陕西省宝鸡市陈仓区等2地2023届高三下学期三模数学(理)试卷(含答案)
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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、选择题
1、设,则( )
A. B. C.1 D.-1
2、设集合,,.若,,则( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
3、某中学高一、高二和高三各年级人数见下表.采用分层抽样的方法调查学生的健康状况,在抽取的样本中,高二年级有20人,那么该样本中高三年级的人数为( )
年级 | 人数 |
高一 | 550 |
高二 | 500 |
高三 | 450 |
合计 | 1500 |
A.18 B.22 C.40 D.60
4、已知某圆锥的底面半径为1,高为,则它的侧面积与底面积之比为( )
A. B.1 C.2 D.4
5、平面向量与相互垂直,已知,,且与向量的夹角是钝角,则( )
A. B. C. D.
6、已知点A,B,C为椭圆D的三个顶点,若是正三角形,则D的离心率是( )
A. B. C. D.
7、在中,若、分别是方程的两个根,则( )
A. B. C. D.
8、2022年10月22日,中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕.某班举行了以“礼赞二十大、奋进新征程”为主题的联欢晩会,原定的5个学生节目已排成节目单,开演前又临时增加了两个教师节目,如果将这两个教师节目插入到原节目单中,那么不同的插法的种数为( )
A.42 B.30 C.20 D.12
9、函数的图象如图所示,则( )
A.
B.在上单调递增
C.的一个对称中心为
D.是奇函数
10、已知是定义在R上的偶函数,是定义在R上的奇函数,且在单调递减,则( )
A. B.
C. D.
11、已知函数,点A,B分别是函数图象上的最高点和最低点.则的值为( )
A. B.3 C. D.7
12、下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》,用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算.图中的AB,AC,BD,CD都是以O为圆心的圆弧,是为计算所做的矩形,其中M,N,K分别在线段,,上,,.记,,,则不成立的等式是( )
A. B.
C. D.
二、填空题
13、函数的图象在处的切线方程为__________.
14、已知长方体的底面是边长为的正方形,若,则该长方体的外接球的表面积为__________.
15、若P,Q分别是抛物线与圆上的点,则的最小值为________.
16、已知函数在区间单调,其中为正整数,,且.则图像的一条对称轴__________.
三、解答题
17、如图,四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形,是圆柱的底面直径,是圆柱的母线,E是AC与BD的交点,,.
(1)记圆柱的体积为,四棱锥的体积为,求;
(2)设点F在线段AP上,,,求二面角的余弦值.
18、记数列的前n项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)对任意,求数列的前项和.
19、一个池塘里的鱼的数目记为N,从池塘里捞出200尾鱼,并给鱼作上标识,然后把鱼放回池塘里,过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼,X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目.
(1)若,求X的数学期望;
(2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识,试给出N的估计值(以使得最大的N的值作为N的估计值).
20、设A,B为曲线上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且,求直线AB的方程.
21、已知.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当且时,证明:曲线在x轴的上方.
22、选修4-4:坐标系与参数方程
如图,在极坐标系Ox中,,弧,,所在圆的圆心分别是,曲线是弧,曲线是弧,曲线是弧.
(1)分别写出,,的极坐标方程;
(2)曲线M由,,构成,若点P在M上,且,求P的极坐标.
23、选修4-5:不等式选讲
已知.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若时不等式成立,求a的取值范围.
参考答案
1、答案:A
2、答案:B
3、答案:A
4、答案:C
5、答案:D
解析:设,则由题意得,即,
解得或,
设,当时,此时,
又因为向量夹角范围为,故此时夹角为锐角,舍去;
当时,此时,故此时夹角为钝角,
故选:D.
6、答案:C
解析:无论椭圆焦点位于x轴或y轴,根据点A,B,C为椭圆D的三个顶点,
若是正三角形,则,即,即,
即有,则,解得.
故选:C.
7、答案:B
解析:解:在中,若,分别是方程的两个根,
则,,
又,则,
即,,
则,,
即
,
故选:B.
8、答案:A
9、答案:B
10、答案:C
11、答案:B
12、答案:D
13、答案:
解析:
14、答案:
解析:
15、答案:或
解析:依题可设,圆心,根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知,
的最小值即为的最小值减去半径.
因为,,
设,
,由于恒成立,
所以函数在上递减,在上递增,即,
所以,即的最小值为.
故答案为:.
16、答案:
解析:
17、答案:(1)
(2)
解析:(1)因为与是底面圆弧所对的圆周角,
所以,
因为,所以在等腰中,,
所以,
因为是圆柱的底面直径,所以,则,
所以,则,即,
所以在等腰,,平分,则,
所以,则,
故在中,,,则,
在中,,
因为是圆柱的母线,所以面,
所以,
,
所以.
(2)以C为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
不妨设,则,,,
则,,,,
所以,,,
因为,所以,
则,
设平面的法向量,则,即,
令,则,,故,
设平面的法向量,则,即,
令,则,,故,
设二面角的平面角为,易知,
所以,
因此二面角的余弦值为.
18、答案: (1)
(2)
解析:(1)由题设可知,当时,,则,
所以数列的通项公式
(2)由(1)知,则①.
②
①-②得
化简得.
19、答案:(1)20
(2)6666
解析:(1)依题意X服从超几何分布,且,,,
故.
(2)当时,,
当时,,
记,则
.
由,
当且仅当,
则可知当时,;
当时,,
故时,最大,所以N的估计值为6666.
20、答案:(1)
(2)
解析:(1)设,,则,,,
于是直线的斜率
(2)由得,
设,由题设知,解得,于是
设直线的方程为,帮线段的中点为,
故线段中点为
将代入得.
当,即时,.从而.
由题设知,即,解得.
所以直线的方程为.
21、答案:(1)
(2)见解析
解析:函数的定义域为.
(1)当时,.所以.
所以曲线在点处的切线方程为.
(2)当时,.令得或(舍去).
当x变化时,,变化情况如下:
x | |||
- | 0 | + | |
|
当,即时,在区间上单调递增,
则,即曲线在x轴的上方.
22、答案:(1)
(2)答案见解析
解析:(1)由题设可得,弧,,所在圆的极坐标方程分别为,,.
所以的极坐标方程为,的极坐标方程为,的极坐标方程为.
(2)设,由题设及(1)知
若,则,解得;
若,则,解得或;
若,则,解得.
综上,P的极坐标为或或或.
23、答案:(1)
(2)
解析:(1)当时,,即
故不等式的解集为.
(2)当时成立等价于当时成立.
若,则当时;
若,的解集为,所以,故.
综上,a的取值范围为.
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