第10讲 恒成立能成立问题-【高考备考题型讲义】备战2024年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

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第10讲 恒成立能成立3种常见题型
【考点分析】
考点一：恒成立问题
若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
考点二：存在性问题
若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
考点三：双变量问题
①对于任意的，总存在，使得；
②对于任意的，总存在，使得；
③若存在，对于任意的，使得；
④若存在，对于任意的，使得；
⑤对于任意的，使得；
⑥对于任意的，使得；
⑦若存在，总存在，使得
⑧若存在，总存在，使得．
【题型目录】
题型一：利用导数研究恒成立问题
题型二：利用导数研究存在性问题
题型三：利用导数处理恒成立与有解问题
【典型例题】
题型一：利用导数研究恒成立问题
【例1】（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）对任意正实数，不等式恒成立，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令，其中，则，
，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，所以，，.
故选：B.
【例2】【2022年全国甲卷】已知函数．
(1)若fx≥0，求a的取值范围；
【答案】(1)(−∞,e+1]
【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，
f'(x)=(1x−1x2)ex−1x+1 =1x(1−1x)ex+(1−1x)=x−1x(exx+1)令f(x)=0,得x=1
当x∈(0,1),f'(x)