

所以.

（2）.

18．已知函数．

(1)判断并证明函数的奇偶性；

(2)当时，恒成立．求实数的取值范围．

【答案】(1)奇函数，证明见解析

(2)

【分析】（1）根据对数函数的真数大于0，求出函数的定义域,然后利用函数的奇偶性的定义进行判断即可.

（2）该题参数已经分离，所以只需要利用对数函数的性质求出取值范围，从而可求出的取值范围，由于不等式左侧的最小值取不到，则可以取该值.

【详解】（1）由函数，得，

即，解得或，

所以函数的定义域为，关于原点对称．

又，

，

所以是奇函数；

（2）恒成立，则，

即在恒成立，

令，

因为在上单调递增，

当时，，

所以时，，

则实数的取值范围是．

19．已知函数．

(1)求函数的单调递增区间；

(2)设，，求的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据三角恒等变换可得,根据正弦函数的图象与性质即可求解；

（2）由题意可得，由同角三角函数的基本关系可求，根据即可求解.

【详解】（1）,

令，解得，

所以的单调递增区间为.

（2）,

由得，

，

所以

.

20．已知函数的图象与x轴的两个相邻交点之间的距离为，直线是的图象的一条对称轴．

(1)求函数的解析式；

(2)若函数在区间上恰有3个零点，请直接写出的取值范围，并求的值．

【答案】(1)；

(2)，.

【分析】（1）由题意可得，可求，又，结合可求，可得函数的解析式；

（2），设，作图，由图可得，且，从而可求解.

【详解】（1）由条件可知，周期，所以，又，得，

，因为，所以，

即函数；

（2），

当，设，

由条件转化为与，在上的图象恰有3个不同的交点，

作出与的图象，如图所示，

由图可知，，且，

所以.

21．设函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且.

(1)求与的解析式；

(2)若在上的最小值为，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据函数的奇偶性可得出关于、的方程组，即可解得这两个函数的解析式；

（2）设，可得，设，分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，结合可求得实数的值.

【详解】（1）解：为偶函数，，

又为奇函数，，

，①

，即，②

由得：，可得.

（2）解：，

所以，，

令，因为函数、在上均为增函数，

故在上单调递增，则，

设，，对称轴，

①当时，函数在上为减函数，在上为增函数，

则，解得：或（舍）；

②当时，在上单调递增，

，解得：，不符合题意.

综上：.

22．已知幂函数是其定义域上的增函数．

(1)求函数的解析式；

(2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

(3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)存在

(3)

【分析】（1）因为是幂函数，所以；

（2）考虑函数中x的次数，换元成二次函数解题；

（3）因为在定义域范围内为减函数，故有，相减后得，进而，换元成二次函数解题.

【详解】（1）因为是幂函数，所以，

解得或

当时，，在为减函数，当时，，

在为增函数，所以.

（2），令，因为，所以，

则令，，对称轴为．

①当，即时，函数在为增函数，

，解得．

②当，即时，，

解得，不符合题意，舍去．

当，即时，函数在为减函数，，

解得．不符合题意，舍去．

综上所述：存在使得的最小值为.

（3），则在定义域范围内为减函数，

若存在实数，使函数在上的值域为，

则，

②-①得：，

所以，

即③．

将③代入②得：．

令，因为，，所以．

所以，在区间单调递减，

所以

故存在实数，使函数在上的值域为，

实数的取值范围且为．