第11讲 三角函数的图象与性质6大题型-【高考备考题型讲义】备战2024年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

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第11讲 三角函数的图象与性质6大题型
【题型目录】
题型一： 三角函数的周期性
题型二：三角函数对称性
题型三：三角函数的奇偶性
题型四：三角函数的单调性
题型五：三角函数的值域
题型六：三角函数的图像
【典例例题】
题型一： 三角函数的周期性
【例1】（2022·全国·兴国中学高三阶段练习（文））下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ）．
A． B．
C． D．

【例2】（2022江西景德镇一中高一期中（文））下列函数中①；②；③；④，其中是偶函数，且最小正周期为的函数的个数为（ ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数的最小正周期是（    ）
A． B． C． D．

【例4】设函数，则的最小正周期(　　)
A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关

【例5】（2022·全国·高一课时练习）函数的最小正周期为（    ）
A． B． C． D．

【例6】（2022·广西桂林·模拟预测（文））函数的最小正周期是（    ）
A． B． C． D．

【例7】（2022·全国·高一专题练习）的最小正周期是（     ）
A． B． C．2 D．3

【题型专练】
1.（2023全国高三题型专练）在函数①，② ，③，④中，最小正周期为 的所有函数为（ ）
A．②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④

2.（2022·河北深州市中学高三阶段练习）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ）
A． B．
C． D．

3.（2022·北京昌平·高一期末）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ）
A． B．
C． D．

4.（2022·陕西渭南·高二期末（理））函数的最小正周期是________．

5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的最小正周期为，则___．

6．（2022·浙江·杭十四中高一期末）函数的最小正周期为__________．


题型二：三角函数对称性
【例1】（江西省“红色十校”2023届高三上学期第一联考数学（文）试题）已知函数的两个相邻的零点为，则的一条对称轴是（    ）
A． B． C． D．

【例2】（2022全国高一课时练习）函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称

【例3】（2022·江西省万载中学高一阶段练习）把函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．

【例4】（2023福建省福州屏东中学高三开学考试多选题）已知函数的图像关于直线对称，则（    ）
A．函数为奇函数
B．函数在上单调递增
C．函数的图像向右平移个单位长度得到的函数图像关于对称，则的最小值是
D．若方程在上有个不同实根，则的最大值为

【例5】(2023江西省高三月考)若函数 (ω∈N+)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8

【例6】【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
（A） （B）
（C） （D）

【题型专练】
1.(2020·四川省泸县第四中学高三开学考试)已知函数则函数的图象的对称轴方程为( )
A． B．
C． D．

2.【2017·天津卷】设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则
A．， B．，
C．， D．，

3．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0）所得图象关于y轴对称，则a的最小值是（    ）
A． B． C． D．

4.【2018·江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．



5．（2022·广西南宁·高二开学考试多选题）把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（    ）
A．最小正周期为 B．单调递增区间
C．图像的一个对移中心为 D．图像的一条对称轴为直线

题型三：三角函数的奇偶性
【例1】（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知函数向左平移个单位后为偶函数，其中.则的值为（    ）
A． B． C． D．

【例2】（2022·广东·执信中学高一期中）对于四个函数，，，，下列说法错误的是（       ）
A．不是奇函数，最小正周期是，没有对称中心
B．是偶函数，最小正周期是，有无数多条对称轴
C．不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴
D．是偶函数，最小正周期是，没有对称中心

【例3】（2022·陕西师大附中高一期中）已知函数，若，，则（   ）
A． B．
C． D．

【例4】（2022·江西省铜鼓中学高二开学考试）将函数的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【例5】（2022·四川成都·模拟预测（理））函数在上的最大值与最小值的和为（    ）
A．-2 B．2
C．4 D．6

【例6】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知函数的图象向右平移个单位长度后， 得到函数 的图象， 若的图象关于原点对称， 则 （       ）
A． B． C． D．

【例7】（2022·陕西·定边县第四中学高三阶段练习（理））已知函数在处取到最大值，则（   ）
A．奇函数 B．偶函数
C．关于点中心对称 D．关于轴对称

【例8】（2023·全国·高三专题练习）写出一个最小正周期为3的偶函数___________.

【题型专练】
1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（    ）
A． B． C． D．

2.（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））已知函数，若，则（    ）
A．1 B．2 C． D．


3.（2022·湖南·周南中学高二期末）函数为偶函数的一个充分条件是（       ）
A． B．
C． D．

4．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））已知函数的最小正周期为π，将其图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．

5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上的最大值为，最小值为，则（   ）
A．1 B．2 C．3 D．4

6.（2022辽宁丹东·高一期末）写出一个最小正周期为1的偶函数______．

7.（2022·全国·高三专题练习）已知是奇函数，则的值为______．

8．（2022·河南·高二开学考试）将函数的图像向左平移个单位长度后得到偶函数的图像，则的最小值是______．

9.（2022·全国·高一单元测试）写出一个同时具有性质①；②的函数______（注：不是常数函数）．




题型四：三角函数的单调性
【例1】（湖南省永州市2023届高三上学期第一次高考适应性考试数学试题）将函数的图象向右平移个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则的单调递增区间是（    ）
A． B．
C． D．

【例2】（2022·陕西师大附中高一期中）按从小到大排列的顺序为（    ）
A． B．
C． D．

【例3】（2022·全国·高一单元测试）下列四个函数中，以为周期且在上单调递增的偶函数有（       ）
A． B． C． D．

【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，为f（x）的零点，为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在上单调，则ω的最大值为（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6

【例5】（2022·江西·上饶中学高一阶段练习）函数的单调增区间为________．

【例6】（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是（　　）
A． B．
C． D．


【题型专练】
1．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一阶段练习）已知函数为偶函数，其图像与直线的两个交点的横坐标分别为，若的最小值为，则该函数的一个单调递增区间为（    ）
A． B． C． D．

2.（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知函数，若，，则函数的单调递减区间为（    ）
A． B．
C． D．

3.（2022六盘山高级中学）函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．

4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中，若对于一切恒成立，则的单调递增区间是（   ）
A． B．
C． D．

5.（2022·全国·高二单元测试）已知函数，，则（    ）．
A．的图像关于点对称 B．图像的一条对称轴是
C．在上递减 D．在的值域为

6．(2022天津市静海区大邱庄中学高三月考)设函数，给出下列结论：
①的一个周期为
②的图象关于直线对称
③的图象关于点对称
④在单调递减
其中所有正确结论的编号是( )
A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④

7．（2022·全国·高一课时练习）关于函数，下列说法正确的是（    ）
A．的一个周期是 B．的最小值为2
C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称

8．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））若在是增函数，则a的最大值是（    ）
A． B． C． D．

9．（2022·全国·高一专题练习）若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．

10．（2022·全国·高三专题练习）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在上为增函数，则最大值为（    ）
A． B．2 C．3 D．

11．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知直线是函数图象的一条对称轴，则（    ）
A．是偶函数 B．是图象的一条对称轴
C．在上单调递减 D．当时，函数取得最小值

题型五：三角函数的值域
【例1】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））下列函数中，最大值是1的函数是（     ）
A． B．
C． D．

【例2】（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值是（　　）
A． B． C．1 D．

【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为___________.

【例4】（2022·江西·高三开学考试（文））已知函数的最小正周期为，则在区间上的值域为（    ）
A． B．
C． D．

【例5】（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知函数在区间上单调，且对任意实数均有成立，则（       ）
A． B． C． D．
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的最小值为（   ）
A． B． C． D．

【例7】（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值是__________．

【例8】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则（    ）
A．的最大值为3，最小值为1
B．的最大值为3，最小值为-1
C．的最大值为，最小值为
D．的最大值为，最小值为

【例9】（2022·全国·高一课时练习）已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围（    ）
A． B．
C． D．
【题型专练】
1．（2022·江西九江·高一期末）函数的最小值是（    ）
A． B． C． D．

2．（2022·河南焦作·高一期末）函数的最小值为（    ）
A． B． C． D．

3.【2018·北京卷】设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．
4．（2022·广西南宁·高二开学考试）已知函数，则函数的最大值为__________．

5．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域为_____________．

6．（2022·全国·高一专题练习）若奇函数在其定义域上是单调减函数，且对任意的，不等式恒成立，则取值范围是_________.

7.【2018·全国Ⅲ】函数在的零点个数为________．

8.（2022·上海市第十中学高一期末）已知函数（）.求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值.

9．（2022·湖南·雅礼中学高一期末）已知函数，．
(1)求的最小值；
(2)若在上有零点，求a的取值范围，并求所有零点之和．


题型六：三角函数的图像
【例1】（2022·陕西师大附中高三开学考试（理））函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【例2】（2022·陕西·延安市第一中学高一期中）函数的部分图象如图所示，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【例3】（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）如图表示电流强度I与时间t的关系在一个周期内的图像，则下列说法正确得是（    ）

A．
B．
C．时，
D．




【例4】（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习多选题）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（    ）

A．
B．的图象关于直线对称
C．
D．在上的值域为

【例5】（2022·河北·沧县风化店中学高二开学考试多选题）函数的部分图象如图所示，且满足，现将图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象.下列说法正确的是（    ）

A．在上是增函数
B．的图象关于对称
C．是奇函数
D．的最小正周期为
【例6】（2022·福建·高三阶段练习多选题）函数的部分图像如图所示，则（    ）

A．
B．
C．在区间上存在506个零点
D．将的图像向右平移3个单位长度后，得到函数的图像

【例7】（2022·江苏南通·高三开学考试多选题）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．的图象关于点对称
B．的图象向右平移个单位后得到的图象
C．在区间上单调递増
D．为偶函数



【例8】（2022·全国·高一单元测试多选题）已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法错误的是（    ）

A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是

【题型专练】
1．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习多选题）已知函数的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（    ）

A． B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称 D．函数的最小值为


2．（2022·湖北·襄阳市襄州区第一高级中学高二阶段练习多选题）函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．
B．若把图像上的所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则函数在上是增函数
C．若把函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则函数是奇函数
D．，若恒成立，则的取值范围为

3．（2022·安徽·高三开学考试）已知函数的部分图象如图所示，其中，则下列说法错误的是（    ）

A．的最小正周期为
B．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称
C．在 上单调递减
D．直线为图象的一条对称轴

4．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（        ）

A．直线是图象的一条对称轴
B．图象的对称中心为，
C．在区间上单调递增
D．将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象

5．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试多选题）函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ）．

A．该函数的解析式为
B．该函数图象的对称中心为，
C．该函数的单调递增区间是，
D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象




6．（2021·福建·福州十八中高三开学考试多选题）已知函数，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A． B．
C．在上单调递增 D．图像关于直线对称

7．（2022·辽宁·大连二十四中高三阶段练习多选题 ）函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）

A．函数的解析式为
B．函数的单调递增区间为
C．函数的图象关于点对称
D．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度