第07讲 导数中的5种同构函数问题-【高考备考题型讲义】备战2024年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

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第7讲 导数中的5种同构函数问题
【考点分析】
考点一：常见的同构函数图像
八大同构函数分别是：，，，，，，，我们通过基本的求导来看看这六大同构函数的图像，再分析单调区间及极值，以及它们之间的本质联系．

图1 图2 图3 图4

图5 图6 图7 图8
考点二：常见同构方法
（1）（2）
（3）（4）
【题型目录】
题型一：利用同构解决不等式问题
题型二：利用同构求函数最值
题型三：利用同构解决函数的零点问题
题型四：利用同构解决不等式恒成立问题
题型五：利用同构证明不等式
【典例例题】
题型一：利用同构解决不等式问题
【例1】（2022·河南·模拟预测（理））不等式的解集是（       ）
A． B．
C． D．

【例2】（2022·陕西宝鸡·一模（理））已知，，则下列关系式不可能成立的是（       ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·陕西·长安一中高二期末（理））已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（       ）
A． B． C． D．

【例4】（2022·江苏苏州·模拟预测）若x，，，则（       ）
A． B． C． D．

【例5】（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知、，，，则（       ）
A． B． C． D．

【题型专练】
1.（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中（理））已知，且满足，为自然对数的底数，则（       ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习（理））设，，，则（       ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东·中山市迪茵公学高二阶段练习）已知，下列不等式，成立的一个是（       ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题）已知满足，（其中是自然对数的底数），则（       ）
A． B． C． D．
5.（2022·四川·广安二中模拟预测（理））已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（       ）
A． B．
C． D．
6.（2022·福建·三明一中模拟预测）己知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若，则（       ）
A． B． C． D．
题型二：利用同构求函数最值
【例1】（2022·四川省通江中学高二期中（文））已知函数，若，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．

【例2】（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知函数，，若，，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·全国·高三专题练习（理））设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（       ）．
A．7 B．9 C．11 D．12
【题型专练】
1.（2022·四川绵阳·高二期末（理））已知函数，，若，，则的最小值是（       ）
A． B． C． D．
2.（2022·全国·高二期末）已知函数，若，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
题型三：利用同构解决函数的零点问题
【例1】（2022·海南华侨中学模拟预测）已知函数（且）有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（       ）．
A． B．
C． D．
【例2】（2022·全国·高三专题）已知函数有两个零点，则a的最小整数值为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3

【题型专练】
1.（2021·全国·模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于的方程（）可化为同构方程，则________，________．


2.（2022·辽宁·大连市普兰店区高级中学模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围．

题型四：利用同构解决不等式恒成立问题
【例1】（2022·广东广州·三模）对于任意都有，则的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．

【例2】（2022·全国·高三专题练习（文））已知e是自然对数的底数.若，使，则实数m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·宁夏中卫·三模（理））不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

【例4】（2022·陕西渭南·二模（文））设实数，对任意的，不等式恒成立，则λ的最小值为（       ）
A．e B． C． D．

【例5】（2022·辽宁·高二期中）已知，若在上存在x使得不等式成立，则的最小值为（       ）
A． B．1 C．2 D．

【例6】（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最大值为（       ）
A． B． C． D．

【题型专练】
1.（2022·辽宁葫芦岛·高二期末）已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为（       ）
A． B． C． D．

2.（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二期末）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

3.（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是（       ）
A．1 B．2 C． D．3


4.（2022·湖北·高二期末）若关于x的不等式在区间上恒成立，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．

5.（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（理））对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．


题型五：利用同构证明不等式
【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)已知，且，若，求证：.

【例2】（2022·海南中学高三阶段练习）已知函数.
（1）求的单调区间与极值.
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

【例3】（2022·河北·高三阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：．

【例4】（2022·河南郑州·二模（文））已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)当x>0时，证明：

【题型专练】
1．（2021·全国·高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

2.（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且，证明：.




3.（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知函数．
(1)讨论f(x)的单调性．
(2)若a＝0，证明：对任意的x>1，都有．