2022-2023学年湖南省益阳市安化县高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省益阳市安化县高一（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖南省益阳市安化县高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设复数z=1−3i，则复数z−在复平面内对应的点的坐标为(    )
A. (3,1) B. (3,−1) C. (1,3) D. (1,−3)
2. 若向量OB=(3,2),AB=(−4,5)，则向量OA的坐标为(    )
A. (−1,−3) B. (−1,7) C. (7,7) D. (7,−3)
3. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A表示“骰子向上的点数为奇数”，事件B表示“骰子向上的点数为偶数”，事件C表示“骰子向上的点数大于3”，事件D表示“骰子向上的点数小于3”，则(    )
A. 事件A与事件C互斥 B. 事件A与事件B互为对立事件
C. 事件B与事件C互斥 D. 事件C与事件D互为对立事件
4. 已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，下列命题正确的是(    )
A. 若m//α，m//β，n//α，n//β，则α//β
B. 若m⊥n，m//α，n⊥β，则α⊥β
C. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D. 若m//n，m⊥α，n⊥β，则α//β
5. 已知正方形ABCD的边长为a，按照斜二测画法作出它的直观图A′B′C′D′，直观图面积为 2，则a值为(    )
A. 6 3 B. 2 C. 1 D. 3
6. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ac=8,a+c=7,B=π3，则b=(    )
A. 25 B. 5 C. 4  D. 5
7. 已知D为△ABC的边AB的中点，M在DC上满足5AM=AB+3AC，则△ABM与△ABC的面积比为(    )
A. 15 B. 25 C. 35 D. 45
8. 已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，且△PAB为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为(    )
A. 283π B. 1123π C. 32π D. 2563π
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法中，错误的是(    )
A. 两个复数不能比较大小
B. 在复数集内，−1的平方根是±i
C. z是虚数的一个充要条件是z+z−∈R
D. 若a，b是两个相等的实数，则(a−b)+(a+b)i是纯虚数
10. 如图是国家统计局公布的2021年5月至2021年12月的规模以上工业日均发电量的月度走势情况，则下列结论正确的有(    )

A. 2021年7月至2021年10月，规模以上工业月度日均发电量呈现下降趋势
B. 2021年5月至2021年12月，规模以上工业月度日均发电量的中位数为228
C. 2021年11月，规模以上工业发电总量约为6758亿千瓦时
D. 从2021年5月至 2021年12月中随机抽取2个月份，规模以上工业月度日均发电量都超过230亿千瓦时的概率为328
11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac=1+cosAcosC，则下列结论正确的有(    )
A. A=2C
B. a2−c2=2bc
C. 1tanC−1tanA+2sinA的最小值为2 2
D. ac的取值范围为(0,2)
12. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为6，点E，F分别是棱AD，DD1的中点，M是棱AB上的动点，则(    )
A. 直线CC1与BF所成角的正切值为 2 B. 直线EF//平面ABC1D1
C. 平面EFM⊥平面A1B1CD D. B1到直线EF的距离为3 342
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 当复数z=1m+5+(m2+2m−15)i为实数时，实数m=______．
14. 公司要求甲、乙、丙3个人在各自规定的时间内完成布置的任务，已知甲、乙、丙在规定时间内完成任务的概率分别为25，23，14，则3个人中至少2人在规定时间内完成任务的概率为______ ．
15. 若一个正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，它的高为2，则该四棱台的表面积为______ ．
16. 已知a,b,c是平面向量，a与c是单位向量，且〈a,c〉=π2，若b2−8b⋅c+15=0，则|a−b|的最小值为        ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
在钝角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．A=45°,B=120°,b= 6．
(1)求a的大小；
(2)求sinC与△ABC的面积．
18. (本小题12.0分)
已知a,b是同一平面内的两个向量，其中a=(1,3)，且|b|= 10．
(1)若a⊥b，求b的坐标；
(2)若|a+b|=|a−2b|，求a与b的夹角．
19. (本小题12.0分)
在一个质地均匀的正八面体中，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.记事件A=“与地面接触的数字为奇数”，事件B=“与地面接触的数字不大于4”，事件C=“与地面接触的数字为1或5或7或8”．
(1)判断事件A，B是否独立并证明；
(2)证明事件A，B，C满足p(ABC)=p(A)p(B)p(C)，但不满足A，B，C两两独立．
20. (本小题12.0分)
数形结合是重要的数学思想.已知菱形ABCD，AB=2，∠DAB=60°，E，F分别为AB，AD的中点，将△ABD沿BD折起，使点A到达P点，连接PC.请按照题意完成下列两小问．
(1)求证：EF//平面BCD；
(2)若PC= 6，求三棱锥P−BCD的体积．
21. (本小题12.0分)
某校有高一学生1000人，其中男生600人，女生400人，为了解该校全体高一学生的身高信息，甲与乙分别进行了调查．
(1)甲采用调查问卷的形式收集了所有高一学生的身高分布情况并整理绘制了如图频率分布直方图，请估计高一年级学生身高的下四分位数；
(2)乙采用分层抽样的方法选取了20位男生，30位女生进行观测，并计算得到男生的样本均值为175cm，方差为19；女生的样本均值为160cm，方差为34．
①试用上述数据计算出总样本的均值和方差；
②将乙的数据作为总体的均值与方差估计合适吗？为什么？

22. (本小题12.0分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，E为棱DD1的中点，F是正方形CDD1C1内部(含边界)的一个动点，且B1F//平面A1BE．
(1)求动点F的轨迹长度；
(2)求平面A1BE与平面ABCD夹角的正切值．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：复数z=1−3i，
则z−=1+3i，
故复数z−在复平面内对应的点的坐标为(1,3)．
故选：C．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．

2.【答案】D 
【解析】解：∵OB=(3,2),AB=(−4,5)，
∴OA=OB−AB=(3,2)−(−4,5)=(7,−3)．
故选：D．
直接由向量的坐标减法运算求解．
本题考查平面向量坐标的加减运算，是基础题．

3.【答案】B 
【解析】解：根据题意，事件A=骰子向上的点数为1、3、5点，
事件B=骰子向上的点数为2、4、6点，
事件C=骰子向上的点数为4、5、6点，
事件D=骰子向上的点数为1、2点，
依次分析选项：
对于A，事件A、C可能同时发生，不是互斥事件，A错误；
对于B，事件A、B为对立事件，B正确；
对于C，事件B、C可能同时发生，不是互斥事件，C错误；
对于D，当骰子向上的点数为3时，事件C、D都没有发生，不是对立事件，D错误．
故选：B．
根据题意，先分析4个事件包含的基本事件，由此分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查相互独立事件、互斥事件的定义，注意分析事件之间的关系，属于基础题．

4.【答案】D 
【解析】解：m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，知：
在A中，若m//α，m//β，n//α，n//β，则α与β相交或平行，故A错误；
在B中，若m⊥n，m//α，n⊥β，则α与β相交或平行，故B错误；
在C中，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β相交或平行，故C错误；
在D中，若m//n，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直，线线平行的性质可得α//β，故D正确．
故选：D．
在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，α与β相交或平行；在D中，由线面垂直，线线平行的性质得α//β．
本题主要考查了平面与平面平行的判定定理，考查了平面与平面垂直的判定定理，属于基础题．

5.【答案】B 
【解析】解：以A为原点，以AB和AD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图(1)所示，
根据斜二测画法的规则，得到边长为a的正方形的直观图，如图(2)所示，

因为AB=AD=a，可得A′B′=a,A′D′=a2，
又因为∠x′O′y′=45°，过D′作D′E′⊥A′B′，可得D′E′=a2×sin45°= 2a4，
由直观图A′B′C′D′的面积为 2，所以a× 2a4= 2，
解得a=2．
故选：B．
建立平面直角坐标系，根据斜二测画法的规则，得出边长为a的正方形的直观图，过D′作D′E′⊥A′B′，求得D′E′= 2a4，结合A′B′C′D′的面积为 2，列出方程，即可求解．
本题主要考查了平面图形的直观图，属于基础题．

6.【答案】B 
【解析】解：因为ac=8,a+c=7,B=π3，
所以由余弦定理知，b2=a2+c2−2accosB=(a+c)2−2ac−2accosB=49−2×8−2×8×12=25，
所以b=5．
故选：B．
结合余弦定理与完全平方和公式，进行运算，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．

7.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的线性运算问题和三角形面积的相似比，属于中档题．
解题时应熟知平面向量的三角形合成法则．
【解答】
解：因为D是AB中点，所以AD=12AB，设h1，h2分别是△ABM，△ABC的AB边上的高，
且在△ADM中，可得AM=AD+DM=12AB+DM ①，
又在△ABC中，AC=AB+BC②，
且由已知条件5AM=AB+3AC③，
由①②代入③整理可得：10DM=3AB+6BC=3AC+3BC⑤，
因为D是三角形ABC边AB的中点，所以DC=12(AC+BC)④，
④代入⑤可得 10DM=6DC，则得DM=35DC，
因为S△ABMS△ABC=12×AB×h112×AB×h2=h1h2=DMDC=|DM→||DC→|=35．
故选：C．  
8.【答案】B 
【解析】解：四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，且△PAB为等边三角形，
如图所

由题意知：AC= 42+42=4 2，
所以AM=2 2，
由于AB=4，所以AH=2；
所以PH=2 3，
所以KH=2 33，
点O为外接球的球心，
所以AO= (2 2)2+(2 33)2= 849= 283，
故S球=4⋅π⋅( 283)2=112π3．
故选：B．
首先根据题意求出球心的位置，进一步确定球的半径，最后求出球的表面积．
本题考查的知识要点：四棱锥体和球体的关系，球的半径的求法，球的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

9.【答案】ACD 
【解析】解：A选项，当两个复数的虚部为0时，两个复数为实数，可以比较大小，A错误；
B选项，在复数集内，(±i)2=−1，故−1的平方根是±i，B正确；
C选项，不妨设z=1，此时z为实数，则z−=1，满足z+z−∈R，故C错误；
D选项，不妨设a=b=0，(a−b)+(a+b)i=0+0i=0，不是纯虚数，D错误．
故选：ACD．
ACD选项，可举出反例，B选项，可根据(±i)2=−1得到B正确．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

10.【答案】AD 
【解析】解：由图可知，2021年7月至2021年10月，规模以上工业月度日均发电量数据由大变小，故A正确；
将2021年5月至2021年12月的月度日均发电量的数据从小到大排序，第4个数为225，第5个数为228.7，
则所求中位数为226.85，故B错误；
2021年11月，规模以上工业发电总量为218×30=6540亿千瓦时，故C错误；
从2021年5月至2021年12月中随机抽取2个月份，
规模以上工业月度日均发电量都超过230亿千瓦时的概率为C32C82=328，故D正确．
故选：AD．
根据柱状图，结合中位数的定义、古典概型运算公式逐一判断即可．
本题考查根据统计图表获取信息，属于基础题．

11.【答案】AC 
【解析】解：对于选项A，由正弦定理及ac=1+cosAcosC，知sinAcosC=sinC(1+cosA)=sinC+sinCcosA，
所以sinAcosC−sinCcosA=sinC，即sin(A−C)=sinC，
所以A−C=C或A−C+C=π，即A=2C或A=π(舍)，
所以A=2C，即选项A正确；
对于选项B，由ac=1+cosAcosC，得acosC=c+ccosA，
由余弦定理得，a⋅a2+b2−c22ab=c+c⋅b2+c2−a22bc，整理得a2−c2=bc，即选项B错误；
对于选项C，1tanC−1tanA+2sinA=cosCsinC−cosAsinA+2sinA=sinAcosC−cosAsinCsinAsinC+2sinA=sin(A−C)sinAsinC+2sinA=sinCsinAsinC+2sinA=1sinA+2sinA≥2 2，当且仅当1sinA=2sinA，即sinA= 22时，等号成立，
所以1tanC−1tanA+2sinA的最小值为2 2，即选项C正确；
对于选项D，因为A=2C，所以B=π−3C，
又A，B∈(0,π)，所以0<2C<π0<π−3C<π，解得C∈(0,π3)，
所以ac=1+cosAcosC=1+cos2CcosC=2cos2CcosC=2cosC∈(1,2)，即选项D错误．
故选：AC．
选项A，利用正弦定理化边为角，并结合两角差的正弦公式，可得解；
选项B，利用余弦定理化角为边，整理后，即可判断；
选项C，结合三角恒等变换公式，基本不等式，以及选项A中所得，即可得解；
选项D，由A=2C，B=π−3C，推出C∈(0,π3)，再利用A=2C化简所求式子，并结合二倍角公式，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握掌握正弦定理，余弦定理，三角恒等变换公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

12.【答案】BCD 
【解析】解：对于A中，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，可得CC1//BB1，
所以异面直线CC1与BF所成的角，即为直线BB1与BF所成的角，设∠FBB1=θ，
取BB1的中点N，连接B1F和FN，
在直角△BFN中，tanθ=FNBN=2 2，即异面直线CC1与BF所成的角的正切值为2 2，所以A不正确；
对于B中，因为点E，F分别是棱AD，DD1的中点，可得EF//AD1，
又因为EF⊄平面ABC1D1，AD1⊂平面ABC1D1，所以直线EF//平面ABC1D1，所以B正确；
对于C中，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，可得AD1⊥平面A1B1CD，
因为EF//AD1，所以EF⊥平面A1B1CD，
又因为EF⊂平面EFM，所以平面EFM⊥平面A1B1CD，所以C正确；
对于D中，设A1D∩EF=O，因为EF⊥平面A1B1CD，且B1O⊂平面A1B1CD，
可得EF⊥B1O，所以B1O即为点B1到直线EF的距离，
在直角△A1B1O中，A1B1=6,A1O=9 22，
所以BO= A1B12+A1O2= 36+812=3 342，
即B1到直线EF的距离为3 342，所以D正确．
故选：BCD．
把直线CC1与BF所成的角，转化为直线BB1与BF所成的角，在直角△BFN中，求得所成的角的正切值为2 2，可判定A不正确；由EF//AD1，利用线面平行的判定定理，证得EF//平面ABC1D1，可判定B正确；由 AD1⊥平面A1B1CD，得到EF⊥平面A1B1CD，结合面面垂直的判定定理，可判定C正确；设A1D∩EF=O，证得EF⊥B1O，得到B1O即为点B1到直线EF的距离，在直角△A1B1O中求得B1O，可判定D正确．
本题主要考查了线面平行和面面垂直的判定，考查了求异面直线所成的角，以及求点到直线的距离公式，属于中档题．

13.【答案】3 
【解析】
【分析】
本题考查复数的基本概念，是基础题，注意实部有意义是易错点，属于基础题．
利用复数的虚部为0，实部有意义，求解即可．
【解答】
解：复数z=1m+5+(m2+2m−15)i为实数时，
可得m2+2m−15=0，解得m=3或m=−5(舍去)，
故答案为：3．  
14.【答案】25 
【解析】解：3个人中至少2人在规定时间内完成任务，即在规定时间内3 人中恰有2人完成任务或3人都完成任务，
所以概率为P=25×23×(1−14)+25×(1−23)×14+(1−25)×23×14+25×23×14=25．
故答案为：25．
由互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式求解．
本题主要考查了互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式，属于基础题．

15.【答案】20+12 5 
【解析】解：如下图所示：AB=DE=2,AD=12×2=1,BC=12×4=2，
所以DC= 22+(2−1)2= 5，
所以该四棱台的表面积为：22+42+4×12(2+4)× 5=20+12 5，

故答案为：20+12 5．
根据棱台表面积公式，结合正方形的面积公式、等腰梯形的面积公式进行求解即可．
本题考查了棱台的表面积公式，属于基础题．

16.【答案】 17−1 
【解析】解：建立平面直角坐标系，
由已知可设，a=OA=(1,0),c=OC=(0,1)，b=OB=(x,y)，
因为|b|2−8b⋅c+15=0，
所以x2+y2−8y+15=0，
整理得，x2+(y−4)2=1，
所以点B在以点D(0,4)为圆心，以1为半径的圆上，
又|a−b|=|OA−OB|=|BA|，
由圆的性质，得|a−b|=|OA−OB|=|BA|的最小值为|AD|−1= (0−1)2+(4−0)2−1= 17−1．
故答案为： 17−1．
建立平面直角坐标系，转化为向量的坐标运算，由模长的几何意义进行求解．
本题考查了平面向量数量积的运算以及模长的几何意义，属于中档题．

17.【答案】解：(1)∵A=45°,B=120°,b= 6，
∴由asinA=bsinB，可得a=bsinAsinB=2．
(2)∵sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 6− 24，
∴S△ABC=12absinC=3− 32． 
【解析】(1)由已知利用正弦定理即可求解a的值．
(2)利用三角形内角和定理，诱导公式以及两角和的正弦公式即可求解sinC的值，利用三角形的面积公式即可求解△ABC的面积．
本题考查了正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦公式以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．

18.【答案】解：(1)设b=(x,y)，
∵a⊥b且|b|= 10，
∴x+3y=0x2+y2=10，
解得x=3y=−1或x=−3y=1，
∴b的坐标b=(3,−1)或b=(−3,1)；
(2)∵a=(1,3)，
∴|a|= 12+32= 10，
∵|a+b|=|a−2b|，
∴(a+b)2=(a−2b)2，
 即a2+2a⋅b+b2=a2−4a⋅b+4b2，
∴6a⋅b=3b2，
∴6|a||b|cos=3|b|2，
∴cos=12
∵∈(0,π)，
∴=π3． 
【解析】(1)设b=(x,y)，由题中条件建立关于x，y的方程组，求解即可；
(2)由平面向量的模与数量积直接计算即可．
本题考查平面向量的坐标运算和数量积运算，夹角等，属于中档题．

19.【答案】解：根据题意，任意抛掷一次这个正八面体，其样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}，
事件A=“与地面接触的数字为奇数”，事件B=“与地面接触的数字不大于4”，事件C=“与地面接触的数字为1或5或7或8”．
则A={1,3,5,7}，B={1,2,3,4}，C={1,5,7,8}，
A⋂B={1,3}，B⋂C={1}，A⋂C={1,5,7}，A⋂B⋂C={1}．
(1)事件A，B相互独立；
证明：由古典概型公式：p(A)=12，p(B)=12，P(AB)=14，
则有P(AB)=P(A)P(B)，
故事件A，B相互独立．
(2)证明：p(ABC)=18=p(A)p(B)p(C)，
 但p(BC)=18≠p(B)p(C)，
故事件A，B，C满足p(ABC)=p(A)p(B)p(C)，但不满足A，B，C两两独立． 
【解析】(1)根据题意，分析实验的样本空间以及事件A、B、C包含的基本事件，由此证明P(AB)=P(A)P(B)，即可得结论；
(2)根据题意，由古典概型公式证明p(ABC)=18=p(A)p(B)p(C)，但p(BC)=18≠p(B)p(C)，即可得结论．
本题考查相互独立事件的判断，涉及古典概型的计算，属于基础题．

20.【答案】(1)证明：已知菱形ABCD，AB=2，∠DAB=60°，E，F分别为AB，AD的中点，将△ABD沿BD折起，使点A到达P点，连接PC．
如图所示：

∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴EF//BD，
 EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，
∴EF//平面BCD；
(2)解：取BD中点为O，连接PO，OC，
∵PB=PD=BD=BC=CD=2，
∴PO⊥BD,OC⊥BD,PO=OC= 3，
∵PC= 6，PC2=PO2+OC2，
∴PO⊥OC，
 BD，OC⊂面BCD且交点为O，
 即PO⊥面BCD，
 VP−BCD=13×PO×12×OC×BD=1． 
【解析】(1)直接利用三角形的中位线，根据直线和平面平行的判定求出结果；
(2)利用勾股定理的逆定理，得到直线和平面互相垂直，进一步利用三棱锥体的体积公式求出结果．
本题考查的知识要点：直线和平面平行的判定，直线和平面垂直的性质，锥体的体积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．

21.【答案】解：(1)由已知，下四分位数在[155,165)，设为xcm，
则x−15510=0.25−0.050.25，解得x=163cm．
(2)①x−=2050×175+3050×160=166cm，
s2=2050×(19+(175−166)2)+3050×(34+(160−166)2)=82．
  ②不合适，没有按比例分层抽样． 
【解析】(1)先由频率分布直方图找下四分位数的区间，然后求下四分位数；
(2)均值、方差公式求解．
本题考查由频率分布直方图求下四分位数，求均值、方差，属于基础题．

22.【答案】解：(1)取C1C中点为P，C1D1中点为Q，连接B1P，B1Q，PQ，
∵B1P//A1E，B1P⊄面A1BE，A1E⊂面A1BE，∴B1P//面A1BE，
同理，由PQ//CD1//A1B，可证得PQ//面A1BE，
PQ∩B1P=P，∴面B1PQ//面A1BE，

∵B1F//面A1BE,∴B1F⊂面B1PQ,∵F∈面CDD1C1,∴F∈PQ,
PQ=12CD1= 2，
即动点F的轨迹PQ的长度为 2．
(2)∵面ABCD//面A1B1C1D1，面B1PQ//面A1BE，
∴面A1BE与面ABCD夹角即为面A1B1C1D1与面B1PQ的夹角，
面A1B1C1D1与面B1PQ的交线为B1Q，
过点C1作C1H⊥B1Q交B1Q于点H，
设HQ=a，则1−a2=4−( 5−a)2，解得a= 55，
同理过点P作PG⊥B1Q交B1Q于点G，可解得QG= 55，
即点H与点G重合，∴∠C1HP为所求二面角的平面角，
∴tan∠C1HP=C1PC1H= 52． 
【解析】(1)动点F的轨迹为线段PQ，计算其长度即可；(2)∠C1HP为所求二面角的平面角，放到直角三角形计算即可．
本题考查二面角，考查面面平行，属于中档题．