黑龙江省哈尔滨市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份黑龙江省哈尔滨市2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共18页。

注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区城内，写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据交集的知识求得正确答案.
【详解】依题意，.
故选：A
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定的知识求得正确答案.
【详解】原命题是存在量词命题，
其否定是全称量词命题，
注意到要否定结论，所以D选项正确.
故选：D
3. 是的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由不等式性质及充分必要条件判断即可．
【详解】由不等式性质可知：，而，
反之，不能推出成立，
所以是的充分不必要条件，
故选：B
4. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
【详解】不等式，即，
即，解得或，
所以不等式的解集为或.
故选：C
5 计算：（ ）
A. 0B. 6C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数与指数运算得出答案.
【详解】，
故选：C.
6. 若点在幂函数的图象上，则的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再进行判断即可得出答案．
【详解】设幂函数，将点代入，得，解得，
所以，定义域为，且在定义域内单调递增，大致图像为B，
故选：B．
7. 函数的最小值为（ ）
A. 12B. 10C. 8D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意，
，
当且仅当时等号成立.
故选：C
8. 关于函数，给出以下四个命题：①当时，严格单调递减且没有最值；②方程一定有解；③如果方程有解，则解的个数一定是偶数；④是偶函数且有最小值，其中真命题是（ ）
A. ②③B. ②④C. ①③D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】分类讨论，特别是时，由函数的单调性判断①，判断函数的奇偶性，确定函数的单调性，并确定函数的变化趋势后判断②，结合偶函数的性质及的值，判断③，由函数的单调性，奇偶性判断④．
【详解】时，，时，是减函数，时，是增函数，无最值，①错；
的定义域是，，是偶函数，
时，，时，，
时，直线与的图象在第一象限内一定有交点，
由偶函数的对称性，时，直线与的图象在第二象限内一定有交点，
所以方程一定有解，②正确；
是偶函数，且，所以时，函数的图象与直线只有一个公共点，所以方程只有一个解，③错；
是偶函数，时，，时，是增函数，是最小值，所以在上，的最小值是，④正确．
故选：B．
【点睛】难点点睛：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查方程根的个数问题，难点在于含有多个绝对值，可以根据绝对值的定义去掉绝对值符号后判断函数的单调性，确定函数的变化趋势，然后根据函数的性质可得结论．
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以，
所以，A选项正确；
，B选项错误；
，C选项正确.
，D选项错误.
故选：AC
10. 已知函数下列叙述正确的是（ ）
A.
B. 的零点有3个
C. 的解集为或
D. 若a，b，c互不相等，且，则的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据分段函数值、零点、不等式、图象等知识确定正确答案.
【详解】A选项，，A选项正确.
B选项，当时，方程的，
无实数根；
当时，由解得，
所以的零点有个，B选项错误.
C选项，当时，由得，解得；
当时，由得，
所以的解集为或，C选项正确.
D选项，画出的图象如下图所示，
不妨设，则，
，由解得，
所以，所以，D选项正确.
故选：ACD
11. 将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列叙述正确的是（ ）
A. 函数是偶函数B. 函数的一个对称中心是
C. 若，则D. 函数的一个对称中心是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换的知识求得，根据函数的奇偶性、对称性等知识求得正确答案.
【详解】函数，所以是偶函数，A选项正确.
，所以B选项错误.
函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，
再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数，
，
所以C选项正确.
，所以D选项正确.
故选：ACD
12. 已知函数，若关于的方程有四个不相等的实根，则的值可以是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】BC
【解析】
【分析】由题设求的解析式，进而可得的解析式，并画出其函数图象，将问题转化为与有4个交点，应用数形结合判断的范围，即知的可能值.
【详解】由题设，，
∴，
∴，可得函数图象如下：
要使有四个不相等的实根，即与有4个交点，
由图知：.
故选：BC
三、填空题：本题4个小题，每小题5分，共20分．
13. _________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：．
考点：三角函数
14. 函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数函数的定义域和二次根式的定义列出不等式组，求解即可．
【详解】由题意得，，
解得，即函数定义域为，
故答案为：．
15. 已知定义在R上的函数满足，设，则的大小顺序是__________．（用“>”号连接）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由函数单调性定义分析可得函数在R上为增函数，又由，分析可得答案.
【详解】定义在R上的函数满足，则函数在R上为增函数，
又由，，，即，，，
则有，则.
故答案为：．
16. 已知图象上有一最低点，若图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再将所得图象向左平移1个单位得到的图象，又的所有根从小到大依次相差3个单位，则的解析式为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角恒等变换、三角函数的最值、图象变换、周期和方程的根等知识来求得的解析式.
【详解】，
其中，
由于图象上有一最低点，
所以，，
根据三角函数图象变换的知识可知
，
的最小正周期为，
的所有根从小到大依次相差3个单位，即半周期，
所以，则，
所以.
故答案为：
【点睛】对于的化简，主要利用的是两角与差的正弦、余弦公式，化为，也可以化为，可根据题意选择合适的一个来对问题进行求解.
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知，为第二象限角．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数结合已知得出，即可根据二倍角正弦公式代入数值得出答案；
（2）根据两角和差的余弦公式代入数值得出答案.
【小问1详解】
，为第二象限角，
，
则；
【小问2详解】
.
18. 已知关于的不等式．
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若不等式的解集为，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分类讨论，，当时，根据已知变形为，当时，根据一元二次不等式解集与一元二次方程韦达定理列式即可解出答案；
（2）分类讨论，，当时，根据已知变形为，当时，根据已知得出一元二次不等式在上恒成立，即可列式解出答案.
【小问1详解】
当时，为，不满足题意；
当时，若的解集为，
即的两个解为与，
则，解得；
【小问2详解】
当时，为，在上恒成立，满足题意，
当时，的解集为，
即在上恒成立，
则，解得，
综上：，
故的取值范围.
19. 第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件.
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入， 该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入( - 600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
【答案】（1）要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元
（2）当该商品改革后的销售量至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元
【解析】
【分析】（1）设每件定价为元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；
（2）依题意，时，不等式有解，等价于时，有解，利用基本不等式，可以求得结论．
【小问1详解】
解：设每件定价为t元，依题意得，
整理得 ，
解得.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.
【小问2详解】
解：依题意，时，
不等式有解
等价于时，有解
（当且仅当时，等号成立）
．此时该商品的每件定价为30元
当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
20. 已知函数上满足，其中为实数
（1）求值，判断函数的奇偶性并证明；
（2）若函数，求在上的值域．
【答案】（1），函数为奇函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知代入函数根据对数运算解出，即可得出函数解析式，根据解析式得出其定义域判断是否关于原点对称，根据函数解析式得出，再根据奇偶性的定义判断其奇偶性；
（2）根据已知结合对数运算得出函数的解析式，即可根据复合函数值域的求法结合二次函数与对数函数在区间上的值域得出答案.
【小问1详解】
，，解得：，
则，定义域为，解得或，关于原点对称，
则，所以函数为奇函数.
【小问2详解】
当时，，，，
则，
，
，
，
，
当时，，则，
则在上的值域为.
21. 已知函数对任意的x，，都有，且当时．
（1）求的值，判断并证明函数的奇偶性；
（2）试判断函数在上的单调性并证明；
（3）解不等式．
【答案】（1），是奇函数，证明见解析
（2）上单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用赋值法求得，根据函数奇偶性的定义判断并证明函数的奇偶性.
（2）利用函数单调性的定义证明函数在上的单调性.
（3）根据函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集.
【小问1详解】
依题意，函数对任意的x，，都有，
令，得，
是奇函数，证明如下：
用代替，得，则，
所以是奇函数.
【小问2详解】
在上单调递减，证明如下：
任取，
，
由于，所以，
所以，
所以在上单调递减.
【小问3详解】
，，
由于在上单调递减，
所以，
所以不等式的解集是.
22. 设函数是偶函数．
（1）当时，解关于的不等式
（2）设函数，若不等式对任意的恒成立求实数的取值
（3）设，当时，讨论关于的方程的根的个数．
【答案】（1）当时，；当时，；
（2）
（3），当时，方程无实数根；当时，方程有1个根；当或时，方程有2个根；当时，方程有3个根；当时，方程有4个根；
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的定义求出的值，再将原不等式转化为解的范围即可；
（2）原不等式可转化为在上恒成立，即求的最小值即可；
（3）利用换元法令，，将原问题转化为关于的一元二次方程的解的个数即可.
【小问1详解】
由偶函数的定义可得，解得，
所以，
所以由得，即，
当时，由解得，
当时，由解得，
【小问2详解】
由（1）可得，
因为当时，
则条件等价于在上恒成立，
所以小于的最小值即可，
因为 ，
令，因为单调递增，单调递减，所以在上单调递增，则，
由对勾函数的性质可得在处取得最小值，最小值为，
所以的最小值为，
所以.
【小问3详解】
令，，由对勾函数的性质可得当时，取得最小值，
所以，则，
令，，由对勾函数的图象和性质可得当时，关于的方程有1个解，当时，关于的方程有2个解，
则原问题转化为关于的方程的根的个数，
令，表示开口向上的抛物线，
，
当，即时，无解，
当时，由解得，关于的方程有1个解；
当时，，的对称轴，
所以有唯一解，且，关于的方程有2个解；
当时，有两不等实根，
因为的对称轴，且，
所以有1个正数解，关于的方程有2个解；
当时，有两不等实根，
因为的对称轴，
所以当，即时，有两不相等的正数解，此时关于的方程有4个解；
当，即时，有一个零解，一个正数解，此时关于的方程有3个解；
当，即时，有一个正数解，此时关于的方程有2个解；
综上所述，当时，方程无实数根；当时，方程有1个根；当或时，方程有2个根；当时，方程有3个根；当时，方程有4个根；
【点睛】思路点睛：本题的难点在于需利用换元法将复杂的问题转化为一元二次函数的形式，第（3）问注意换元后关于的方程需有非负根，可利用对称轴和韦达定理分析根的符号情况，降低计算难度.