陕西省宝鸡市陈仓区2023届高三二模理科数学试题（含解析）

这是一份陕西省宝鸡市陈仓区2023届高三二模理科数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

陕西省宝鸡市陈仓区2023届高三二模理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
2．设复数，则（    ）
A． B． C． D．
3．已知，是两个不重合的平面，且直线，则“”是“”的（   ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知某样本的容量为50，平均数为36，方差为48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将24记录为34，另一个错将48记录为38.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（    ）
A． B．
C． D．
5．在中，内角，，的对边分别是，，，的面积，且，则的外接圆的半径为（    ）
A． B． C． D．
6．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
7．已知的展开式中各项系数的和为4，则该展开式中的常数项为（    ）
A．200 B．280 C． D．
8．已知函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式为（    ）
  
A． B． C． D．
9．更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之”，如图是该算法的程序框图，如果输入，，则输出的a是（    ）

A．23 B．33 C．37 D．42
10．已知函数在处取得最大值，则（    ）
A． B． C． D．
11．若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
12．已知点F为抛物线C：的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则的最小值为（    ）
A．64 B．54 C．50 D．48

二、填空题
13．已知向量满足，则 .
14．若是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则 .
15．在三棱锥中，是等边三角形，平面平面ABC，，，且三棱锥的所有顶点都在半径为4的球О的球面上，则三棱锥的体积为 .
16．已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，若，则的两条浙近线的斜率之积为 .

三、解答题
17．已知等差数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
18．盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶.由于盒子上没有标注，购买者只有打开后才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒内装有正版海贼王手办，且每个盲盒只装一个.某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机抽取了400人进行问卷调查，并全部收回.经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，男生占；而在未购买者当中，男生、女生各占50%.
(1)完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关？

女生
男生
总计
购买



未购买



总计



(2)从购买该款盲盒的人中按性别用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中随机抽取3人发放优惠券，记X为抽到的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E是棱PB上一点．

(1)求证：平面平面PBC；
(2)若E是PB的中点，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
20．已知椭圆E：过，两点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)已知，过的直线l与E交于M，N两点，求证：．
21．已知函数.
(1)若，证明：；
(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围.
22．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
(1)求直线的一个参数方程；
(2)在极坐标系中，方程表示曲线，若直线与曲线相交于，，三点，求线段的长．
23．已知函数．
(1)求的解集；
(2)设的最小值为，若正数，，满足，求的最大值．

参考答案：
1．B
【分析】先解出集合A，找到A的补集，再求出和B的交集.
【详解】因为，所以，又，所以．
故选：B．
2．C
【分析】由复数乘除法法则、共轭复数及复数的模计算公式可得结果.
【详解】由题意知，所以，所以.
故选：C.
3．B
【分析】由线面、面面关系，结合平面的基本性质判断线面关系，根据面面垂直的判定判断线面是否平行，再由充分、必要性定义判断条件间的充分、必要关系.
【详解】解：由，若，则可能平行或，充分性不成立；
由，，由面面垂直的判定知，必要性成立.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4．B
【分析】根据数据总和不变，则平均数不变，根据方差的定义得，而.
【详解】设收集的48个准确数据为，
所以，所以，
所以，又
，

，
故选：B.
5．D
【分析】先由正弦定理面积公式和余弦定理进行化简，找到，再根据正弦定理求解即可.
【详解】因为，所以，所以，
又，所以．
设的外接圆的半径为，所以，解得．
故选：D．
6．D
【分析】根据指对数的性质判断大小关系即可.
【详解】由，
所以.
故选：D
7．D
【分析】根据题意将代入，由各项系数的和为4可求得的值，再根据二次项展开式求出的通项
，分别与和相乘得到常数项，可求出的值，再合并即可得到结果.
【详解】由题意，令，得到展开式的各项系数和为，所以，解得.所以
，展开式的通项为
，令，解得；令，解得，
所以展开式中的常数项为.选项D正确，
故选D.
8．A
【分析】由图象确定以及周期，进而得出，再由得出的值.
【详解】显然，因为，所以，所以，
由，得，所以，，
即，．因为，所以，
所以．
故选：A．
9．B
【分析】根据程序框图依次计算得到答案.
【详解】根据程序框图，输入的，，因为，且，所以；第二次循环，；
第三次循环，；
第四次循环，，此时，输出.
故选：B
10．A
【分析】根据题意，由辅助角公式即可得到的值，然后由诱导公式化简即可得到结果.
【详解】因为，
其中，
当时，取得最大值，
即，所以，
所以
故选：A
11．C
【分析】设切点为，利用导数的几何意义，求得切线方程，根据切线过点，得到，设，求得，得出函数单调性和极值，列出方程组，即可求解.
【详解】设切点为，
由函数，可得，则
所以在点处的切线方程为，
因为切线过点，所以，
整理得，
设，所以，
令，解得或，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
要使得过点可作曲线的三条切线，
则满足，解得，即的取值范围是．
故选：C．
12．C
【分析】利用韦达定理表示出弦长和，利用基本不等式可求最小值.
【详解】抛物线：的焦点，
因为，所以直线，斜率存在，且均不为0.
设直线的方程为，，，
由得，
所以，所以，
因为，所以将中的替换为可得，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故的最小值是50.
故选:C.
13．15
【分析】将左右平方得到，代入求出所求值.
【详解】因为，所以，
又，，所以，
得，
所以.
故答案为：15.
14．
【分析】由奇、偶函数和周期函数的定义，可得的最小正周期，结合对数的运算性质可得答案．
【详解】解：由是定义在上的奇函数，为偶函数，
可得，，即，
所以，可得，
则的最小正周期为4，
当时，，
则．
故答案为：．
15．24
【分析】由几何关系可判断在上，即可列式求得棱长，即可求三棱锥体积.
【详解】因为，所以为所在截面圆的直径，又平面平面，为等边三角形，所以在上，如图所示，
设，则，，
所以，解得，所以，，
又，，所以，所以.
故答案为：24.

16．
【分析】设，进而根据点差法得，再根据得，进而得，再求渐近线的斜率之积即可得答案.
【详解】解：设，
因为是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，
所以①，②，③，④，
所以，②③得，整理得
所以，
因为双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，
所以，，
因为，
所以，即，整理得：，
所以，整理得，
所以，即，
所以，整理得，
因为的两条浙近线分别为，
所以，的两条浙近线的斜率之积为
故答案为：
17．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）利用等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，由此可得；
（2）利用裂项相消法可求得，由可证得结论.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得：，.
（2）由（1）得：，
，
，.
18．(1)表格见解析，有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关
(2)分布列见解析，2

【分析】（1）完成下面的列联表，计算得到，对比得到答案.
（2）X的所有可能取值为1，2，3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
【详解】（1）

女生
男生
总计
购买
80
40
120
未购买
140
140
280
总计
220
180
400
根据列联表中的数据，可得，
因为，所以有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关.
（2）抽取6人中，女生有：（人），男生有：（人）.
X的所有可能取值为1，2，3，
，，，
所以X的分布列为：
X
1
2
3
P



所以.
19．(1)证明见详解
(2)

【分析】（1）要证平面平面PBC，可证平面PBC，即设法证；
（2）以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面EAC法向量，结合线面角的正弦公式即可求解.
【详解】（1）因为，，，，作中点，连接，则，，，则，，所以，又平面ABCD，所以，，所以平面PBC，又平面，所以平面平面PBC；
（2）易知，，三垂直，故以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，则，，设平面法向量为，则，
即，令，则，设直线PA与平面EAC所成角为，
则，故直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.

20．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）将两点坐标代入，求出椭圆方程；
（2）依据斜率是否为零，分类讨论，斜率为零时易得结论，斜率不为零时证明QP平分，可得结论.
【详解】（1）由题知，椭圆E过，，
所以，解得，，
所以椭圆E的方程为．
（2）证明：当直线l的斜率为0时，直线l的方程为，所以，或，．
所以．
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，
由，得，
所以，，
，
所以，，所以

，
所以QP平分，因为，，
所以，即．
21．(1)证明见解析
(2)

【分析】(1)证明不等式成立，即证明，建立新的函数，求导判断函数的单调性，求出最值即可判断.
(2)对的正负分类讨论，当时，可以直接去绝对值.当时，转化为分段函数求导，求函数的最值即可解决.
【详解】（1）证明：因为的定义域为，所以若，.
要证，即证，即证.
令，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以.
（2）若对任意的恒成立，
即对任意的恒成立.
令.
若，则.
由（1）知，所以，又，所以，
又，所以，符合题意；
若，令，在上恒成立，
所以在上单调递增，又，，
所以存在唯一的，使得，且，
所以，当时，，
所以，所以在上单调递减.
当时，，所以，
当时，在上单调递增，所以，
所以当时，，所以在上单调递增，
所以，解得.
设，，所以在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，即.
综上所述，a的取值范围为.
【点睛】不等式的恒成立问题通常都转化为函数最值问题，通过求导，判断单调性，即可求得函数的最值.当参数范围不确定时，需要进行分类讨论，求导求函数的最值.
22．(1)（为参数）．
(2)6

【分析】（1）根据题意得到曲线表示过原点，倾斜角为的直线，进而写出一个参数方程；
（2）由，均在直线和曲线上，得到，，即可求得的长．
【详解】（1）解：由直线的极坐标方程为，
可得曲线表示过原点，倾斜角为的直线，此时斜率为，
可得曲线的一个参数方程为（为参数）．
（2）解：因，均在直线和曲线上，所以，，
，，
故．
23．(1)
(2)

【分析】（1）分，和三种情况求解即可；
（2）先分情况求出的最小值为2，则，两边平方化简后利用基本不等式可求得的最大值．
【详解】（1）当时，，解得；
当时，，解得（舍去）；
当时，，解得．
综上，的解集为．
（2）当时，；
当时，；
当时，．
所以的最小值为2，即，则，
所以
，
当且仅当时，取等号，
即，所以的最大值为．