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2022-2023学年湖南省益阳市桃江县高一（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖南省益阳市桃江县高一（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省益阳市桃江县高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={x|−5
2. 设复数z=i2−i，则其共轭复数z在复平面上对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 如图，A，B两点在河流的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得B，C两点间的距离为10米，∠ABC=75°，∠ACB=60°，则|AB|=( )
A. 5 2米
B. 5 3米
C. 5 5米
D. 5 6米
4. 若向量a=(m,1)，b=(−1,3)，则“m=1”是“a⊥(a−b)”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知α∈(0,π)，且tanα=2 2，则tanα2=( )
A. 24 B. 2 C. 22 D. 2 23
6. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A表示“第一枚正面朝上”，事件B表示“两枚硬币朝上的面相同”，则A与B( )
A. 是互斥事件也是相互独立事件 B. 不互斥但相互独立
C. 是对立事件 D. 既不互斥也不相互独立
7. 已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台的侧面积为16π，上、下底面的面积之比为1：9，则球的表面积为( )
A. 12π B. 14π C. 16π D. 18π
8. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意实数x满足f(x)=f(2−x)，且f(x)在[−2023,−2022]上单调递增，设a=f(20212)，b=f(log43)，c=f(−14)，则a，b，c的大小关系是( )
A. c
9. 函数f(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移π8个单位后得到一个偶函数的图像，则φ的值可以为( )
A. 0 B. π4 C. −3π4 D. −π4
10. 关于函数f(x)=ln|x|−1|x|，下列说法正确的是( )
A. f(x)为偶函数 B. f(x)在其定义域上单调递增
C. f(x)有且仅有一个零点 D. f(x)在区间(1,2)上存在唯一的零点
11. 如图是某汽车公司100家销售商2022年新能源汽车销售数据频率分布直方图(单位：辆)，则( )
A. a的值为0.004
B. 估计这100家销售商新能源汽车销量的平均数为135
C. 估计这100家销售商新能源汽车销量的80%分位数为212.5
D. 若按分层抽样原则从这100家销售商抽取20家，则销售在[200,300]内的销售商应抽取5家
12. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，M分别为BC，CC1，BB1的中点，P为线段A1M上的动点，则下列说法正确是( )
A. 异面直线A1C1与EF所成的角为60° B. 平面A1MC1与平面AEF相交
C. BD1⊥平面AEF D. 三棱锥F−APE的体积为定值
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若a>0，b>0，且1a+4b=1，则a+b的最小值是______．
14. 已知平面向量a，b满足：|b|=2，a在b上的投影向量为−2b，则a⋅b= ______ ．
15. 如图，在△ABC中，AD是角A的平分线，AB=2，AC=4，∠BAC=2π3，则AD= ______ ．
16. 中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.若该四棱锥的侧棱长为4 21米，且这个四棱锥的体积为768 3立方米，则该四棱锥的侧面与底面所成锐二面角的大小为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
(1)化简：tan(π+α)cos(π−α)sin(2023π+α)sin(π2+α)tan(−α)；
(2)计算：(214)12−π0−eln0.5+log98⋅log43．
18. (本小题12.0分)
在某次数学考试中，对多项选择题的要求是：在四个选项中，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.已知多项选择第12题的正确答案是ABC，且小王不会做该题，只能随机的选择．
(1)若小王仅选一个选项，求他能得分的概率；
(2)若小王随机选择若干个选项，且最少选一个选项，最多选三个选项，求他能得分的概率．
19. (本小题12.0分)
已知向量a=( 3sinx,cosx)，b=(cosx,3cosx)，函数f(x)=a⋅b−32．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间[−π4,π4]上的值域．
20. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 3(a−bcosC)=csinB，b=2 3．
(1)求△ABC外接圆的半径；
(2)求a+c的取值范围．
21. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=4，E，F分别为BC，PD的中点．
(1)证明：EF//平面PAB；
(2)证明：平面PAE⊥平面PDE；
(3)若PA与平面PED所成角的正切值为 2，求点C到平面PDE的距离．
22. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，AB=2，AC= 11，cos∠BAC=5 1122，D为BC的中点，E为AB边上的动点(不含端点)，AD与CE交于点O，AE=xAB．
(1)若x=14，求COCE的值；
(2)求AO⋅CE的最小值，并指出取到最小值时x的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为A∩B={−1,3,4}，所以A∩B的子集个数为23=8．
故选：C．
求出集合A∩B，利用子集个数公式可求得结果．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：z=i2−i=i(2+i)(2−i)(2+i)=−15+25i，
则z−=−15−25i，
故共轭复数z在复平面上对应的点(−15,−25)位于第三象限．
故选：C．
根据已知条件，先求出z，再结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为∠ABC=75°，∠ACB=60°，
所以∠BAC=180°−(75°+60°)=45°，
由正弦定理知，|BC|sin∠BAC=|AB|sin∠ACB，
所以|AB|=10×sin60°sin45∘=5 6米．
故选：D．
结合三角形的内角和定理与正弦定理，即可得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由于向量a=(m,1)，b=(−1,3)，则a−b=(m+1,−2)，
当a⊥(a−b)时，m(m+1)−2=0，解得m=1或−2．
故“m=1”是“a⊥(a−b)”的充分不必要条件．
故选：A．
直接利用向量垂直和向量的坐标运算判断充分条件和必要条件．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量垂直的充要条件，充分条件和必要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为α∈(0,π)，
所以tanα2>0，
因为tanα=2 2=2tanα21−tan2α2，
则tanα2= 22(舍负)．
故选：C．
由已知结合二倍角的正切公式即可求解．
本题主要考查了二倍角的正切公式的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：事件A表示“第一枚正面朝上”，事件B表示“两枚硬币朝上的面相同”，
则事件A，事件B可以同时发生，不互斥，故AC错误；
P(A)=12，P(B)=12，P(AB)=14，
则P(AB)=P(A)P(B)，A与B相互独立，
综上所述，A与B不互斥但相互独立．
故选：B．
根据已知条件，结合互斥事件、对立事件的定义，以及相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．
本题主要考查互斥事件、对立事件的定义，以及相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：设圆台的底面半径为r1和r2，
由于上、下底面的面积之比为1：9，故r12r22=19，整理得r2=3r1，圆台的侧面积为π(r1+r2)l=4πr1l=16π，
整理得l=4r1，
圆台的截面面积为12Cl，C为周长，
故12CR=12(2r1+2r2+2l)R=4(r1+1r1)R，
代入梯形的面积公式可得S=(2r1+2r2)×2R=8r1R=4(r1+1r1)R，
解得r1=1，故r2=3；
所以l=4，2R= l2+(r2−r1)2=2 3，
故R= 3，
故S球=4⋅π⋅( 3)2=12π．
故选：A．
首先利用圆台和球的关系求出圆台的上下底的半径，进一步求出圆台的母线长，最后求出内切球的半径和球的表面积．
本题考查的知识要点：圆台和球的关系，球的表面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：根据题意，f(x)是定义在R上的偶函数，则f(−x)=f(x)，
又由对任意实数x满足f(x)=f(2−x)，则有f(2−x)=f(−x)，变形可得f(x+2)=f(x)，
则f(x)是周期为2的周期函数；
又由f(x)在[−2023,−2022]上单调递增，则f(x)在[−1,0]上也递增，
而f(x)为偶函数，则f(x)在[0,1]上递减，
a=f(20212)=f(1010+12)=f(12)，c=f(−14)=f(14)，
而12=log42
根据题意，先分析函数的周期性，结合f(x)的奇偶性可得f(x)在[0,1]上递减，由此可得a=f(20212)=f(1010+12)=f(12)，c=f(−14)=f(14)，结合对数的运算性质分析可得答案．
本题考查抽象函数的性质，涉及函数奇偶性和单调性的综合应用，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：函数f(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移π8个单位后，可得y=sin(2x+π4+φ)的图像，
根据得到一个偶函数的图像，
可得π4+φ=kπ+π2，k∈Z．
则φ的值可以为π4，也可以为−3π4，
故选：BC．
由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律，三角函数的图像的对称性，求得φ的值．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律，三角函数的图像的对称性，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：∵f(x)=ln|x|−1|x|的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且满足f(−x)=f(x)，
∴f(x)为偶函数，A正确；
又当x>0时，f(x)=lnx−1x，f′(x)=1x+1x2>0，
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增，①
又f(1)=−1<0，f(2)=ln2−12>ln e−12=0，
∴由①知，f(x)在区间(1,2)上存在唯一的零点，D正确，
又f(x)为偶函数，f(x)在(−∞,0)上单调递减，B错误，在(−2,−1)上存在一个零点，C错误．
故选：AD．
利用函数奇偶性的性质对四个选项逐一判断可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】
【分析】本题考查频率分布直方图的相关知识，考查了数形结合思想，属于基础题．
根据频率和为1，计算a的值，即可判断A；根据平均数公式，即可判断B；根据百分位数公式，即可判断C；计算销量在[200,300]内的频率，再结合分层抽样，即可判断D．
【解答】解：A.由频率分布直方图可知，50×0.002+50×0.003+50a+50×0.006+50×a+50×0.001，
得：a=0.004，故A正确；
B.(25×0.002+75×0.003+125×0.004+175×0.006+225×0.004+275×0.001)×50=150，故B错误；
C.设80%百分位数x，易得x∈[200,250)，
则50×0.002+50×0.003+50×0.004+50×0.006+(x−200)×0.004=0.8，
解得：x=212.5，故C正确；
D.则销量在[200,300]的频率为50×0.004+50×0.001=0.25
所以抽取的20家，则销量在[200,300]内的销售商为20×14=5家，故D正确．
故选：ACD．
12.【答案】ABD
【解析】解：如图，
连接BC1，∵E，F分别为BC，CC1的中点，∴EF//BC1，
∴∠A1C1B即为异面直线A1C1与EF所成的角，即等边三角形A1BC1的一个内角，等于60°，故A正确；
在平面BB1C1C中，∵EF//BC1，MC1∩BC1=C1，可知MC1与EF相交，
而MC1⊂平面A1MC1，EF⊂平面AEF，∴平面A1MC1与平面AEF相交，故B正确；
假设BD1⊥平面AEF，则BD1⊥EF，而EF//BC1，则BD1⊥BC1，
由正方体的结构特征可知，BC1⊥D1C1，这样，在平面ABC1D1中，
过一点D1有两条直线与BC1垂直，与平面内过直线外一点，
有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，故C错误；
取B1C1的中点G，连接MG，A1G，可知平面A1MG//平面AEF，则A1M//平面AEF，
∴P到平面AEF的距离相等，则三棱锥F−APE的体积VF−APE=VP−AEF为定值，故D正确．
故选：ABD．
求出异面直线所成角判断A；找出两平面的一个交点判断B；利用反证法思想判断C；利用等体积法判断D．
本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查异面直线所成角的求法，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．
13.【答案】9
【解析】解：a+b=(a+b)(1a+4b)=5+ba+4ab≥5+4=9，
当且仅当b=2a时，取得最小值9．
故答案为：9
运用均值不等式将1换成1a+4b，a+b=(a+b)(1a+4b)进行计算即可
此题是均值不等式的运用，学生要熟练掌握(a+b)×1=(a+b)的用法，然后将1=1a+4b进行反用，是均值运用的常用方法！
14.【答案】−8
【解析】解：由于平面向量a，b满足：|b|=2，a在b上的投影向量为−2b，
故：a在b上的投影向量|a|cos⋅b|b|=a⋅b|b|⋅b|b|=−2b，
解得：a⋅b=−8．
故答案为：−8．
直接利用向量的夹角运算和数量积运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的夹角运算，向量的数量积，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
15.【答案】43
【解析】解：因为S△ABD+S△ADC=S△ABC，
所以12×AB×ADsin∠BAD+12×AD×AC×sin∠DAC=12×AB×AC×∠BAC，
即12×2×AD× 32+12×4×AD× 32=12×2×4× 32，
解得AD=43．
故答案为：43．
利用S△ABD+S△ADC=S△ABC，即可求解．
本题考查了三角形角平分线的性质、三角形面积求解，属于中档题．
16.【答案】30°
【解析】解：如图所示，在正四棱锥S−ABCD中，O为正方形ABCD的中心，SH⊥AB，
设四棱锥的底面正方形的边长为2a，侧面与底面所成锐二面角为θ，则∠OHS=θ，
所以四棱锥的高OS=OHtanθ=atanθ，
在Rt△AOS中，SA2=OS2+OA2，所以(4 21)2=(atanθ)2+( 2a)2，
因为这个四棱锥的体积为768 3立方米，
所以13⋅(2a)2⋅atanθ=768 3，
解得a=12，θ=30°，
所以该四棱锥的侧面与底面所成锐二面角的大小为30°．
故答案为：30°．
设四棱锥的底面正方形的边长为2a，侧面与底面所成锐二面角为θ，结合勾股定理与棱锥的体积公式，可构造关于a和θ的方程组，解之即可．
本题考查二面角的求法，熟练掌握四棱锥的结构特征，理解二面角的定义是解题的关键，考查空间立体感，运算能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)原式=tanα⋅(−cosα)(−sinα)cosα⋅(−tanα)=−sinα；
(2)原式=(94)32−1−12+3lg22lg3⋅lg32lg2=32−32+34=34．
【解析】(1)结合诱导公式进行化简即可求解；
(2)根据指数及对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了诱导公式的应用，还考查了指数及对数的运算性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)若小王仅选一个选项，
则在四个选项中得分的选项有A，B，C，
则仅选一个选项时能得分的概率P=34，
(2)若小王随机选择若干个选项，且最少选一个选项，最多选三个选项，
此时共有A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD这14种情况，
其中能得分的有A，B，C，AB，AC，BC，ABC这7种情况，
则小王能得分的概率P=714=12．
【解析】(1)由题意，根据古典概型相关知识进行求解即可；
(2)分别求出样本空间和能得分的情况，列出等式即可求解．
本题考查古典概型及其概率计算公式，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由题意可得f(x)=a⋅b−32= 3sinxcosx+3cos2x−32= 32sin2x+3×1+cos2x2−32，
整理得到f(x)的解析式为f(x)= 32sin2x+32cos2x= 3sin(2x+π3)，
令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，
解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，
单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z．
(2)因为x∈[−π4,π4]，所以得到2x+π3∈[−π6,5π6]，
所以sin(2x+π3)∈[−12,1]，
故f(x)的值域为[− 32, 3]．
【解析】(1)根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得f(x)= 3sin(2x+π3)，然后根据正弦函数的单调性即得；
(2)根据角的范围结合三角函数的性质即得．
本题主要考查三角恒等变换和三角函数，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由 3(a−bcosC)=csinB及正弦定理得， 3sinA− 3sinBcosC=sinCsinB，
因为sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，
所以 3cosBsinC=sinCsinB，
又sinC>0，所以 3cosB=sinB，所以tanB= 3，即B=π3，
由正弦定理得，bsinB=2 3 32=4=2R，所以R=2，
故△ABC外接圆的半径为2．
(2)由余弦定理得，b2=a2+c2−2accosB=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac，
因为ac≤(a+c)24，所以b2=(a+c)2−3ac≥(a+c)2−34(a+c)2=14(a+c)2，即b≥a+c2，当且仅当a=c=2 3时，等号成立，
所以a+c≤4 3，
又a+c>b=2 3，
所以a+c∈(2 3,4 3]．
【解析】(1)利用正弦定理化边为角，并结合诱导公式与两角和的正弦公式，推出B=π3，再由正弦定理，得解；
(2)结合余弦定理与基本不等式，可得a+c≤4 3，再根据“三角形的两边之和大于第三边”，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正余弦定理，两角和的正弦公式，基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】证明：(1)取PA的中点M，连接MF，BM，
因为E，F分别为BC，PD的中点，
则MF//12AD且MF=12AD，BE//12AD且BE=12AD，
所以MF//BE且MF=BE，
所以四边形BEFM为平行四边形，
即EF//BM且EF⊄平面PAB，BM⊂平面PAB，
所以EF//平面PAB．
(2)因为AB=BE=2，∠ABE=90°，
所以△ABE为等腰直角三角形，所以∠AEB=90°，
同理∠DEC=45°，所以∠AED=90°，
即DE⊥AE，且PA⊥平面ABCD，
因为DE⊂平面ABCD，所以DE⊥PA，
又PA∩AE=A，PA，AE⊂平面PAE，所以DE⊥平面PAE，
因为DE⊂平面PED，所以平面PAE⊥平面PED，
解：(3)因为平面PAE⊥平面PED，其交线为PE，
作AH⊥PE于点H，因为AH⊂平面PAE，则AH⊥平面PED，
所以PA与平面PED所成的角就是∠APE，所以tan∠APE= 2，
因为AE=2 2，所以PA=2，
设点C到平面PED的距离为d，
由VP−CED=VC−PED，知13S△CED⋅PA=13S△PED⋅d①，
S△CED=2，因为PE=2 3，DE=2 2，PE⊥DE，
所以S△PED=12×2 3×2 2=2 6，
代入①式得2×2=2 6×d，得d= 63，
即点C到平面PED的距离为 63．
【解析】(1)取PA的中点M，连接MF，BM，由中点和矩形性质可以得出MF//BE且MF=BE，得到四边形BEFM为平行四边形，从而证明出EF//平面PAB；
(2)由已知条件可得出∠AEB=45°，∠DEC=45°，从而得到∠AED=90°，又由PA⊥平面ABCD，得到DE⊥PA，根据线面垂直的判定得出DE⊥平面PAE，再由面面垂直的判定证明出结果；
(3)由(2)可知平面PAE⊥平面PDE，作AH⊥PE，得出∠APE为PA与平面PED所成的角，由已知可计算得出PA，PE长，再利用三棱锥等体积法VP−CED=VC−PED，即可得出点C到平面PDE的距离．
本题主要考查面面垂直的判定定理和点到平面的距离，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为D为BC的中点，E为AB边上的动点(不含端点)，AD与CE交于点O，
所以不妨设CO=λCE，
根据向量的线性运算得到CE=CA+AE=CA+14AB=CA+14(CB−CA)，
整理得到CE=34CA+14CB，
将CO=λCE代入上式得到得到CO=34λCA+14λCB=34λCA+12λCD，
又根据题意可知A，O，D三点共线，
根据平面向量的基本定理可以得到34λ+12λ=1，
进而解得解得λ=45，
即CO=45CE−，
故COOE=4．
(2)根据题意设AO=μAD(0<μ<1)，
整理得到AO=μ2(AB+AC)=μ2⋅1xAE+μ2AC，
又根据题意可知E，O，C三点共线，
所以根据平面向量的基本定理得到μ2⋅1x+μ2=1，
整理得到μ=2xx+1，
则AO=xx+1(AB+AC)，AO=xx+1(AB+AC),CE=AE−AC=xAB−AC，
所以得到AB⋅AC=2× 11×5 1122=5，
AO⋅CE=x2x+1AB2−xx+1AC2+x2−xx+1AB⋅AC=4x2x+1−11xx+1+5(x2−x)x+1=9x2−16xx+1①，
利用换元法，令x+1=t(1
当且仅当t=53，x=23时取等号．
所以当x=23时，AO⋅CE的最小值为−4．
【解析】(1)设CO=λCE，根据向量的运算得到CE=34CA+14CB，CO=34λCA+12λCD，因为A，O，D三点共线，所以34λ+12λ=1，解得λ，即可得到答案；
(2)设AO=μAD(0<μ<1)，因为E，O，C三点共线，得μ=2xx+1，根据题意得到AO⋅CE=9x2−16xx+1，设x+1=t(1
2022-2023学年湖南省益阳市桃江县高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={x|−5
2. 设复数z=i2−i，则其共轭复数z在复平面上对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 如图，A，B两点在河流的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得B，C两点间的距离为10米，∠ABC=75°，∠ACB=60°，则|AB|=( )
A. 5 2米
B. 5 3米
C. 5 5米
D. 5 6米
4. 若向量a=(m,1)，b=(−1,3)，则“m=1”是“a⊥(a−b)”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知α∈(0,π)，且tanα=2 2，则tanα2=( )
A. 24 B. 2 C. 22 D. 2 23
6. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A表示“第一枚正面朝上”，事件B表示“两枚硬币朝上的面相同”，则A与B( )
A. 是互斥事件也是相互独立事件 B. 不互斥但相互独立
C. 是对立事件 D. 既不互斥也不相互独立
7. 已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台的侧面积为16π，上、下底面的面积之比为1：9，则球的表面积为( )
A. 12π B. 14π C. 16π D. 18π
8. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意实数x满足f(x)=f(2−x)，且f(x)在[−2023,−2022]上单调递增，设a=f(20212)，b=f(log43)，c=f(−14)，则a，b，c的大小关系是( )
A. c
9. 函数f(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移π8个单位后得到一个偶函数的图像，则φ的值可以为( )
A. 0 B. π4 C. −3π4 D. −π4
10. 关于函数f(x)=ln|x|−1|x|，下列说法正确的是( )
A. f(x)为偶函数 B. f(x)在其定义域上单调递增
C. f(x)有且仅有一个零点 D. f(x)在区间(1,2)上存在唯一的零点
11. 如图是某汽车公司100家销售商2022年新能源汽车销售数据频率分布直方图(单位：辆)，则( )
A. a的值为0.004
B. 估计这100家销售商新能源汽车销量的平均数为135
C. 估计这100家销售商新能源汽车销量的80%分位数为212.5
D. 若按分层抽样原则从这100家销售商抽取20家，则销售在[200,300]内的销售商应抽取5家
12. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，M分别为BC，CC1，BB1的中点，P为线段A1M上的动点，则下列说法正确是( )
A. 异面直线A1C1与EF所成的角为60° B. 平面A1MC1与平面AEF相交
C. BD1⊥平面AEF D. 三棱锥F−APE的体积为定值
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若a>0，b>0，且1a+4b=1，则a+b的最小值是______．
14. 已知平面向量a，b满足：|b|=2，a在b上的投影向量为−2b，则a⋅b= ______ ．
15. 如图，在△ABC中，AD是角A的平分线，AB=2，AC=4，∠BAC=2π3，则AD= ______ ．
16. 中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.若该四棱锥的侧棱长为4 21米，且这个四棱锥的体积为768 3立方米，则该四棱锥的侧面与底面所成锐二面角的大小为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
(1)化简：tan(π+α)cos(π−α)sin(2023π+α)sin(π2+α)tan(−α)；
(2)计算：(214)12−π0−eln0.5+log98⋅log43．
18. (本小题12.0分)
在某次数学考试中，对多项选择题的要求是：在四个选项中，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.已知多项选择第12题的正确答案是ABC，且小王不会做该题，只能随机的选择．
(1)若小王仅选一个选项，求他能得分的概率；
(2)若小王随机选择若干个选项，且最少选一个选项，最多选三个选项，求他能得分的概率．
19. (本小题12.0分)
已知向量a=( 3sinx,cosx)，b=(cosx,3cosx)，函数f(x)=a⋅b−32．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间[−π4,π4]上的值域．
20. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 3(a−bcosC)=csinB，b=2 3．
(1)求△ABC外接圆的半径；
(2)求a+c的取值范围．
21. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=4，E，F分别为BC，PD的中点．
(1)证明：EF//平面PAB；
(2)证明：平面PAE⊥平面PDE；
(3)若PA与平面PED所成角的正切值为 2，求点C到平面PDE的距离．
22. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，AB=2，AC= 11，cos∠BAC=5 1122，D为BC的中点，E为AB边上的动点(不含端点)，AD与CE交于点O，AE=xAB．
(1)若x=14，求COCE的值；
(2)求AO⋅CE的最小值，并指出取到最小值时x的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为A∩B={−1,3,4}，所以A∩B的子集个数为23=8．
故选：C．
求出集合A∩B，利用子集个数公式可求得结果．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：z=i2−i=i(2+i)(2−i)(2+i)=−15+25i，
则z−=−15−25i，
故共轭复数z在复平面上对应的点(−15,−25)位于第三象限．
故选：C．
根据已知条件，先求出z，再结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为∠ABC=75°，∠ACB=60°，
所以∠BAC=180°−(75°+60°)=45°，
由正弦定理知，|BC|sin∠BAC=|AB|sin∠ACB，
所以|AB|=10×sin60°sin45∘=5 6米．
故选：D．
结合三角形的内角和定理与正弦定理，即可得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由于向量a=(m,1)，b=(−1,3)，则a−b=(m+1,−2)，
当a⊥(a−b)时，m(m+1)−2=0，解得m=1或−2．
故“m=1”是“a⊥(a−b)”的充分不必要条件．
故选：A．
直接利用向量垂直和向量的坐标运算判断充分条件和必要条件．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量垂直的充要条件，充分条件和必要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为α∈(0,π)，
所以tanα2>0，
因为tanα=2 2=2tanα21−tan2α2，
则tanα2= 22(舍负)．
故选：C．
由已知结合二倍角的正切公式即可求解．
本题主要考查了二倍角的正切公式的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：事件A表示“第一枚正面朝上”，事件B表示“两枚硬币朝上的面相同”，
则事件A，事件B可以同时发生，不互斥，故AC错误；
P(A)=12，P(B)=12，P(AB)=14，
则P(AB)=P(A)P(B)，A与B相互独立，
综上所述，A与B不互斥但相互独立．
故选：B．
根据已知条件，结合互斥事件、对立事件的定义，以及相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．
本题主要考查互斥事件、对立事件的定义，以及相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：设圆台的底面半径为r1和r2，
由于上、下底面的面积之比为1：9，故r12r22=19，整理得r2=3r1，圆台的侧面积为π(r1+r2)l=4πr1l=16π，
整理得l=4r1，
圆台的截面面积为12Cl，C为周长，
故12CR=12(2r1+2r2+2l)R=4(r1+1r1)R，
代入梯形的面积公式可得S=(2r1+2r2)×2R=8r1R=4(r1+1r1)R，
解得r1=1，故r2=3；
所以l=4，2R= l2+(r2−r1)2=2 3，
故R= 3，
故S球=4⋅π⋅( 3)2=12π．
故选：A．
首先利用圆台和球的关系求出圆台的上下底的半径，进一步求出圆台的母线长，最后求出内切球的半径和球的表面积．
本题考查的知识要点：圆台和球的关系，球的表面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：根据题意，f(x)是定义在R上的偶函数，则f(−x)=f(x)，
又由对任意实数x满足f(x)=f(2−x)，则有f(2−x)=f(−x)，变形可得f(x+2)=f(x)，
则f(x)是周期为2的周期函数；
又由f(x)在[−2023,−2022]上单调递增，则f(x)在[−1,0]上也递增，
而f(x)为偶函数，则f(x)在[0,1]上递减，
a=f(20212)=f(1010+12)=f(12)，c=f(−14)=f(14)，
而12=log42
根据题意，先分析函数的周期性，结合f(x)的奇偶性可得f(x)在[0,1]上递减，由此可得a=f(20212)=f(1010+12)=f(12)，c=f(−14)=f(14)，结合对数的运算性质分析可得答案．
本题考查抽象函数的性质，涉及函数奇偶性和单调性的综合应用，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：函数f(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移π8个单位后，可得y=sin(2x+π4+φ)的图像，
根据得到一个偶函数的图像，
可得π4+φ=kπ+π2，k∈Z．
则φ的值可以为π4，也可以为−3π4，
故选：BC．
由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律，三角函数的图像的对称性，求得φ的值．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律，三角函数的图像的对称性，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：∵f(x)=ln|x|−1|x|的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且满足f(−x)=f(x)，
∴f(x)为偶函数，A正确；
又当x>0时，f(x)=lnx−1x，f′(x)=1x+1x2>0，
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增，①
又f(1)=−1<0，f(2)=ln2−12>ln e−12=0，
∴由①知，f(x)在区间(1,2)上存在唯一的零点，D正确，
又f(x)为偶函数，f(x)在(−∞,0)上单调递减，B错误，在(−2,−1)上存在一个零点，C错误．
故选：AD．
利用函数奇偶性的性质对四个选项逐一判断可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】
【分析】本题考查频率分布直方图的相关知识，考查了数形结合思想，属于基础题．
根据频率和为1，计算a的值，即可判断A；根据平均数公式，即可判断B；根据百分位数公式，即可判断C；计算销量在[200,300]内的频率，再结合分层抽样，即可判断D．
【解答】解：A.由频率分布直方图可知，50×0.002+50×0.003+50a+50×0.006+50×a+50×0.001，
得：a=0.004，故A正确；
B.(25×0.002+75×0.003+125×0.004+175×0.006+225×0.004+275×0.001)×50=150，故B错误；
C.设80%百分位数x，易得x∈[200,250)，
则50×0.002+50×0.003+50×0.004+50×0.006+(x−200)×0.004=0.8，
解得：x=212.5，故C正确；
D.则销量在[200,300]的频率为50×0.004+50×0.001=0.25
所以抽取的20家，则销量在[200,300]内的销售商为20×14=5家，故D正确．
故选：ACD．
12.【答案】ABD
【解析】解：如图，
连接BC1，∵E，F分别为BC，CC1的中点，∴EF//BC1，
∴∠A1C1B即为异面直线A1C1与EF所成的角，即等边三角形A1BC1的一个内角，等于60°，故A正确；
在平面BB1C1C中，∵EF//BC1，MC1∩BC1=C1，可知MC1与EF相交，
而MC1⊂平面A1MC1，EF⊂平面AEF，∴平面A1MC1与平面AEF相交，故B正确；
假设BD1⊥平面AEF，则BD1⊥EF，而EF//BC1，则BD1⊥BC1，
由正方体的结构特征可知，BC1⊥D1C1，这样，在平面ABC1D1中，
过一点D1有两条直线与BC1垂直，与平面内过直线外一点，
有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，故C错误；
取B1C1的中点G，连接MG，A1G，可知平面A1MG//平面AEF，则A1M//平面AEF，
∴P到平面AEF的距离相等，则三棱锥F−APE的体积VF−APE=VP−AEF为定值，故D正确．
故选：ABD．
求出异面直线所成角判断A；找出两平面的一个交点判断B；利用反证法思想判断C；利用等体积法判断D．
本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查异面直线所成角的求法，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．
13.【答案】9
【解析】解：a+b=(a+b)(1a+4b)=5+ba+4ab≥5+4=9，
当且仅当b=2a时，取得最小值9．
故答案为：9
运用均值不等式将1换成1a+4b，a+b=(a+b)(1a+4b)进行计算即可
此题是均值不等式的运用，学生要熟练掌握(a+b)×1=(a+b)的用法，然后将1=1a+4b进行反用，是均值运用的常用方法！
14.【答案】−8
【解析】解：由于平面向量a，b满足：|b|=2，a在b上的投影向量为−2b，
故：a在b上的投影向量|a|cos
解得：a⋅b=−8．
故答案为：−8．
直接利用向量的夹角运算和数量积运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的夹角运算，向量的数量积，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
15.【答案】43
【解析】解：因为S△ABD+S△ADC=S△ABC，
所以12×AB×ADsin∠BAD+12×AD×AC×sin∠DAC=12×AB×AC×∠BAC，
即12×2×AD× 32+12×4×AD× 32=12×2×4× 32，
解得AD=43．
故答案为：43．
利用S△ABD+S△ADC=S△ABC，即可求解．
本题考查了三角形角平分线的性质、三角形面积求解，属于中档题．
16.【答案】30°
【解析】解：如图所示，在正四棱锥S−ABCD中，O为正方形ABCD的中心，SH⊥AB，
设四棱锥的底面正方形的边长为2a，侧面与底面所成锐二面角为θ，则∠OHS=θ，
所以四棱锥的高OS=OHtanθ=atanθ，
在Rt△AOS中，SA2=OS2+OA2，所以(4 21)2=(atanθ)2+( 2a)2，
因为这个四棱锥的体积为768 3立方米，
所以13⋅(2a)2⋅atanθ=768 3，
解得a=12，θ=30°，
所以该四棱锥的侧面与底面所成锐二面角的大小为30°．
故答案为：30°．
设四棱锥的底面正方形的边长为2a，侧面与底面所成锐二面角为θ，结合勾股定理与棱锥的体积公式，可构造关于a和θ的方程组，解之即可．
本题考查二面角的求法，熟练掌握四棱锥的结构特征，理解二面角的定义是解题的关键，考查空间立体感，运算能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)原式=tanα⋅(−cosα)(−sinα)cosα⋅(−tanα)=−sinα；
(2)原式=(94)32−1−12+3lg22lg3⋅lg32lg2=32−32+34=34．
【解析】(1)结合诱导公式进行化简即可求解；
(2)根据指数及对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了诱导公式的应用，还考查了指数及对数的运算性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)若小王仅选一个选项，
则在四个选项中得分的选项有A，B，C，
则仅选一个选项时能得分的概率P=34，
(2)若小王随机选择若干个选项，且最少选一个选项，最多选三个选项，
此时共有A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD这14种情况，
其中能得分的有A，B，C，AB，AC，BC，ABC这7种情况，
则小王能得分的概率P=714=12．
【解析】(1)由题意，根据古典概型相关知识进行求解即可；
(2)分别求出样本空间和能得分的情况，列出等式即可求解．
本题考查古典概型及其概率计算公式，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由题意可得f(x)=a⋅b−32= 3sinxcosx+3cos2x−32= 32sin2x+3×1+cos2x2−32，
整理得到f(x)的解析式为f(x)= 32sin2x+32cos2x= 3sin(2x+π3)，
令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，
解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，
单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z．
(2)因为x∈[−π4,π4]，所以得到2x+π3∈[−π6,5π6]，
所以sin(2x+π3)∈[−12,1]，
故f(x)的值域为[− 32, 3]．
【解析】(1)根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得f(x)= 3sin(2x+π3)，然后根据正弦函数的单调性即得；
(2)根据角的范围结合三角函数的性质即得．
本题主要考查三角恒等变换和三角函数，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由 3(a−bcosC)=csinB及正弦定理得， 3sinA− 3sinBcosC=sinCsinB，
因为sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，
所以 3cosBsinC=sinCsinB，
又sinC>0，所以 3cosB=sinB，所以tanB= 3，即B=π3，
由正弦定理得，bsinB=2 3 32=4=2R，所以R=2，
故△ABC外接圆的半径为2．
(2)由余弦定理得，b2=a2+c2−2accosB=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac，
因为ac≤(a+c)24，所以b2=(a+c)2−3ac≥(a+c)2−34(a+c)2=14(a+c)2，即b≥a+c2，当且仅当a=c=2 3时，等号成立，
所以a+c≤4 3，
又a+c>b=2 3，
所以a+c∈(2 3,4 3]．
【解析】(1)利用正弦定理化边为角，并结合诱导公式与两角和的正弦公式，推出B=π3，再由正弦定理，得解；
(2)结合余弦定理与基本不等式，可得a+c≤4 3，再根据“三角形的两边之和大于第三边”，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正余弦定理，两角和的正弦公式，基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】证明：(1)取PA的中点M，连接MF，BM，
因为E，F分别为BC，PD的中点，
则MF//12AD且MF=12AD，BE//12AD且BE=12AD，
所以MF//BE且MF=BE，
所以四边形BEFM为平行四边形，
即EF//BM且EF⊄平面PAB，BM⊂平面PAB，
所以EF//平面PAB．
(2)因为AB=BE=2，∠ABE=90°，
所以△ABE为等腰直角三角形，所以∠AEB=90°，
同理∠DEC=45°，所以∠AED=90°，
即DE⊥AE，且PA⊥平面ABCD，
因为DE⊂平面ABCD，所以DE⊥PA，
又PA∩AE=A，PA，AE⊂平面PAE，所以DE⊥平面PAE，
因为DE⊂平面PED，所以平面PAE⊥平面PED，
解：(3)因为平面PAE⊥平面PED，其交线为PE，
作AH⊥PE于点H，因为AH⊂平面PAE，则AH⊥平面PED，
所以PA与平面PED所成的角就是∠APE，所以tan∠APE= 2，
因为AE=2 2，所以PA=2，
设点C到平面PED的距离为d，
由VP−CED=VC−PED，知13S△CED⋅PA=13S△PED⋅d①，
S△CED=2，因为PE=2 3，DE=2 2，PE⊥DE，
所以S△PED=12×2 3×2 2=2 6，
代入①式得2×2=2 6×d，得d= 63，
即点C到平面PED的距离为 63．
【解析】(1)取PA的中点M，连接MF，BM，由中点和矩形性质可以得出MF//BE且MF=BE，得到四边形BEFM为平行四边形，从而证明出EF//平面PAB；
(2)由已知条件可得出∠AEB=45°，∠DEC=45°，从而得到∠AED=90°，又由PA⊥平面ABCD，得到DE⊥PA，根据线面垂直的判定得出DE⊥平面PAE，再由面面垂直的判定证明出结果；
(3)由(2)可知平面PAE⊥平面PDE，作AH⊥PE，得出∠APE为PA与平面PED所成的角，由已知可计算得出PA，PE长，再利用三棱锥等体积法VP−CED=VC−PED，即可得出点C到平面PDE的距离．
本题主要考查面面垂直的判定定理和点到平面的距离，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为D为BC的中点，E为AB边上的动点(不含端点)，AD与CE交于点O，
所以不妨设CO=λCE，
根据向量的线性运算得到CE=CA+AE=CA+14AB=CA+14(CB−CA)，
整理得到CE=34CA+14CB，
将CO=λCE代入上式得到得到CO=34λCA+14λCB=34λCA+12λCD，
又根据题意可知A，O，D三点共线，
根据平面向量的基本定理可以得到34λ+12λ=1，
进而解得解得λ=45，
即CO=45CE−，
故COOE=4．
(2)根据题意设AO=μAD(0<μ<1)，
整理得到AO=μ2(AB+AC)=μ2⋅1xAE+μ2AC，
又根据题意可知E，O，C三点共线，
所以根据平面向量的基本定理得到μ2⋅1x+μ2=1，
整理得到μ=2xx+1，
则AO=xx+1(AB+AC)，AO=xx+1(AB+AC),CE=AE−AC=xAB−AC，
所以得到AB⋅AC=2× 11×5 1122=5，
AO⋅CE=x2x+1AB2−xx+1AC2+x2−xx+1AB⋅AC=4x2x+1−11xx+1+5(x2−x)x+1=9x2−16xx+1①，
利用换元法，令x+1=t(1
当且仅当t=53，x=23时取等号．
所以当x=23时，AO⋅CE的最小值为−4．
【解析】(1)设CO=λCE，根据向量的运算得到CE=34CA+14CB，CO=34λCA+12λCD，因为A，O，D三点共线，所以34λ+12λ=1，解得λ，即可得到答案；
(2)设AO=μAD(0<μ<1)，因为E，O，C三点共线，得μ=2xx+1，根据题意得到AO⋅CE=9x2−16xx+1，设x+1=t(1
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