2022-2023学年湖南省岳阳市平江县高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省岳阳市平江县高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  棱长为的正方体的外接球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  甲、乙、丙三人排队，甲排在末位的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知复数，若，则复数在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5.  在高三某次模拟考试中，甲、乙两个班级的数学成绩统计如下表：

则两个班所有学生的数学成绩的方差为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是(    )

A. ，，则
B. ，，，，则
C. ，，，则
D. ，，，则

7.  著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是，一年后是；而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是，一年后是可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是，要使“进步”是“落后”的倍，大约需要经过(    )

A. 天 B. 天 C. 天 D. 天

8.  已知是内的一点，且，，，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，，，，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为或”，事件为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是(    )

A. 事件发生的概率为 B. 事件与事件互斥
C. 事件发生的概率为 D. 事件与事件相互独立

10.  已知复数，，则(    )

A.  B. 若，则的最大值为
C.  D. 是纯虚数

11.  已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是(    )

A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在单调递减
D. 该图象向右平移个单位可得的图象
 

12.  如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是(    )

A. 在棱上存在点，使平面
B. 异面直线与所成的角为
C. 二面角的大小为
D. 平面
 

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是        ．

14.  某轨道交通号线在个车站上车人数统计如下：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数与第百分位数的和为______ ．

15.  如图，为了测量某湿地，两点间的距离，观察者找到在同一条直线上的三点，，从点测得，从点测得，，从点测得，若测得，单位：百米，则，两点间的距离为______．

16.  传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图是一个圆柱容球，、为圆柱两个底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则
平面截得球的截面面积最小值为______ ；
若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
某工厂为了保障安全生产，举行技能测试，甲、乙、丙名技术工人组成一队参加技能测试，甲通过测试的概率是，乙通过测试的概率为，丙通过测试的概率为，假定甲、乙、丙人是否通过测试相互之间没有影响．
Ⅰ求甲、乙、丙名工人都通过测试的概率；
Ⅱ求甲、乙、丙人中恰有人通过测试的概率．

18.  本小题分
已知平面向量、，其中若，且，求向量的坐标表示；
已知平面向量、满足，，与的夹角为，且，求的值．

19.  本小题分
如图，已知平面，，，，，，点和分别为和的中点．
求证：平面；
求证：平面；
求直线与平面所成角的大小．

20.  本小题分
“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌”天宫课堂”是结合载人飞行任务，贯穿中国空间站建造和在轨运营系列化推出的，将由中国航天员担任“太空教师”，以青少年为主要对象，采取天地协同互动方式开展年月日时分，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲学校针对这次直播课，举办了”天宫课堂”知识竞赛，有名学生代表参加了竞赛，竞赛后对这名学生的成绩进行统计，将数据分为，，，这组，画出如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；
估计这名学生竞赛成绩的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表；
若该校准备对本次知识竞赛成绩较好的的学生进行嘉奖，试问被嘉奖的学生的分数不低于多少？

21.  本小题分
在中，角，，所对的边分别，，，且．
求角的值；
已知在边上，且，，求的面积的最大值．

22.  本小题分
已知函数，，，．
若函数在上是减函数，求实数的取值范围；
设，若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围；
是否存在整数，，使得的解集恰好是，若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，，
．
故选：．
求出集合，利用交集定义能求出．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为，
则，故，
所以．
故选：．
根据正方体与其外接球之间的关系，求出外接球的半径，即可得出球的表面积．
本题主要考查正方体外接球表面积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：甲、乙、丙三人排队，有甲，乙，丙、甲，丙，乙，乙，丙，甲，乙，甲，丙，丙，甲，乙，丙，乙，甲，共个基本事件；
其中甲排在末位的有：乙，丙，甲，丙，乙，甲，共个基本事件；
甲排在末位的概率．
故选：．
列举出所有基本事件，并确定满足题意的基本事件，根据古典概型概率公式可求得结果．
本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，即，
又，因此，解得，
则，
所以在复平面内对应的点位于第四象限．
故选：．
根据给定条件，求出值，即可求出复数对应点的坐标作答．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，复数的几何意义，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：两个班级总的平均数为，
则两个班所有学生的数学成绩的方差为．
故选：．
根据已知条件，结合平均数和方差公式，即可求解．
本题主要考查平均数和方差公式，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：对于，，，或，A错误；
对于，，，，，或，相交，B错误；
对于，，，，无法得到，C错误；
对于，，，，又，，D正确．
故选：．
根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，性质定理、线面垂直的性质定理判断即可．
本题考查空间中线线平行、线面平行、面面平行的位置关系，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：经过天后，“进步”与“落后”的比，，
两边取以为底的对数得，即，
解得，
所以大于经过天后，“进步”是“落后”的倍．
故选：．
根据题意得，根据对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数不等式的解法，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
设，，
则，
由柯西不等式可得，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值是．
故选：．
根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，以及三角形面积公式，可得，再根据三角形之间的面积关系和柯西不等式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，掌握柯西不等式是解本题的关键，属于难题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，由题意可知，故A选项正确．
对于，若两次投掷向下的数字都为，，则事件，同时发生，所以与不互斥，故B选项错误．
对于，事件表示：“第一次向下的数字为或，且两次向下的数字之和为奇数”，包含的事件为：，，，，共种，所以事件发生的概率为，故C选项错误；
对于，事件表示：“第一次向下的数字为或，且两次向下的数字之和为偶数”，包含的事件为：，，，，共种，所以事件发生的概率为．
事件包含的事件为，，，，，，，，共种，所以，
所以，即事件与事件相互独立，故D选项正确．
故选：．
结合古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识对选项进行分析，从而确定正确选项．
本题考查古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件，难度不大，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于：复数，，
，，
又，
，A正确；
对于：设，，，
则，
即，且，
，
即的最大值为，B正确；
对于：，故C错误；
对于：，不是纯虚数，D错误．
故选：．
对于：分别求出来判断；
对于：设，，，通过条件求出，关系，代入中求最值；
对于：求出来判断；
对于：求出，结合纯虚数的定义判断即可．
本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由图象可得的最大值为，即，，即，
所以，
因为，所以，
所以，因为，所以，
所以，
对于，因为，所以函数的图象关于点对称，故A正确；
对于，因为，故B错误；
对于，当时，，
所以函数在上不单调，故C错误；
对于，该图象向右平移个单位可得的图象，故D正确．
故选：．
根据图象求出的解析式，然后根据正弦函数的知识判断，根据图象的平移变换可判断．
本题主要考查由的部分图象确定其解析式，三角函数的图象和性质，三角函数的平移变换，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】

如图所示，取的中点，连接，，连接对角线，相交于点利用正三角形、菱形的性质、线面垂直的判定定理可得：平面．
B.由可得：平面，可得，即可得出异面直线与所成的角．
C.由，可得平面，进而得出是二面角的平面角，利用的边角关系即可得出．
D.由于与不垂直，即可判断出结论．
本题考查了正三角形、菱形的性质、线面垂直的判定与性质定理、异面直线所成的角、二面角的平面角、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

【解答】

解：如图所示，取的中点，连接，，连接对角线，相交于点．
侧面为正三角形，．
又底面为菱形，，是等边三角形．
，
又，、平面，
平面，因此A正确．

B.由可得：平面，又平面，
，异面直线与所成的角为，正确．
C.平面平面，，
平面，又、平面，
，．
是二面角的平面角，设，则，
在中，，，因此正确．
D.与不垂直，与平面不垂直，因此D错误．
故选：．

13.【答案】 

【解析】解：根据题意可知，但推不出，
故是的真子集，
故，
故答案为：．
根据题意得到与的包含关系，从而得到答案．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：将数据从小到大排序：，，，，，，，，，，
因为，所以第百分位数是第项与第项的平均数，即；
因为，所以第百分位数是第项，即；
则这组数据的第百分位数与第百分位数的和为：．
故答案为：．
将数据从小到大排序，分别求出这组数据第百分位数与第百分位数，即可得出答案．
本题考查百分位数的计算，是基础题．
 

15.【答案】百米 

【解析】解：根据题意，在中，，，，
则，则，
在中，，，，
则，
则有，变形可得，
在中，，，，
则，
则；
故答案为：百米．
根据题意，在中，分析角边关系可得，在中，由正弦定理可得的值，据此在中，利用余弦定理分析可得答案．
本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦、余弦定理的应用，属于基础题．
 

16.【答案】   

【解析】解：过作于，则由题可得，

设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为，
则，
所以平面截得球的截面面积最小值为；
由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面的射影为，
则，
设，则，
所以．
所以．
故答案为：；
由题可得到平面的距离为，进而可得平面截得球的截面面积最小值；
设在底面的射影为，设，，然后利用二次函数的性质可得的取值范围．
本题考查圆柱与球的表面积和体积，考査逻辑推理能力，是一道难题．
 

17.【答案】解：Ⅰ设甲、乙、丙人通过测试分别为事件，，，
则，，，
甲、乙、丙名工人都通过测试的概率．
Ⅱ甲、乙、丙人中恰有人通过测试，等价于恰有人未通过测试，
． 

【解析】Ⅰ根据相互独立事件概率的性质可解．
Ⅱ根据相互独立事件概率的性质可解．
本题考查相互独立事件概率的性质，属于基础题．
 

18.【答案】解：，，
设，且，
，解得，
或；
，，
，
又，
，解得． 

【解析】本题考查了共线向量基本定理，根据向量的坐标求向量的长度的方法，非零向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
根据，即可设，然后根据即可求出的值，进而可得出向量的坐标；
可先求出，然后根据即可得出，然后进行数量积的运算即可求出的值．
 

19.【答案】证明：连接，
在中，和分别是和的中点，，
又平面，平面，
平面．
证明：，为中点，，
平面，，平面，
又平面，
，
又，，平面，平面；
解：取中点和中点，连接，，，
和分别为和的中点，且，
且，四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
即为直线与平面所成角，
在中，，，
，，且，
又由，，
在中，，
在中，，
因为，
，
即直线与平面所成角的大小为． 

【解析】连接，根据中位线的性质证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论；
证明，，根据线面垂直的判定定理证明结论；
取中点和中点，连接，，，可证四边形是平行四边形，从而且，进而平面，即为直线与平面所成角，在三角形中求解即可．
本题考查了空间中的平行、垂直关系的证明以及直线与平面所成的角的计算，属于中档题．
 

20.【答案】解：由图可得，解得；
估计这名学生竞赛成绩的平均数；
设被嘉奖的学生的分数不低于，
因为第四组的频率为，第三组的频率为，
所以，所以，
得，
即被嘉奖的学生的分数不低于分． 

【解析】利用频率组距直方图各个小长方形的面积之和为进行计算；
根据直方图数据和平均数的计算公式进行计算求解；
根据题意，从高分往低分统计，计算出小长方形的面积之和为时即可．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
 

21.【答案】解：中，，
由正弦定理得，
所以，
因为，所以，
所以，
又因为是的内角，所以，所以；
又因为是的内角，所以．
因为，所以，所以；
所以，
即，
由基本不等式得：，当且仅当，时等号成立；
所以面积的最大值为． 

【解析】利用正弦定理与三角形的内角和定理，即可求出和的值．
根据平面向量的线性表示，用、表示，用数量积求模长，根据基本不等式求出的最大值，由此求出面积的最大值．
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
 

22.【答案】解：由，可知，所以，对称轴为，
则因为在上是减函数，
当，即时，在上是减函数，符合题意；
当，即时，在上是减函数，，．
综上可知，实数的取值范围为．
函数有三个零点，则方程有三个不同根，
设，其图象如下图，

由题意，关于的方程：，
即，有两根，，且这两根有三种情况：
，；，；，，
若，，则，所以，此时方程为，所以或符合题意；
若，，则，所以，此时方程为，所以舍去；
若，，则，所以不存在；
综上得：；
因为是开口向上的抛物线，所以，
即且，
由作差可得，所以，
由可得，所以，所以，
因为，为整数且，所以，，即，，
此时，符合题意，
所以存在，，使得的解集恰好是． 

【解析】本题考查了函数的零点、单调性及最值，也考查了数形结合思想和换元法，综合性较强，属于较难题．
根据以及判别式，根据对称轴位置讨论的范围，结合函数在上的增减性，可得答案；
设，根据题意画出图像，通过讨论的范围，可得的值；
根据题意，利用的图像和作差法，求出，，的不等式和关系式，然后通过已知条件求值，可得答案．