2022届陕西省宝鸡市陈仓区高考模拟检测理科数学试题（二）

2022年陈仓区高考模拟检测试题（二）

理科数学参考答案

一、选择题：

二、填空题：

13.  60；   14.  1；    15.  ；    16.  .

三、解答题：

17.解：(1)由表中数据得的观测值，        

∴根据统计有的把握认为空间立体感和逻辑思维能力与性别有关.  (6分)      

(2)由题可知可能取值为、、，                                        

，     ，  ，                                                                                                                                    故的分布列为：

∴。                                    (12分)           

解：因为，所以由正弦定理可得：，
即，又，所以，且，
故．                 (6分)
因为，所以为锐角，又，所以，因为为钝角三角形，
所以为钝角．因为，所以，

解得．                                          (12分)

19. 解：选择：

因为，，，所以．又因为，，

平面．所以平面．       (5分)
由知，．因为四边形是正方形，所以．
如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，
，，，，．
设平面的一个法向量，则即
令，则，，所以．设直线与平面所成角为，
则．所以直线与平面所成角的正弦值为．(12分)
选择：因为，，，所以．又因为平面平面，

平面平面，平面 .所以平面．               (5分)
由知，．因为四边形是正方形，所以．
如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，
，，，，．
设平面的一个法向量，则即
令，则，，所以．设直线与平面所成角为，
则．所以直线与平面所成角的正弦值为．(12分)

20. 解：(1)由题意知：①，②

①②联立，解得，.所以椭圆的方程为；          (4分)
(2)①当直线的斜率不存在时，直线或，

当时，，则；②当斜率存在，设直线方程为，

设，

因为直线与圆相切，则，即.

直线与椭圆联立：得，

，即，

将代入得恒成立，且，，

所以

所以

令，即，

所以当时，取得最大值，且最大值为2.

综上，面积的最大值为2                                  (12分)

21. 解：Ⅰ因为，则，
又，所以在点处的切线方程为，即，
又该切线为，则且，所以；                  (4分)
Ⅱ函数定义域为，因为函数在内有两个不同的极值点，，
即等价于函数在内有两个不同的零点，．
设，由，
当时，，在上单调递增，至多只有一个零点；
当时，在上，单调递增；在上，单调递减，
所以，当时，，函数有两个零点，则必有，
即，解得，又易证，，
所以在和上各有一个零点，故有两个零点时，的范围为．(8分)
法：由可知，是的两个零点，不防设，
由且，得．

因为
令，则，记，，
由，令，．
又，则，即，
所以在上单调递增，故，即成立．所以不等式成立．(12分)
法：欲证，由，，则只需证：．
不防设，则且，
则，所以
令，则，记，，由，即在上单调递增，故，即成立．故．           (12分)
22．解： (1)由曲线：，化为，，

同理由：，可得直角坐标方程：，

联立，解得或，

∴与交点的直角坐标为，.      (5分)
(2)曲线：(为参数，)，

化为普通方程：，，其极坐标方程为： (，)，∵、都在上，∴，，

∴，

当时，取得最大值.                 (10分)
23.证明：(1)由于，，

           又、、、均为正数，且，，则，

即有，则；(5分)
 

  (2)充分性证明：若，则，

即，又，则，

于是，，

即有，即为；

必要性证明：若，则

即有，

又，则，

则有，即；

           综上可得，是的充要条件。(10分)