2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学高一下学期期末考试数学试题（解析版）

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学高一下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知是虚数单位，复数，则复数在复平面内表示的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】根据复数的加法运算，表示出复数，进而得到其在复平面内表示的点坐标，即可得到所在象限．

【详解】由复数加法运算可知

在复平面内表示的点坐标为，所以所在象限为第三象限

所以选C

【点睛】本题考查了复数的简单加法运算，复平面内对应的点坐标及其象限，属于基础题．

2．下列说法正确的是（    ）

A．三点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面

C．四边形一定是平面图形 D．两条相交直线可以确定一个平面

【答案】D

【分析】根据确定平面的公理以及推论判断即可.

【详解】A错误，不共线的三点可以确定一个平面；

B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面；

C错误，四边形不一定是平面图形，比如空间四边形；

D正确，两条相交直线可以确定一个平面．

故选：D．

3．抛掷一颗骰子，出现的点数是3的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】列举出所有可能出现的点数，按照古典概型求解概率即可.

【详解】可能出现的点数有1，2，3，4，5，6共6种，出现的点数是3的概率为.

故选：D.

4．在中，角所对的边分别是，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据正弦定理，即可求解.

【详解】解：由正弦定理得，，

故选：A.

5．已知向量，，若，则实数（    ）

A． B． C．2 D．-2

【答案】B

【分析】由平面向量线性运算的坐标表示出，，再由平面向量共线的坐标表示即可得解.

【详解】由已知得，，

又因为，

所以有，解得.

故选：B

6．沙糖桔网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（   ）

A．月收入的最大值为90万元，最小值为30万元 B．这一年的总利润超过400万元

C．这12个月利润的中位数与众数均为30 D．7月份的利润最大

【答案】B

【分析】根据图形和中位数、众数的概念依次判断选项即可.

【详解】A：由图可知，月收入的最大值为90，最小值为30，故A正确；

B：各个月的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，

所以总利润为20+30+20+10+30+30+60+40+30+30+50+30=380(万元)，故B错误；

C：这12个月利润的中位数与众数均为30，故C正确；

D：7月份的利润最大，为60万元，故D正确.

故选：B

7．甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（    ）

A．0.72 B．0.26 C．0.7 D．0.98

【答案】D

【分析】利用对立事件的概率求法求飞行目标被雷达发现的概率.

【详解】由题设，飞行目标不被甲、乙发现的概率分别为、，

所以飞行目标被雷达发现的概率为.

故选：D

8．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正确的是（    ）

A．A⊆D

B．B∩D＝

C．A∪C＝D

D．A∪B＝B∪D

【答案】D

【分析】按照事件间的互斥关系和包含关系分析求解即可.

【详解】“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中．故A⊆D ，A∪C＝D

B，D为互斥事件，B∩D＝；

A∪B＝“两个飞机都击中或者都没击中”，B∪D为必然事件，这两者不相等

故选：D

9．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球数的标准差为0.3，下列说法中，正确的个数为

①甲队的进球技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；

③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】根据甲队比乙队平均每场进球个数多，得到甲对的技术比乙队好判断①；根据两个队的标准差比较，可判断甲队不如乙队稳定；由平均数与标准差进一步可知乙队几乎每场都进球，甲队的表现时好时坏.

【详解】因为甲队每场进球数为，乙队平均每场进球数为，甲队平均数大于乙队较多，所以甲队技术比乙队好，所以①正确；

因为甲队全年比赛进球个数的标准差为，乙队全年进球数的标准差为，乙队的标准差小于甲队，所以乙队比甲队稳定，所以②正确；

因为乙队的标准差为，说明每次进球数接近平均值，乙队几乎每场都进球，甲队标准差为，说明甲队表现时好时坏，所以③④正确，

故选D.

【点睛】本题考查了数据的平均数、方差与标准差，其中数据的平均数反映了数据的平均水平，方差与标准差反映了数据的稳定程度，一般从这两个方面对数据作出相应的估计，属于基础题.

10．已知正方体ABCD－ABCD中异面直线AC与BC所成角为（    ）

A．45 B．60 C．90 D．30

【答案】B

【分析】根据正方体的性质确定AC与BC所成角的平面角，进而判断其大小.

【详解】由正方体的性质知：，故AC与BC所成角为或其补角，

又△为等边三角形，则.

故选：B

二、多选题

11．在中，下列命题错误的是（    ）

A．若，则

B．若，则一定为等腰三角形

C．若，则一定为等腰三角形

D．若三角形的三边满足，则该三角形的最大角为钝角

【答案】BCD

【分析】根据正弦定理，余弦定理以及三角函数恒等变换即可逐项求解．

【详解】解：对于A 选项，由正弦定理结合大角对大边得：，故A 选项正确；

对于B选项，由于，

又， 是三角形的内角，

所以，或，即或，

因此可能为等腰三角形或直角三角形，

故B选项错误；

对于C选项，若中，，，，可得，不是等腰三角形，故C选项错误；

对于D选项，因为，

所以，可得为锐角，无法判断三角形的最大角为钝角，故D选项错误．

故选：BCD．

12．在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点，则下列判断正确的是（    ）

A．为的中点

B．与所成的角为

C．平面

D．三棱锥与四棱锥的体积之比等于

【答案】ACD

【分析】在A中，连结，交于点，连结，则平面平面，推导出，由四边形是正方形，从而，进而；

在B中，由，得（或其补角）为与所成角，推导出，从而与所成角为；

在C中，推导出，，由此能证明平面；

在D中，设，则，．由此能求出三棱锥与四棱锥的体积之比等于．

【详解】解：在A中，连结，交于点，连结，则平面平面，

∵平面，平面，∴，

∵四边形是正方形，∴，∴，故A正确；

在B中，∵，∴（或其补角）为与所成角，

∵平面，平面，∴，

在中，，∴，

∴与所成角为，故B错误；

在C中，∵四边形为正方形，∴，

∵平面，平面，∴，

∵，、平面，

∴平面，故C正确；

在D中，设，则，

．

∴，故D正确．

故选：ACD．

三、填空题

13．已知点，，则___________.

【答案】

【分析】由向量坐标得，再由模长公式进而得解.

【详解】由题意得，故.

故答案为：.

14．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量（单位：g）如下．

125  120  122  105  130  114  116  95  120  134

则样本数据落在内的频率为______．

【答案】0.4

【分析】根据频率的计算公式即可求解.

【详解】解：因为样本数据落在内的有4个：120，122，116，120，

所以样本数据落在内的频率为，

故答案为：0.4.

15．某校有高一学生人，高二学生人. 为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为的样本，已知从高一学生中抽取人，则________．

【答案】

【分析】根据分层抽样的等比例性质列方程，即可样本容量n.

【详解】由分层抽样的性质知：，可得.

故答案为：

16．在中，，，其面积为，则_______．

【答案】

【分析】利用三角形的面积公式求得，利用余弦定理求得，结合正弦定理求得正确答案.

【详解】依题意，，

由余弦定理得，，

由正弦定理得.

故答案为：

四、解答题

17．已知：复数，其中为虚数单位．

(1)求及；

(2)若，求实数的值．

【答案】(1)，

(2)，

【详解】（1），则.

（2）由（1）得：，

，解得：.

18．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)已知样本中分数在[40，50）的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；

(2)试估计测评成绩的75%分位数；

(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

【答案】(1)20人

(2)

(3)

【分析】（1）根据频率分布直方图先求出样本中分数在[40，90）的频率，即可解出；

（2）先根据频率分布直方图判断出75%分位数在[70，80）之间，即可根据分位数公式算出；

（3）根据频率分布直方图知分数不小于70分的人数中男女各占30人，从而可知样本中男生有60人，女生有40人，即可求出总体中男生和女生人数的比例．

【详解】（1）由频率分布直方图知，分数在[50，90）的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，在样本中分数在[50，90）的人数为100×0.9=90(人)，在样本中分数在[40，90）的人数为95人，所以分数在[40，90）的人数为400×0.95=380(人)，总体中分数小于40的人数为20人

（2）测试成绩从低到高排序，占人数75%的人分数在[70，80）之间，所以估计测评成绩的75%分位数为

（3）由频率分布直方图知，分数不小于70分的人数共有60人，由已知男女各占30人，从而样本中男生有60人，女生有40人，故总体中男生与女生的比例为．

19．甲、乙两位射手对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响.已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.

（Ⅰ）求甲两次都没有击中目标的概率；

（Ⅱ）在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）设甲第一次击中目标为事件，第二次击中目标为事件，得到，结合相互独立事件的概率计算公式，即可求解；

（Ⅱ）设乙第一次击中目标为事件，第二次击中目标为事件，得到，进而得到甲、乙恰好各击中一次目标为，结合相互独立事件和互斥事件的概率计算公式，即可求解.

【详解】（Ⅰ）设甲第一次击中目标为事件，甲第二次击中目标为事件，

则.

因为事件“甲两次都没有击中目标”即为事件，

所求的概率为.

（Ⅱ）设乙第一次击中目标为事件，乙第二次击中目标为事件，

则.

所以，事件“四次射击中，甲、乙恰好各击中一次目标”表示为

，

所以，所求的概率为

.

20．如图，在正方体中，点分别是棱的中点．求证：

(1)平面；

(2)平面．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）易证得四边形为平行四边形，可知，由线面平行的判定可得结论；

（2）由正方形性质和线面垂直性质可证得，，由线面垂直的判定可得平面，由可得结论.

【详解】（1）分别为的中点，，，

且，四边形为平行四边形，，

又平面，平面，平面.

（2）四边形为正方形，；

平面，平面，，

又，平面，

21．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，的面积为.

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)求的值.

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】(1)已知条件结合三角形面积公式和正弦定理即可求a；

(2)由余弦定理求出b，再根据正弦定理即可求出sinA；

(3)根据sinA求出cosA，再由正弦和角公式、正余弦二倍角公式即可求值.

【详解】（1）∵，∴由正弦定理得，

又的面积为，∴，解得，

∴；

（2）由余弦定理有，∴.

由正弦定理.

（3）∵B＝150°，∴A＜90°，∴由sinA＝得，，

∴，.

∴.

22．如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，为直角三角形且，是等边三角形.

（1）求证：；

（2）若，求二面角的正弦值.

【答案】（1）见解析； （2）.

【分析】（1）取AP中点F，连接DM，BM，由已知可证PA⊥DM，PA⊥BM，又DM∩BM=M，可得PA⊥平面DMB，因为BD⊂平面DMB，可证PA⊥BD；

（2）由已知可得△DAP是等腰三角形，又△ABP是等边三角形，可求出MD⊥MB，以MP，MB，MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出平面DPC与平面PCB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角D﹣PC﹣B的余弦值，进一步求得正弦值．

【详解】（1）证明：取中点，连，

∵，为等边三角形，

∴，又，

∴平面，又∵平面，∴.

（2）解：∵，为中点，结合题设条件可得，

∴，∴.

如图，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，

得，，，

设平面的一个法向量，

则即，∴.

设平面的一个法向量，

由即，∴.

∴ .

设二面角的平面角为，则由图可知，∴.

【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．