陕西省宝鸡市陈仓区等2地2023届高三下学期三模数学（理）试卷（含答案）

陕西省宝鸡市陈仓区等2地2023届高三下学期三模数学（理）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、设,则(   )

A. B. C.1 D.-1

2、设集合,,.若,,则(   )

A.-3 B.-1 C.1 D.3

3、某中学高一､高二和高三各年级人数见下表.采用分层抽样的方法调查学生的健康状况,在抽取的样本中,高二年级有20人,那么该样本中高三年级的人数为(   )

A.18 B.22 C.40 D.60

4、已知某圆锥的底面半径为1,高为,则它的侧面积与底面积之比为(   )

A. B.1 C.2 D.4

5、平面向量与相互垂直，已知，，且与向量的夹角是钝角，则(   )

A. B. C. D.

6、已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是(   )

A. B. C. D.

7、在中，若、分别是方程的两个根，则(   )

A. B. C. D.

8、2022年10月22日,中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕.某班举行了以“礼赞二十大､奋进新征程”为主题的联欢晩会,原定的5个学生节目已排成节目单,开演前又临时增加了两个教师节目,如果将这两个教师节目插入到原节目单中,那么不同的插法的种数为(   )

A.42 B.30 C.20 D.12

9、函数的图象如图所示,则(   )

A.

B.在上单调递增

C.的一个对称中心为

D.是奇函数

10、已知是定义在R上的偶函数,是定义在R上的奇函数,且在单调递减,则(   )

A. B.

C. D.

11、已知函数,点A,B分别是函数图象上的最高点和最低点.则的值为(   )

A. B.3 C. D.7

12、下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》,用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算.图中的AB,AC,BD,CD都是以O为圆心的圆弧,是为计算所做的矩形,其中M,N,K分别在线段,,上,,.记,,,则不成立的等式是(   )

A.  B.

C.  D.

二、填空题

13、函数的图象在处的切线方程为__________.

14、已知长方体的底面是边长为的正方形,若,则该长方体的外接球的表面积为__________.

15、若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为________.

16、已知函数在区间单调,其中为正整数,,且.则图像的一条对称轴__________.

三、解答题

17、如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，，.

(1)记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求；

(2)设点F在线段AP上，，，求二面角的余弦值.

18、记数列的前n项和为,且.

（1）求数列的通项公式；

（2）对任意,求数列的前项和.

19、一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目.

(1)若，求X的数学期望；

(2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值(以使得最大的N的值作为N的估计值).

20、设A,B为曲线上两点,A与B的横坐标之和为4.

（1）求直线AB的斜率；

（2）设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且,求直线AB的方程.

21、已知.

（1）当时,求曲线在点处的切线方程；

（2）当且时,证明：曲线在x轴的上方.

22、选修4-4：坐标系与参数方程

如图,在极坐标系Ox中,,弧,,所在圆的圆心分别是,曲线是弧,曲线是弧,曲线是弧.

（1）分别写出,,的极坐标方程；

（2）曲线M由,,构成,若点P在M上,且,求P的极坐标.

23、选修4-5：不等式选讲

已知.

（1）当时,求不等式的解集；

（2）若时不等式成立,求a的取值范围.

参考答案

1、答案：A

2、答案：B

3、答案：A

4、答案：C

5、答案：D

解析：设，则由题意得，即，

解得或，

设，当时，此时，

又因为向量夹角范围为，故此时夹角为锐角，舍去；

当时，此时，故此时夹角为钝角，

故选：D.

6、答案：C

解析：无论椭圆焦点位于x轴或y轴，根据点A，B，C为椭圆D的三个顶点，

若是正三角形，则，即，即，

即有，则，解得.

故选：C.

7、答案：B

解析：解：在中，若，分别是方程的两个根，

则，，

又，则，

即，，

则，，

即

，

故选：B.

8、答案：A

9、答案：B

10、答案：C

11、答案：B

12、答案：D

13、答案：

解析：

14、答案：

解析：

15、答案：或

解析：依题可设，圆心，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，

的最小值即为的最小值减去半径.

因为，，

设，

，由于恒成立，

所以函数在上递减，在上递增，即，

所以，即的最小值为.

故答案为：.

16、答案：

解析：

17、答案：(1)

(2)

解析：(1)因为与是底面圆弧所对的圆周角，

所以，

因为，所以在等腰中，，

所以，

因为是圆柱的底面直径，所以，则，

所以，则，即，

所以在等腰，，平分，则，

所以，则，

故在中，，，则，

在中，，

因为是圆柱的母线，所以面，

所以，

，

所以.

(2)以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，则，，，

则，，，，

所以，，，

因为，所以，

则，

设平面的法向量，则，即，

令，则，，故，

设平面的法向量，则，即，

令，则，，故，

设二面角的平面角为，易知，

所以，

因此二面角的余弦值为.

18、答案： （1）

（2）

解析：（1）由题设可知,当时,,则,

所以数列的通项公式

（2）由（1）知,则①.

②

①-②得

化简得.

19、答案：(1)20

(2)6666

解析：(1)依题意X服从超几何分布，且，，，

故.

(2)当时，，

当时，，

记，则

.

由，

当且仅当，

则可知当时，；

当时，，

故时，最大，所以N的估计值为6666.

20、答案：（1）

（2）

解析：（1）设,,则,,,

于是直线的斜率

（2）由得,

设,由题设知,解得,于是

设直线的方程为,帮线段的中点为,

故线段中点为

将代入得.

当,即时,.从而.

由题设知,即,解得.

所以直线的方程为.

21、答案：（1）

（2）见解析

解析：函数的定义域为.

（1）当时,.所以.

所以曲线在点处的切线方程为.

（2）当时,.令得或（舍去）.

当x变化时,,变化情况如下：

当,即时,在区间上单调递增,

则,即曲线在x轴的上方.

22、答案：（1）

（2）答案见解析

解析：（1）由题设可得,弧,,所在圆的极坐标方程分别为,,.

所以的极坐标方程为,的极坐标方程为,的极坐标方程为.

（2）设,由题设及（1）知

若,则,解得；

若,则,解得或；

若,则,解得.

综上,P的极坐标为或或或.

23、答案：（1）

（2）

解析：（1）当时,,即

故不等式的解集为.

（2）当时成立等价于当时成立.

若,则当时；

若,的解集为,所以,故.

综上,a的取值范围为.