实战演练04 高中常见的恒（能）成立问题（4大常考点归纳）-备战2025年高考数学（新高考卷）

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一、恒成立和有解问题思路一览
设函数的值域为或，或或中之一种，则
①若恒成立（即无解），则；
②若恒成立（即无解），则；
③若有解（即存在使得成立），则；
④若有解（即存在使得成立），则；
⑤若有解（即无解），则；
⑥若无解（即有解），则．
【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．
（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）
二、分离参数的方法
①常规法分离参数：如；
②倒数法分离参数：如；
【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】
③讨论法分离参数：如:
④整体法分离参数：如；
⑤不完全分离参数法：如；
⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．
【注意】
（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．
（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】
三、其他恒成立类型一
①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
③在上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法)
四、其他恒成立类型二
①，使得方程成立．
②，使得方程成．
五、其他恒成立类型三
①，；
②，；
③，；
④，．
①一元二次不等式中的恒（能）成立问题
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分类讨论，利用判别式小于0，即可得到结论
【详解】当，即时，，恒成立；
当时，，解之得，
综上可得
故选：
2．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）若关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】当时显然恒成立，当时参变分离可得恒成立，令，，根据单调性求出，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为关于的不等式对任意均成立，
当时，恒成立，
当时，恒成立，
令，，
因为与在上单调递增，
则在上单调递增，所以当时取得最大值，
即，
所以，则，
综上可得实数的取值范围为.
故选：D
3．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知命题：，若为假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用命题的关系、分离参数法、二次函数的图象与性质分析运算即可得解.
【详解】若命题为真命题，即：，
设，则由二次函数图象与性质知，
当时，最小值为，所以.
因为命题为假命题，所以，
即的取值范围为.
故选：A.
二、填空题
4．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）若命题“，”为假命题，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意知，命题的否定为真命题，再结合一元二次不等式恒成立求得的取值范围.
【详解】因为命题“，”为假命题，
所以命题“，”真命题，
所以，
解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
5．（2024高三·全国·专题练习）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用分离参变量思想，再用换元法转化到对钩函数求最小值，即可得到取值范围.
【详解】由，
因为，所以，令，
由，
构造函数，
即，当且仅当时取等号，
所以
故答案为：.
6．（2024高三下·全国·专题练习）已知，若对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】思路一：移向转换为对一切实数x恒成立，对分类讨论即可求解；思路二：移向构造函数，对分类讨论，转换为函数最小值大于0求参数即可；思路三：分离参数，构造函数，利用导数求最值即可求解.
【详解】解法一（运用判别式）：由已知可得，
即对一切实数x恒成立．
当时，不可能恒成立，
从而由二次函数的性质可得，只能，解得．
因此实数a的取值范围为．
解法二（利用二次函数图像与性质）：原不等式整理得，
令，则原问题转化为对恒成立．
当时，抛物线开口向下，显然不合题意；
当时，，其图像是一条直线，也不合题意；
当时，抛物线开口向上，只要，即．
解得或，∴，因此实数a的取值范围为．
解法三（参变分离，构造新函数，运用导数求解函数的单调性及最值）：
∵恒成立．
∴问题转化为对恒成立，从而．
令，则，
令，则或．
从而在，上单调递增，在上单调递减．
又，且当时，，故．
于是，因此实数a的取值范围为．
故答案为：.
②基本不等式中的恒（能）成立问题
一、单选题
1．（23-24高三上·江苏·阶段练习）若两个正实数满足且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】应用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，根据不等式恒成立及一元二次不等式的解法求参数m的范围.
【详解】由题设，
当且仅当时取等号，
又恒成立，即.
故选：A
2．（22-23高三上·江西宜春·阶段练习）设，且恒成立，则n的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】由基本不等式得出，，再由不等式的性质求解即可.
【详解】因为，所以，，，所以不等式恒成立等价于恒成立.
因为，，所以（当且仅当时等号成立），则要使恒成立，只需使，故n的最大值为4.
故选：C
3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．12B．24C．D．
【答案】B
【分析】令，不等式变形为，求出的最小值，从而得到实数的最大值.
【详解】，，变形为，
令，
则转化为
，即，
其中

当且仅当，即时取等号，可知.
故选：B
【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，先分离参数后，然后利用基本不等式求最值.
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
二、填空题
4．（23-24高三上·安徽·期中）若，，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题知可将式子构造为：，然后利用基本不等式从而求解.
【详解】因为，所以，
于是，
当且仅当，即时取等号，所以.
故答案为：.
5．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将变形为，利用均值不等式求的最小值即可求解.
【详解】因为，
所以
，
所以
，等号成立当且仅当，
所以，，
故实数a的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解.
③函数中的恒（能）成立问题
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知，且在区间恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在区间恒成立，只需要即可，再根据指数函数的单调性求出最大值即可得解.
【详解】由解析式易知：单调递增，
当时，恒成立，则，得．
故选：B．
2．（23-24高三下·河南·开学考试）已知正数满足，若恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】变形得到，变形得到，求出，得到答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
故，
即，
当且仅当时，等号成立，
故，实数的最小值为.
故选：D
3．（2024·福建厦门·一模）已知，，，则下列结论错误的为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】举例即可判断ABC；再根据基本不等式及三角函数的性质即可判断D.
【详解】对于A，当时，
，，此时，
所以，，故A正确；
对于B，当时，，，此时，
所以，，故B正确；
对于C，当时，
，，此时，
所以，，故C正确；
对于D，当时，
，当且仅当，即时取等号，
，
由，得，
而，
所以当，即时，，
所以，当且仅当时取等号，
而，所以，，故D错误.
故选：D.
4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求出分段函数的最小值；再求解不等式的解集即可.
【详解】因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，函数取得最小值.
又因为函数在区间上单调递增，
所以当时，.
综上可得函数的最小值为.
因为，使得成立，
所以，解得：或.
故选：C.
5．（2024·北京昌平·二模）已知函数若对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围.
【详解】因为，令，作出图象，如图所示，
令，由图知，要使对任意的都有恒成立，则必有，
当时，，由，消得到，
由，得到，即，由图可知，
故选：B.
二、填空题
6．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，问题转化为存在，为真命题，即，求出的最小值得解.
【详解】若命题任意“，”为假命题，
则命题存在，为真命题，
因为时，，
令，则，
则在上单调递增，
所以，
所以.
故答案为：.
7．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】将题中的已知条件转化为两个函数值域的关系求解即可.
【详解】函数在的值域为，
函数在的值域为，
因为对任意的，总存在使得成立，
所以，所以，解得.
故答案为：
8．（23-24高三下·湖南岳阳·阶段练习）已知函数在上恒成立，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题意，先求出在上的最小值为，然后分和讨论在上是否恒成立，即可得到答案.
【详解】因为，，
所以，，设，
所以，
所以在上单调递增，
所以在上的最小值为，
①当时，即时，在上单调递增，
又，所以函数在上恒成立，
所以满足题意；
②当时，即时，又在上单调递增，且，
所以，，使得，当时，，
即在上单调递减，又，
所以当时，，不满足恒成立，
综合①②可得实数a的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：求出在上的最小值为，通过讨论的正负得到函数在上恒成立时实数a的取值范围.
9．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知，，若对，使成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出的最大值，由题意可知，，分离参数a，结合二次函数性质，即可求得答案.
【详解】令，则，即，
所以（为辅助角，），
故，即，解得.
由题可知，，，即对，.
令，令，则，
当时，的最小值为，即，
则，即，
故答案为：
④利用导数研究不等式中的恒（能）成立问题
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）若，使得不等式成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用分离变量将问题转化为，使得恒成立，令，利用导数求出其最大值可得结果.
【详解】，使得不等式成立，可得．
令，则，令，解得，
令，解得，
所以函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以，则依题意有，
∴ 实数a的取值范围是．
故选：C．
2．（23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数，若在R上单调递增，则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．1D．e
【答案】C
【分析】求出导函数，利用导函数非负，得出不等式恒成立问题，参变量分离后，将恒成立问题转化为最值问题即可得解.
【详解】因为在R上单调递增，所以在R上恒成立，
等价于在R上恒成立，
令，易得在R上单调递增，
又
所以当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以实数a的最大值为1．
故选：C．
3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在上无极值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求导数确定单调性，讨论x的取值范围可得结果.
【详解】由题意得，，故，
因为函数在上无极值，
所以在R上恒成立，
当时，，
设，则，
当时，得，当时，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
从而，故，
当时，，则.
综上，.
故选：D.
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若存在，使得成立，则实数a的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将问题转化为“直线与函数的图象有交点”，然后利用导数分析的单调性以及取值，由此求解出的最大值.
【详解】存在，使得成立，
即在上有解，即在上有解，
所以直线与函数的图象有交点，
又，令，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以要使直线与函数的图象有交点，只需，
所以的最大值是，
故选：A．
5．（2024高三下·全国·专题练习）设函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设函数，求得，求得得到单调性，且的值，结合图象，列出不等式组，即可求解.
【详解】设函数，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
且，
图象如图，函数经过，要使存在唯一的正整数，
使得，即有唯一正整数解，
所以只要并且，即 ，解得.
故选：A．
6．（2024·四川宜宾·二模）已知不等式有解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分离参数转化为，构造函数，利用导数法求出，即为所求.
【详解】不等式有解，即，，只需要，
令，
，，
令，，
，所以函数在上单调递增，
又，，所以存在，使得，即，
，，即；，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，又由，可得，
.
.
故选：A.
【点睛】思路点睛：由题意问题转化为，，构造函数，利用导数求出的最小值，即只要.
二、填空题
7．（22-23高三上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若不等式（其中是自然对数的底数）对恒成立，则实数的取值范围为
【答案】
【分析】根据给定条件，分离参数构造函数，求出函数最小值即可作答.
【详解】，，令，，求导得：，
当时，当时，，即函数在上递减，在上递增，
因此当时，，则，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围 ．
【答案】
【分析】由题意，即，构造函数，利用导数求出最大值即可.
【详解】存在，使得可得，
构造函数，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，
则，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
9．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数，若在上恒成立，则a的取值范围是
【答案】
【分析】由题意知恒成立的不等式为，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法，继而构造函数，利用导数求解即可.
【详解】由题意知，其中
只需要恒成立，
令，，
，，
设，，则，
在单调递减，
在单调递减，
，
；
故答案为：
10．（2024·广西·模拟预测）已知函数，若的图象经过第一象限，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，列出不等式并分离参数，转化为能成立的问题求解即可.
【详解】由的图象经过第一象限，得，使得，即，
设，求导得，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，则，有，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
11．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围 ．
【答案】
【分析】分离参数得，设，利用导数求出其最小值即可.
【详解】因为，由，即，
即，设，
根据题意知存在，使得成立，即成立，
由，可得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
12．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）若对任意的正实数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意可将不等式等价转化为，进而构造函数，从而将恒成立问题等价转化成函数单调性问题，故通过函数单调性即可求解.
【详解】由题意，
令，则，
所以当时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，
由题意当且时，即恒成立，
所以在上单调递减，故，，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
13．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将不等式转化为，使得，设，求导确定单调性从而得函数最值，即可得实数的取值范围．
【详解】因为 ，使得，所以，
令，即，
因为，
设，，则，
所以在单调递减，又，
则当，当，
故函数在上单调递增，上单调递减，
所以的最大值为，所以，
即实数的取值范围是．
故答案为：
①一元二次不等式中的恒（能）成立问题
②基本不等式中的恒（能）成立问题
③函数中的恒（能）成立问题
④利用导数研究不等式中的恒（能）成立问题