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湖南省衡阳市成章实验中学2022-2023学年下学期八年级数学期末试卷（含答案）
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这是一份湖南省衡阳市成章实验中学2022-2023学年下学期八年级数学期末试卷（含答案），共28页。
湖南省衡阳市成章实验中学
2022-2023学年下学期八年级数学期末试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列各数中，无理数的是（ ）
A．3 B．227 C．38 D．8
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a2 B．a3•a2＝a6 C．（﹣x3）2＝x6 D．（x2）3＝x3
3．（3分）若实数x，y满足|x﹣4|+y-8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．16 C．16或20 D．20
4．（3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．5，11，12 B．2，3，4 C．4，6，7 D．3，4，5
5．（3分）从调查消费者购买汽车能源类型的扇形统计图中可看出，人们更倾向购买的是（ ）
A．纯电动车 B．混动车 C．轻混车 D．燃油车
6．（3分）如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
7．（3分）如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．（3分）下列命题中，真命题的是（ ）
A．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．周长相等的两个三角形全等
C．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
D．全等三角形的面积相等，面积相等的两个三角形全等
9．（3分）小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：（24x4y3﹣■+6x2y2）÷（﹣6x2y）＝﹣4x2y2+3xy﹣y，你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是（ ）
A．﹣18x3y2 B．18x3y2 C．﹣2x3y2 D．12x3y2
10．（3分）学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（ ）
A．45 B．85 C．165 D．245
11．（3分）如图，在直线l上有三个正方形A，B，C，若正方形A，C的面积分别是8，6，则正方形B的面积为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．18
12．（3分）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（ ）
A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）因式分解：4m2﹣1＝ ．
14．（3分）已知x2+2mx+9是一个完全平方式，则m＝ ．
15．（3分）已知3m＝4，3n＝5，则32m+n＝ ．
16．（3分）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 ．
17．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交CB于点D，连接AD．若AC＝8，BC＝15，则△ACD的周长为 ．
18．（3分）已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2，其中结论正确的是 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：16-(-1)2022-327+|1-2|．
20．（6分）先化简，再求值：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x=3．
21．（8分）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形ABCD的面积．
22．（8分）某中学计划根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，并随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）学校这次调查共抽取了 名学生；
（2）求抽取的学生中喜欢书法的人数，并补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“围棋”所在扇形的圆心角度数为 度；
（4）设该校共有学生2000名，请你估计该校有多少名学生喜欢足球．
23．（8分）如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC．
（1）求证：∠BAD＝2∠MAN；
（2）连接BD，若∠MAN＝70°，∠DBC＝40°，求∠ABC的度数．
24．（8分）如图，两个形状大小相同的长方形ABCD和长方形AEFG，点E在AB边上，AB＝a，BC＝b，且a＞b＞0．
（1）试用含a，b的代数式表示BE和GD的长度，BE＝ ，GD＝ ．
（2）请用含a，b的代数式表示图中△ABD和△DFG的面积和．
（3）当a2+b2＝60，ab＝20．求图中阴影部分的面积．
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿路线A→C→B→A运动．设点P的运动时间为t秒．
（1）求AC＝ ，AB边上的高＝ ；
（2）当点P在CB上时，①CP＝ （用含t的代数式表示）；
②若点P在△BAC的角平分线上，则t的值为 ；
（3）在整个运动过程中，直接写出△BCP是等腰三角形时，t的值．
26．（12分）已知：△ABC为等边三角形．
（1）如图1，点D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE．
①求证：△ABD≌△BCE．
②求∠AFE的度数．
（2）如图2，点D为△ABC外一点，∠BDC＝60°，BA、CD的延长线交于点E，连接AD，猜想线段AD、CD、BD之间的数量关系并加以证明．
（3）如图3，线段DB的长为3，线段DC的长为2，连接BC，以BC为边作等边△ABC，连接AD，直接写出当线段AD取最大值与最小值时∠BDC的度数．
湖南省衡阳市成章实验中学
2022-2023学年下学期八年级数学期末试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列各数中，无理数的是（ ）
A．3 B．227 C．38 D．8
【考点】无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、3是整数，是有理数，故选项错误；
B、227是分数，是有理数，故选项错误；
C、28=2是整数，是有理数，选项错误；
D、8是无理数，选项正确．
故选：D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a2 B．a3•a2＝a6 C．（﹣x3）2＝x6 D．（x2）3＝x3
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a与2a2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a3•a2＝a5，故B不符合题意；
C、（﹣x3）2＝x6，故C符合题意；
D、（x2）3＝x6，故D不符合题意；
故选：C．
3．（3分）若实数x，y满足|x﹣4|+y-8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．16 C．16或20 D．20
【考点】等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系．
【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意得
x﹣4＝0，解得x＝4，
y﹣8＝0，解得y＝8，
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8＝20．
故选：D．
4．（3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．5，11，12 B．2，3，4 C．4，6，7 D．3，4，5
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
【解答】解：A、52+112≠122，不能组成直角三角形，故此选项错误；
B、22+32≠42，不能组成直角三角形，故此选项错误；
C、42+62≠72，不能组成直角三角形，故此选项错误；
D、32+42＝52，能组成直角三角形，故此选项正确．
故选：D．
5．（3分）从调查消费者购买汽车能源类型的扇形统计图中可看出，人们更倾向购买的是（ ）
A．纯电动车 B．混动车 C．轻混车 D．燃油车
【考点】扇形统计图．
【分析】根据扇形图即可观察出纯电动车占的最多．
【解答】解：根据扇形图即可观察出纯电动车占的最多．
故答案为：A．
6．（3分）如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定方法，可以判断添加各个选项中的条件是否能够判断△ABC≌△DEF，本题得以解决．
【解答】解：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
又∵∠B＝∠E，
∴当添加条件AB＝DE时，△ABC≌△DEF（SAS），故选项A不符合题意；
当添加条件∠A＝∠D时，△ABC≌△DEF（AAS），故选项B不符合题意；
当添加条件AC＝DF时，无法判断△ABC≌△DEF，故选项C符合题意；
当添加条件AC∥FD时，则∠ACB＝∠DFE，故△ABC≌△DEF（ASA），故选项D不符合题意；
故选：C．
7．（3分）如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】角平分线的性质．
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得．
【解答】解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF＝6，
故选：D．
8．（3分）下列命题中，真命题的是（ ）
A．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．周长相等的两个三角形全等
C．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
D．全等三角形的面积相等，面积相等的两个三角形全等
【考点】命题与定理．
【分析】利用全等三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等，正确，是真命题，符合题意；
B、周长相等的三角形不一定全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：A．
9．（3分）小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：（24x4y3﹣■+6x2y2）÷（﹣6x2y）＝﹣4x2y2+3xy﹣y，你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是（ ）
A．﹣18x3y2 B．18x3y2 C．﹣2x3y2 D．12x3y2
【考点】整式的除法．
【分析】根据除式乘商式等于被除式求解即可．
【解答】解：∵（﹣6x2y）（﹣4x2y2+3xy﹣y）
＝24x4y3﹣18x3y2+6x2y2，
∴被墨水污染的地方应该是18x3y2．
故选：B．
10．（3分）学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（ ）
A．45 B．85 C．165 D．245
【考点】勾股定理．
【分析】由勾股定理求出AC＝5，再由三角形面积求出BD即可．
【解答】解：由勾股定理得：AC=32+42=5，
∵BD⊥AC，
∴△ABC的面积=12AC×BD=12×4×4，
∴BD=165，
故选：C．
11．（3分）如图，在直线l上有三个正方形A，B，C，若正方形A，C的面积分别是8，6，则正方形B的面积为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．18
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠EDF＝∠HFG，然后证明△EDF≌△HFG，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
【解答】解：如图，
由于A、B、C都是正方形，所以DF＝FH，∠DFH＝90°；
∵∠DFE+∠HFG＝∠EDF+∠DFE＝90°，即∠EDF＝∠HFG，
在△DEF和△HGF中，
∠EDF=∠HFG∠DEF=∠HGFDF=HF，
∴△DEF≌△FGH（AAS），
∴DE＝FG，EF＝HG；
在Rt△DEF中，由勾股定理得：DF2＝DE2+EF2＝DE2+HG2，
即SB＝SA+SC＝8+6＝14，
故选：C．
12．（3分）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（ ）
A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解答】解：如图：
将杯子侧面展开，
作A关于EF的对称点A′，
则AF+BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即A′B的长度，
∵A′B=A'D2+BD2=(302)2+(11-5+2)2=152+82=17（cm），
∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为17cm，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）因式分解：4m2﹣1＝ （2m﹣1）（2m+1） ．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：4m2﹣1＝（2m﹣1）（2m+1）．
故答案为：（2m﹣1）（2m+1）．
14．（3分）已知x2+2mx+9是一个完全平方式，则m＝ ±3 ．
【考点】完全平方式．
【分析】根据完全平方式的特点得出2mx＝±2•x•3，再求出m即可．
【解答】解：x2+2mx+9＝x2﹣mx+32，
∵x2+2mx+9是一个完全平方式，
∴2mx＝±2•x•3，
解得：m＝±3．
故答案为：±3．
15．（3分）已知3m＝4，3n＝5，则32m+n＝ 80 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【分析】先将算式32m+n变形为（3m）2×3n，再代入进行计算．
【解答】解：3m＝4，3n＝5，
∴32m+n＝（3m）2×3n＝42×5＝16×5＝80，
故答案为：80．
16．（3分）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 7 ．
【考点】勾股定理；实数与数轴；等腰三角形的性质．
【分析】先利用等腰三角形的性质得到OC⊥AB，则利用勾股定理可计算出OC=7，然后利用画法可得到OM＝OC=7，于是可确定点M对应的数．
【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，OA＝OB＝3，
∴OC⊥AB，
在Rt△OBC中，OC=BC2-OB2=42-32=7，
∵以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，
∴OM＝OC=7，
∴点M对应的数为7．
故答案为7．
17．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交CB于点D，连接AD．若AC＝8，BC＝15，则△ACD的周长为 23 ．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【分析】根据作图过程可得MN是线段AB的垂直平分线，得AD＝BD，进而可得△ACD的周长．
【解答】解：根据作图过程可知：
MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝8+15＝23．
故答案为：23．
18．（3分）已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2，其中结论正确的是 ①②③④ ．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【分析】①由条件证明△ABD≌△ACE，就可以得到结论；
②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD＝∠ACE，就可以得出∠BDC＝90°而得出结论；
③由条件知∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝45°，由∠ABD＝∠ACE就可以得出结论；
④△BDE为直角三角形就可以得出BE2＝BD2+DE2，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，就有BC2＝BD2+CD2就可以得出结论．
【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中
AD=AE∠BAD=∠CAEAB=AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE．故①正确；
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE．
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABD+∠AFB＝90°，
∴∠ACE+∠AFB＝90°．
∵∠DFC＝∠AFB，
∴∠ACE+∠DFC＝90°，
∴∠FDC＝90°．
∴BD⊥CE；故②正确；
③∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°．
∴∠ACE+∠DBC＝45°，故③正确；
④∵BD⊥CE，
∴BE2＝BD2+DE2，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，
∴DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，
∵BC2＝BD2+CD2，
∴2AB2＝BD2+CD2，
∴BD2＝2AB2﹣CD2，
∴BE2＝BD2+DE2＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2，
∴④正确．
故答案为：①②③④．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：16-(-1)2022-327+|1-2|．
【考点】实数的运算．
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣1﹣3+2-1
=2-1．
20．（6分）先化简，再求值：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x=3．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】根据整式的混合运算顺序先进行整式的化简，再代入值进行计算即可．
【解答】解：原式＝x2+4x﹣5+x2﹣4x+4
＝2x2﹣1，
当x=3时，原式＝2（3）2﹣1＝5．
21．（8分）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形ABCD的面积．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由AC平分∠BAD，得∠BAC＝∠DAC，根据CB⊥AB，CD⊥AD，得∠B＝90°＝∠D，用AAS可得△ABC≌△ADC；
（2）由（1）△ABC≌△ADC，得BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，求出S△ABC=12AB•BC＝6，即可得四边形ABCD的面积是12．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴∠B＝90°＝∠D，
在△ABC和△ADC中，
∠B=∠D∠BAC=∠DACAC=AC，
∴△ABC≌△ADC（AAS）；
（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，
∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，
∴S△ABC=12AB•BC=12×4×3＝6，
∴S△ADC＝6，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，
答：四边形ABCD的面积是12．
22．（8分）某中学计划根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，并随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）学校这次调查共抽取了 100 名学生；
（2）求抽取的学生中喜欢书法的人数，并补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“围棋”所在扇形的圆心角度数为 36 度；
（4）设该校共有学生2000名，请你估计该校有多少名学生喜欢足球．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据爱好舞蹈的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；
（2）根据（1）中的结果和扇形统计图中的数据，可以得到抽取的学生中喜欢书法的人数，并补全条形统计图；
（3）根据扇形统计图中的数据，可以得到在扇形统计图中，“围棋”所在扇形的圆心角度数；
（4）根据统计图中的数据，可以得到该校有多少名学生喜欢足球．
【解答】解：（1）学校这次调查共抽取了：25÷25%＝100（名），
故答案为：100；
（2）喜欢书法的人数为：100×（1﹣30%﹣10%﹣20%﹣25%）＝15（名），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）在扇形统计图中，“围棋”所在扇形的圆心角度数为：360°×10%＝36°，
故答案为：36；
（4）2000×30%＝600（名），
答：估计该校有600名学生喜欢足球．
23．（8分）如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC．
（1）求证：∠BAD＝2∠MAN；
（2）连接BD，若∠MAN＝70°，∠DBC＝40°，求∠ABC的度数．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）连接AC，N是BC的中点，AN⊥BC，即△ABC中，BC边长的中线和高重合，由三线合一逆定理可知AN平分∠ABC，即∠BAN＝∠CAN；同理可证∠CAM＝∠DAM，结合图形进行角的和差计算即可证明（1）的结论；
（2）连接BD，不难得到AB＝AD，由∠MAN可得∠BAD的度数，结合三角形内角和定理可得∠ABD的度数，至此本题不难解答．
【解答】（1）证明：连接AC，
∵在△ABC中，N是BC的中点，AN⊥BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AN平分∠BAC，即∠BAN＝∠CAN．
同理可证∠CAM＝∠DAM，
∴∠BAD＝∠BAN+∠CAN+∠CAM+∠DAM＝2（∠CAN+∠CAM）＝2∠MAN．
（2）解：连接BD．
∵∠MAN＝70°，
∴∠BAD＝2∠MAN＝140°．
由（1）的方法可得△ABC、△ACD是等腰三角形，
∴AB＝AC＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝20°．
∵∠DBC＝40°，
∴∠ABC＝60°．
24．（8分）如图，两个形状大小相同的长方形ABCD和长方形AEFG，点E在AB边上，AB＝a，BC＝b，且a＞b＞0．
（1）试用含a，b的代数式表示BE和GD的长度，BE＝ a﹣b ，GD＝ a﹣b ．
（2）请用含a，b的代数式表示图中△ABD和△DFG的面积和．
（3）当a2+b2＝60，ab＝20．求图中阴影部分的面积．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【分析】（1）根据线段的和差可得答案；
（2）分别找出△ABD与△DFG的边长，然后计算面积和即可；
（3）根据梯形ABFG的面积减去空白部分的面积，即可求出阴影部分的面积，并将已知的条件代入可求得答案．
【解答】解：（1）∵长方形ABCD和长方形AEFG大小相同，AB＝a，BC＝b，且a＞b＞0，
∴AE＝AD＝BC＝b，AB＝AG＝a，
∴BE＝GD＝AB﹣AE＝a﹣b；
故答案为：a﹣b，a﹣b；
（2）S△ABD+S△DFG=12•AB•AD+12•DG•FG=12ab+12b（a﹣b）＝ab-12b2；
（3）如图，
∵S阴影＝S梯形ABFG﹣S△ABD﹣S△DFG，
∴S阴影=12a（a+b）-12ab-12•b•（a﹣b）=12a2+12b2-12ab；
当a2+b2＝60，ab＝20时，S阴影=12×60-12×20＝30﹣10＝20．
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿路线A→C→B→A运动．设点P的运动时间为t秒．
（1）求AC＝ 4 ，AB边上的高＝ 2.4 ；
（2）当点P在CB上时，①CP＝ 2t﹣4 （用含t的代数式表示）；
②若点P在△BAC的角平分线上，则t的值为 83 ；
（3）在整个运动过程中，直接写出△BCP是等腰三角形时，t的值．
【考点】勾股定理；列代数式；等腰三角形的判定．
【分析】（1）由勾股定理可求得AC的值，再设斜边AB上的高为h，由面积法可求得答案；
（2）分两种情况计算即可：①当点P在CB上时，②当点P'在∠BAC的角平分线上时；
（3）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形，②当点P在线段AC上时，又分三种情况：BC＝BP；PC＝BC；PC＝PB，分别求得点P运动的路程，再除以速度即可得出答案．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，由勾股定理得：AC＝4．
设斜边AB上的高为h，
∵12AB•h=12AC•BC，
∴5h＝3×4，
∴h＝2.4．
∴AC的长为4，斜边AB上的高为2.4，
故答案为：4，2.4；
（2）已知点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，
①当点P在CB上时，点P运动的长度为：AC+CP＝2t，
∵AC＝4，
∴CP＝2t﹣AC＝2t﹣4．
故答案为：2t﹣4．
②当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P'作P'D⊥AB，如图：
∵AP'平分∠BAC，P'C⊥AC，P'D⊥AB，
∴P'D＝P'C＝2t﹣4，
∵BC＝3，
∴BP'＝3﹣（2t﹣4）＝7﹣2t，
在Rt△ACP'和Rt△ADP'中，
AP'=AP'P'D=P'C，
∴Rt△ACP'≌Rt△ADP'（HL），
∴AD＝AC＝4，
又∵AB＝5，
∴BD＝1，
在Rt△BDP'中，由勾股定理得：
12+（2t﹣4）2＝（7﹣2t）2，
解得：t=83，
故答案为：83；
（3）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，
①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形，
∴此时CP＝BC＝3，
∴AP＝AC﹣CP＝4﹣3＝1，
∴2t＝1，
∴t＝0.5；
②当点P在线段AB上时，若BC＝BP，
则点P运动的长度为：
AC+BC+BP＝4+3+3＝10，
∴2t＝10，
∴t＝5；
若PC＝BC，如图2，过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH，
在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，AC＝4，
∴AB•CH＝AC•BC，
∴5CH＝4×3，
∴CH=125，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：
BH=32-(125)2=1.8，
∴BP＝3.6，
∴点P运动的长度为：AC+BC+BP＝4+3+3.6＝10.6，
∴2t＝10.6，
∴t＝5.3；
若PC＝PB，如图3所示，过点P作PQ⊥BC于点Q，
则BQ＝CQ＝0.5×BC=32，∠PQB＝90°，
∴∠ACB＝∠PQB＝90°，
∴PQ∥AC，
∴PQ为△ABC的中位线，
∴PQ＝0.5×AC＝0.5×4＝2，
在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP=(32)2+22=2.5，
点P运动的长度为：AC+BC+BP＝4+3+2.5＝9.5，
∴2t＝9.5，
∴t＝4.75．
综上，t的值为0.5或4.75或5或5.3．
26．（12分）已知：△ABC为等边三角形．
（1）如图1，点D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE．
①求证：△ABD≌△BCE．
②求∠AFE的度数．
（2）如图2，点D为△ABC外一点，∠BDC＝60°，BA、CD的延长线交于点E，连接AD，猜想线段AD、CD、BD之间的数量关系并加以证明．
（3）如图3，线段DB的长为3，线段DC的长为2，连接BC，以BC为边作等边△ABC，连接AD，直接写出当线段AD取最大值与最小值时∠BDC的度数．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）①根据SAS证明三角形全等即可．
②利用全等三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题．
（2）如图2中，在DB上取一点J，使得CJ＝CD，利用全等三角形的性质证明BD＝AD+DC即可．
（3）如图3中，以CD为边向外作等边△CDT，连接BT．构造全等三角形，证明BT＝AD，求出BT的取值范围即可解决问题．
【解答】（1）①证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，
在△ABD和△BCE中，
AB=BC∠ABD=∠CBD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS）．
②解：如图1中，∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠AFE＝∠FBA+∠BAD＝∠FBA+∠CBE＝∠CBA＝60°．
（2）解：结论：BD＝AD+DC．
理由：如图2中，在DB上取一点J，使得CJ＝CD，
∵∠CDJ＝60°，CJ＝CD，
∴△CDJ是等边三角形，
∴∠JCD＝∠ACB＝60°，DJ＝DC＝CJ，
∴∠BCJ＝∠ACD，
在△BCJ和△ACD中，
CB=CA∠BCJ=∠ACDCJ=CD，
∴△BCJ≌△ACD（SAS），
∴BJ＝AD，
∴BD＝BJ+DJ＝AD+DC．
（3）解：如图3中，以CD为边向外作等边△CDT，连接BT．
∵CT＝CD，CB＝CA，∠TCD＝∠BCA＝60°，
∴∠TCB＝∠DCA，
在△TCB和△DCA中，
CT=CD∠TCB=∠DCACB=CA，
∴△TCB≌△DCA（SAS），
∴BT＝AD，
∵CT＝CD＝2，BD＝3，
∴3﹣2≤BT≤3+2，
∴1≤BT≤5，
∴1≤AD≤5．
∴AD的最小值为1，最大值为5．
当AD取最小值时，点T落在线段BD上，∠BDC＝60°，当AD取最大值时，点T落在BD的延长线上，∠BDC＝120°
湖南省衡阳市成章实验中学
2022-2023学年下学期八年级数学期末试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列各数中，无理数的是（ ）
A．3 B．227 C．38 D．8
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a2 B．a3•a2＝a6 C．（﹣x3）2＝x6 D．（x2）3＝x3
3．（3分）若实数x，y满足|x﹣4|+y-8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．16 C．16或20 D．20
4．（3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．5，11，12 B．2，3，4 C．4，6，7 D．3，4，5
5．（3分）从调查消费者购买汽车能源类型的扇形统计图中可看出，人们更倾向购买的是（ ）
A．纯电动车 B．混动车 C．轻混车 D．燃油车
6．（3分）如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
7．（3分）如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．（3分）下列命题中，真命题的是（ ）
A．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．周长相等的两个三角形全等
C．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
D．全等三角形的面积相等，面积相等的两个三角形全等
9．（3分）小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：（24x4y3﹣■+6x2y2）÷（﹣6x2y）＝﹣4x2y2+3xy﹣y，你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是（ ）
A．﹣18x3y2 B．18x3y2 C．﹣2x3y2 D．12x3y2
10．（3分）学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（ ）
A．45 B．85 C．165 D．245
11．（3分）如图，在直线l上有三个正方形A，B，C，若正方形A，C的面积分别是8，6，则正方形B的面积为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．18
12．（3分）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（ ）
A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）因式分解：4m2﹣1＝ ．
14．（3分）已知x2+2mx+9是一个完全平方式，则m＝ ．
15．（3分）已知3m＝4，3n＝5，则32m+n＝ ．
16．（3分）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 ．
17．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交CB于点D，连接AD．若AC＝8，BC＝15，则△ACD的周长为 ．
18．（3分）已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2，其中结论正确的是 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：16-(-1)2022-327+|1-2|．
20．（6分）先化简，再求值：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x=3．
21．（8分）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形ABCD的面积．
22．（8分）某中学计划根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，并随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）学校这次调查共抽取了 名学生；
（2）求抽取的学生中喜欢书法的人数，并补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“围棋”所在扇形的圆心角度数为 度；
（4）设该校共有学生2000名，请你估计该校有多少名学生喜欢足球．
23．（8分）如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC．
（1）求证：∠BAD＝2∠MAN；
（2）连接BD，若∠MAN＝70°，∠DBC＝40°，求∠ABC的度数．
24．（8分）如图，两个形状大小相同的长方形ABCD和长方形AEFG，点E在AB边上，AB＝a，BC＝b，且a＞b＞0．
（1）试用含a，b的代数式表示BE和GD的长度，BE＝ ，GD＝ ．
（2）请用含a，b的代数式表示图中△ABD和△DFG的面积和．
（3）当a2+b2＝60，ab＝20．求图中阴影部分的面积．
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿路线A→C→B→A运动．设点P的运动时间为t秒．
（1）求AC＝ ，AB边上的高＝ ；
（2）当点P在CB上时，①CP＝ （用含t的代数式表示）；
②若点P在△BAC的角平分线上，则t的值为 ；
（3）在整个运动过程中，直接写出△BCP是等腰三角形时，t的值．
26．（12分）已知：△ABC为等边三角形．
（1）如图1，点D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE．
①求证：△ABD≌△BCE．
②求∠AFE的度数．
（2）如图2，点D为△ABC外一点，∠BDC＝60°，BA、CD的延长线交于点E，连接AD，猜想线段AD、CD、BD之间的数量关系并加以证明．
（3）如图3，线段DB的长为3，线段DC的长为2，连接BC，以BC为边作等边△ABC，连接AD，直接写出当线段AD取最大值与最小值时∠BDC的度数．
湖南省衡阳市成章实验中学
2022-2023学年下学期八年级数学期末试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列各数中，无理数的是（ ）
A．3 B．227 C．38 D．8
【考点】无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、3是整数，是有理数，故选项错误；
B、227是分数，是有理数，故选项错误；
C、28=2是整数，是有理数，选项错误；
D、8是无理数，选项正确．
故选：D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a2 B．a3•a2＝a6 C．（﹣x3）2＝x6 D．（x2）3＝x3
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a与2a2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a3•a2＝a5，故B不符合题意；
C、（﹣x3）2＝x6，故C符合题意；
D、（x2）3＝x6，故D不符合题意；
故选：C．
3．（3分）若实数x，y满足|x﹣4|+y-8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．16 C．16或20 D．20
【考点】等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系．
【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意得
x﹣4＝0，解得x＝4，
y﹣8＝0，解得y＝8，
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8＝20．
故选：D．
4．（3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．5，11，12 B．2，3，4 C．4，6，7 D．3，4，5
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
【解答】解：A、52+112≠122，不能组成直角三角形，故此选项错误；
B、22+32≠42，不能组成直角三角形，故此选项错误；
C、42+62≠72，不能组成直角三角形，故此选项错误；
D、32+42＝52，能组成直角三角形，故此选项正确．
故选：D．
5．（3分）从调查消费者购买汽车能源类型的扇形统计图中可看出，人们更倾向购买的是（ ）
A．纯电动车 B．混动车 C．轻混车 D．燃油车
【考点】扇形统计图．
【分析】根据扇形图即可观察出纯电动车占的最多．
【解答】解：根据扇形图即可观察出纯电动车占的最多．
故答案为：A．
6．（3分）如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定方法，可以判断添加各个选项中的条件是否能够判断△ABC≌△DEF，本题得以解决．
【解答】解：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
又∵∠B＝∠E，
∴当添加条件AB＝DE时，△ABC≌△DEF（SAS），故选项A不符合题意；
当添加条件∠A＝∠D时，△ABC≌△DEF（AAS），故选项B不符合题意；
当添加条件AC＝DF时，无法判断△ABC≌△DEF，故选项C符合题意；
当添加条件AC∥FD时，则∠ACB＝∠DFE，故△ABC≌△DEF（ASA），故选项D不符合题意；
故选：C．
7．（3分）如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】角平分线的性质．
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得．
【解答】解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF＝6，
故选：D．
8．（3分）下列命题中，真命题的是（ ）
A．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．周长相等的两个三角形全等
C．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
D．全等三角形的面积相等，面积相等的两个三角形全等
【考点】命题与定理．
【分析】利用全等三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等，正确，是真命题，符合题意；
B、周长相等的三角形不一定全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：A．
9．（3分）小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：（24x4y3﹣■+6x2y2）÷（﹣6x2y）＝﹣4x2y2+3xy﹣y，你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是（ ）
A．﹣18x3y2 B．18x3y2 C．﹣2x3y2 D．12x3y2
【考点】整式的除法．
【分析】根据除式乘商式等于被除式求解即可．
【解答】解：∵（﹣6x2y）（﹣4x2y2+3xy﹣y）
＝24x4y3﹣18x3y2+6x2y2，
∴被墨水污染的地方应该是18x3y2．
故选：B．
10．（3分）学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（ ）
A．45 B．85 C．165 D．245
【考点】勾股定理．
【分析】由勾股定理求出AC＝5，再由三角形面积求出BD即可．
【解答】解：由勾股定理得：AC=32+42=5，
∵BD⊥AC，
∴△ABC的面积=12AC×BD=12×4×4，
∴BD=165，
故选：C．
11．（3分）如图，在直线l上有三个正方形A，B，C，若正方形A，C的面积分别是8，6，则正方形B的面积为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．18
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠EDF＝∠HFG，然后证明△EDF≌△HFG，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
【解答】解：如图，
由于A、B、C都是正方形，所以DF＝FH，∠DFH＝90°；
∵∠DFE+∠HFG＝∠EDF+∠DFE＝90°，即∠EDF＝∠HFG，
在△DEF和△HGF中，
∠EDF=∠HFG∠DEF=∠HGFDF=HF，
∴△DEF≌△FGH（AAS），
∴DE＝FG，EF＝HG；
在Rt△DEF中，由勾股定理得：DF2＝DE2+EF2＝DE2+HG2，
即SB＝SA+SC＝8+6＝14，
故选：C．
12．（3分）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（ ）
A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解答】解：如图：
将杯子侧面展开，
作A关于EF的对称点A′，
则AF+BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即A′B的长度，
∵A′B=A'D2+BD2=(302)2+(11-5+2)2=152+82=17（cm），
∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为17cm，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）因式分解：4m2﹣1＝ （2m﹣1）（2m+1） ．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：4m2﹣1＝（2m﹣1）（2m+1）．
故答案为：（2m﹣1）（2m+1）．
14．（3分）已知x2+2mx+9是一个完全平方式，则m＝ ±3 ．
【考点】完全平方式．
【分析】根据完全平方式的特点得出2mx＝±2•x•3，再求出m即可．
【解答】解：x2+2mx+9＝x2﹣mx+32，
∵x2+2mx+9是一个完全平方式，
∴2mx＝±2•x•3，
解得：m＝±3．
故答案为：±3．
15．（3分）已知3m＝4，3n＝5，则32m+n＝ 80 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【分析】先将算式32m+n变形为（3m）2×3n，再代入进行计算．
【解答】解：3m＝4，3n＝5，
∴32m+n＝（3m）2×3n＝42×5＝16×5＝80，
故答案为：80．
16．（3分）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 7 ．
【考点】勾股定理；实数与数轴；等腰三角形的性质．
【分析】先利用等腰三角形的性质得到OC⊥AB，则利用勾股定理可计算出OC=7，然后利用画法可得到OM＝OC=7，于是可确定点M对应的数．
【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，OA＝OB＝3，
∴OC⊥AB，
在Rt△OBC中，OC=BC2-OB2=42-32=7，
∵以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，
∴OM＝OC=7，
∴点M对应的数为7．
故答案为7．
17．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交CB于点D，连接AD．若AC＝8，BC＝15，则△ACD的周长为 23 ．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【分析】根据作图过程可得MN是线段AB的垂直平分线，得AD＝BD，进而可得△ACD的周长．
【解答】解：根据作图过程可知：
MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝8+15＝23．
故答案为：23．
18．（3分）已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2，其中结论正确的是 ①②③④ ．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【分析】①由条件证明△ABD≌△ACE，就可以得到结论；
②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD＝∠ACE，就可以得出∠BDC＝90°而得出结论；
③由条件知∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝45°，由∠ABD＝∠ACE就可以得出结论；
④△BDE为直角三角形就可以得出BE2＝BD2+DE2，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，就有BC2＝BD2+CD2就可以得出结论．
【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中
AD=AE∠BAD=∠CAEAB=AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE．故①正确；
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE．
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABD+∠AFB＝90°，
∴∠ACE+∠AFB＝90°．
∵∠DFC＝∠AFB，
∴∠ACE+∠DFC＝90°，
∴∠FDC＝90°．
∴BD⊥CE；故②正确；
③∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°．
∴∠ACE+∠DBC＝45°，故③正确；
④∵BD⊥CE，
∴BE2＝BD2+DE2，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，
∴DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，
∵BC2＝BD2+CD2，
∴2AB2＝BD2+CD2，
∴BD2＝2AB2﹣CD2，
∴BE2＝BD2+DE2＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2，
∴④正确．
故答案为：①②③④．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：16-(-1)2022-327+|1-2|．
【考点】实数的运算．
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣1﹣3+2-1
=2-1．
20．（6分）先化简，再求值：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x=3．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】根据整式的混合运算顺序先进行整式的化简，再代入值进行计算即可．
【解答】解：原式＝x2+4x﹣5+x2﹣4x+4
＝2x2﹣1，
当x=3时，原式＝2（3）2﹣1＝5．
21．（8分）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形ABCD的面积．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由AC平分∠BAD，得∠BAC＝∠DAC，根据CB⊥AB，CD⊥AD，得∠B＝90°＝∠D，用AAS可得△ABC≌△ADC；
（2）由（1）△ABC≌△ADC，得BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，求出S△ABC=12AB•BC＝6，即可得四边形ABCD的面积是12．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴∠B＝90°＝∠D，
在△ABC和△ADC中，
∠B=∠D∠BAC=∠DACAC=AC，
∴△ABC≌△ADC（AAS）；
（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，
∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，
∴S△ABC=12AB•BC=12×4×3＝6，
∴S△ADC＝6，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，
答：四边形ABCD的面积是12．
22．（8分）某中学计划根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，并随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）学校这次调查共抽取了 100 名学生；
（2）求抽取的学生中喜欢书法的人数，并补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“围棋”所在扇形的圆心角度数为 36 度；
（4）设该校共有学生2000名，请你估计该校有多少名学生喜欢足球．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据爱好舞蹈的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；
（2）根据（1）中的结果和扇形统计图中的数据，可以得到抽取的学生中喜欢书法的人数，并补全条形统计图；
（3）根据扇形统计图中的数据，可以得到在扇形统计图中，“围棋”所在扇形的圆心角度数；
（4）根据统计图中的数据，可以得到该校有多少名学生喜欢足球．
【解答】解：（1）学校这次调查共抽取了：25÷25%＝100（名），
故答案为：100；
（2）喜欢书法的人数为：100×（1﹣30%﹣10%﹣20%﹣25%）＝15（名），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）在扇形统计图中，“围棋”所在扇形的圆心角度数为：360°×10%＝36°，
故答案为：36；
（4）2000×30%＝600（名），
答：估计该校有600名学生喜欢足球．
23．（8分）如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC．
（1）求证：∠BAD＝2∠MAN；
（2）连接BD，若∠MAN＝70°，∠DBC＝40°，求∠ABC的度数．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）连接AC，N是BC的中点，AN⊥BC，即△ABC中，BC边长的中线和高重合，由三线合一逆定理可知AN平分∠ABC，即∠BAN＝∠CAN；同理可证∠CAM＝∠DAM，结合图形进行角的和差计算即可证明（1）的结论；
（2）连接BD，不难得到AB＝AD，由∠MAN可得∠BAD的度数，结合三角形内角和定理可得∠ABD的度数，至此本题不难解答．
【解答】（1）证明：连接AC，
∵在△ABC中，N是BC的中点，AN⊥BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AN平分∠BAC，即∠BAN＝∠CAN．
同理可证∠CAM＝∠DAM，
∴∠BAD＝∠BAN+∠CAN+∠CAM+∠DAM＝2（∠CAN+∠CAM）＝2∠MAN．
（2）解：连接BD．
∵∠MAN＝70°，
∴∠BAD＝2∠MAN＝140°．
由（1）的方法可得△ABC、△ACD是等腰三角形，
∴AB＝AC＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝20°．
∵∠DBC＝40°，
∴∠ABC＝60°．
24．（8分）如图，两个形状大小相同的长方形ABCD和长方形AEFG，点E在AB边上，AB＝a，BC＝b，且a＞b＞0．
（1）试用含a，b的代数式表示BE和GD的长度，BE＝ a﹣b ，GD＝ a﹣b ．
（2）请用含a，b的代数式表示图中△ABD和△DFG的面积和．
（3）当a2+b2＝60，ab＝20．求图中阴影部分的面积．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【分析】（1）根据线段的和差可得答案；
（2）分别找出△ABD与△DFG的边长，然后计算面积和即可；
（3）根据梯形ABFG的面积减去空白部分的面积，即可求出阴影部分的面积，并将已知的条件代入可求得答案．
【解答】解：（1）∵长方形ABCD和长方形AEFG大小相同，AB＝a，BC＝b，且a＞b＞0，
∴AE＝AD＝BC＝b，AB＝AG＝a，
∴BE＝GD＝AB﹣AE＝a﹣b；
故答案为：a﹣b，a﹣b；
（2）S△ABD+S△DFG=12•AB•AD+12•DG•FG=12ab+12b（a﹣b）＝ab-12b2；
（3）如图，
∵S阴影＝S梯形ABFG﹣S△ABD﹣S△DFG，
∴S阴影=12a（a+b）-12ab-12•b•（a﹣b）=12a2+12b2-12ab；
当a2+b2＝60，ab＝20时，S阴影=12×60-12×20＝30﹣10＝20．
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿路线A→C→B→A运动．设点P的运动时间为t秒．
（1）求AC＝ 4 ，AB边上的高＝ 2.4 ；
（2）当点P在CB上时，①CP＝ 2t﹣4 （用含t的代数式表示）；
②若点P在△BAC的角平分线上，则t的值为 83 ；
（3）在整个运动过程中，直接写出△BCP是等腰三角形时，t的值．
【考点】勾股定理；列代数式；等腰三角形的判定．
【分析】（1）由勾股定理可求得AC的值，再设斜边AB上的高为h，由面积法可求得答案；
（2）分两种情况计算即可：①当点P在CB上时，②当点P'在∠BAC的角平分线上时；
（3）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形，②当点P在线段AC上时，又分三种情况：BC＝BP；PC＝BC；PC＝PB，分别求得点P运动的路程，再除以速度即可得出答案．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，由勾股定理得：AC＝4．
设斜边AB上的高为h，
∵12AB•h=12AC•BC，
∴5h＝3×4，
∴h＝2.4．
∴AC的长为4，斜边AB上的高为2.4，
故答案为：4，2.4；
（2）已知点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，
①当点P在CB上时，点P运动的长度为：AC+CP＝2t，
∵AC＝4，
∴CP＝2t﹣AC＝2t﹣4．
故答案为：2t﹣4．
②当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P'作P'D⊥AB，如图：
∵AP'平分∠BAC，P'C⊥AC，P'D⊥AB，
∴P'D＝P'C＝2t﹣4，
∵BC＝3，
∴BP'＝3﹣（2t﹣4）＝7﹣2t，
在Rt△ACP'和Rt△ADP'中，
AP'=AP'P'D=P'C，
∴Rt△ACP'≌Rt△ADP'（HL），
∴AD＝AC＝4，
又∵AB＝5，
∴BD＝1，
在Rt△BDP'中，由勾股定理得：
12+（2t﹣4）2＝（7﹣2t）2，
解得：t=83，
故答案为：83；
（3）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，
①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形，
∴此时CP＝BC＝3，
∴AP＝AC﹣CP＝4﹣3＝1，
∴2t＝1，
∴t＝0.5；
②当点P在线段AB上时，若BC＝BP，
则点P运动的长度为：
AC+BC+BP＝4+3+3＝10，
∴2t＝10，
∴t＝5；
若PC＝BC，如图2，过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH，
在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，AC＝4，
∴AB•CH＝AC•BC，
∴5CH＝4×3，
∴CH=125，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：
BH=32-(125)2=1.8，
∴BP＝3.6，
∴点P运动的长度为：AC+BC+BP＝4+3+3.6＝10.6，
∴2t＝10.6，
∴t＝5.3；
若PC＝PB，如图3所示，过点P作PQ⊥BC于点Q，
则BQ＝CQ＝0.5×BC=32，∠PQB＝90°，
∴∠ACB＝∠PQB＝90°，
∴PQ∥AC，
∴PQ为△ABC的中位线，
∴PQ＝0.5×AC＝0.5×4＝2，
在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP=(32)2+22=2.5，
点P运动的长度为：AC+BC+BP＝4+3+2.5＝9.5，
∴2t＝9.5，
∴t＝4.75．
综上，t的值为0.5或4.75或5或5.3．
26．（12分）已知：△ABC为等边三角形．
（1）如图1，点D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE．
①求证：△ABD≌△BCE．
②求∠AFE的度数．
（2）如图2，点D为△ABC外一点，∠BDC＝60°，BA、CD的延长线交于点E，连接AD，猜想线段AD、CD、BD之间的数量关系并加以证明．
（3）如图3，线段DB的长为3，线段DC的长为2，连接BC，以BC为边作等边△ABC，连接AD，直接写出当线段AD取最大值与最小值时∠BDC的度数．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）①根据SAS证明三角形全等即可．
②利用全等三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题．
（2）如图2中，在DB上取一点J，使得CJ＝CD，利用全等三角形的性质证明BD＝AD+DC即可．
（3）如图3中，以CD为边向外作等边△CDT，连接BT．构造全等三角形，证明BT＝AD，求出BT的取值范围即可解决问题．
【解答】（1）①证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，
在△ABD和△BCE中，
AB=BC∠ABD=∠CBD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS）．
②解：如图1中，∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠AFE＝∠FBA+∠BAD＝∠FBA+∠CBE＝∠CBA＝60°．
（2）解：结论：BD＝AD+DC．
理由：如图2中，在DB上取一点J，使得CJ＝CD，
∵∠CDJ＝60°，CJ＝CD，
∴△CDJ是等边三角形，
∴∠JCD＝∠ACB＝60°，DJ＝DC＝CJ，
∴∠BCJ＝∠ACD，
在△BCJ和△ACD中，
CB=CA∠BCJ=∠ACDCJ=CD，
∴△BCJ≌△ACD（SAS），
∴BJ＝AD，
∴BD＝BJ+DJ＝AD+DC．
（3）解：如图3中，以CD为边向外作等边△CDT，连接BT．
∵CT＝CD，CB＝CA，∠TCD＝∠BCA＝60°，
∴∠TCB＝∠DCA，
在△TCB和△DCA中，
CT=CD∠TCB=∠DCACB=CA，
∴△TCB≌△DCA（SAS），
∴BT＝AD，
∵CT＝CD＝2，BD＝3，
∴3﹣2≤BT≤3+2，
∴1≤BT≤5，
∴1≤AD≤5．
∴AD的最小值为1，最大值为5．
当AD取最小值时，点T落在线段BD上，∠BDC＝60°，当AD取最大值时，点T落在BD的延长线上，∠BDC＝120°
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