陕西省宝鸡市陈仓区2023届高三二模文科数学试题（含解析）

这是一份陕西省宝鸡市陈仓区2023届高三二模文科数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

陕西省宝鸡市陈仓区2023届高三二模文科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足（是虚数单位），则（    ）
A． B． C．3 D．5
3．Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案．Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程．不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划．小张根据Keep记录的2022年1月至2022年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（    ）
  
A．月跑步里程逐月增加
B．月跑步里程最大值出现在10月
C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小
4．在等差数列中，，是方程的两个根，则的前23项的和为（    ）
A． B． C．92 D．184
5．已知，是两个不重合的平面，且直线，则“”是“”的（   ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若双曲线的渐近线与圆相切，则（    ）
A． B． C． D．
7．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
8．已知函数的图象在点处的切线方桯为.则的值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式为（    ）
  
A． B． C． D．
10．更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之”，如图是该算法的程序框图，如果输入，，则输出的a是（    ）

A．23 B．33 C．37 D．42
11．已知是等比数列的前项和，且，则（    ）
A． B． C． D．
12．已知点F为抛物线C：的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则的最小值为（    ）
A．64 B．54 C．50 D．48

二、填空题
13．已知向量，若，则 .
14．已知角的终边经过点，且，则 ．
15．若是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则 .
16．已知球O的表面积为，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，该四棱锥的高为 ．

三、解答题
17．记的内角的对边分别为，，.
(1)求的面积；
(2)若，求.
18．盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶.由于盒子上没有标注，购买者只有打开后才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒内装有正版海贼王手办，且每个盲盒只装一个.某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机抽取了400人进行问卷调查，并全部收回.经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，男生占；而在未购买者当中，男生、女生各占50%.
(1)完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关？

女生
男生
总计
购买



未购买



总计



(2)从购买该款盲盒的人中按性别用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中随机抽取3人发放优惠券，记X为抽到的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，平面，点是棱的中点，点是棱上的一点，且．
  
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
20．已知椭圆E：过，两点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)已知，过的直线l与E交于M，N两点，求证：．
21．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：．
22．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
(1)求直线的一个参数方程；
(2)在极坐标系中，方程表示曲线，若直线与曲线相交于，，三点，求线段的长．
23．已知函数．
(1)求的解集；
(2)设的最小值为，若正数，，满足，求的最大值．

参考答案：
1．D
【分析】通过解一元二次不等式得集合A，再求交集即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：D.
2．B
【分析】利用复数的除法法则及复数的模长公式即可求解.
【详解】由，得，
所以，
所以.
故选：B.
3．A
【分析】根据折线图，结合选项即可逐一求解.
【详解】由折线图可知，月跑步里程不是逐月增加的，故A不正确；
月跑步里程最大值出现在10月，故B正确；
月跑步里程数从小到大排列分别是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，故5月份对应的里程数为中位数，故C正确；
1月到5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳，故D正确．
故选:A．
4．C
【分析】根据等差数列的性质，结合求和公式即可求解.
【详解】，是方程的两个根，所以，所以的前23项的和．
故选:C．
5．B
【分析】由线面、面面关系，结合平面的基本性质判断线面关系，根据面面垂直的判定判断线面是否平行，再由充分、必要性定义判断条件间的充分、必要关系.
【详解】解：由，若，则可能平行或，充分性不成立；
由，，由面面垂直的判定知，必要性成立.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6．D
【分析】根据渐近线的公式写出直线方程，根据直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径列出方程求解.
【详解】双曲线的渐近线为，
即，由于对称性不妨取，
圆.即，
所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的
距离，解得或（舍去）.
故选:D.
7．A
【分析】利用指对数函数的单调性与图像性质及与特殊值（0，1）的比对，易知三者的大小关系.
【详解】由于在上单调递增，故，即；
由于在上单调递减且，故，即；
由于在上单调递增，故，即；
所以.
故选：A.
8．C
【分析】对函数求导，再求出处的切线方程，即可求得；
【详解】解：函数，则，函数的图象在点处的切线方桯为，
所以，解得，则.
故选：C.
9．A
【分析】由图象确定以及周期，进而得出，再由得出的值.
【详解】显然，因为，所以，所以，
由，得，所以，，
即，．因为，所以，
所以．
故选：A．
10．B
【分析】根据程序框图依次计算得到答案.
【详解】根据程序框图，输入的，，因为，且，所以；第二次循环，；
第三次循环，；
第四次循环，，此时，输出.
故选：B
11．A
【分析】由与的关系求出数列的通项公式，推导出数列为等比数列，确定其首项和公比，结合等比数列求和公式可求得所求代数式的值.
【详解】因为，所以，，
，
又是等比数列，所以，即，解得，所以．
当时，，又满足，
对任意的，，故数列是公比为的等比数列，
所以，，故数列是公比为，首项为的等比数列，
所以．
故选：A.
12．C
【分析】利用韦达定理表示出弦长和，利用基本不等式可求最小值.
【详解】抛物线：的焦点，
因为，所以直线，斜率存在，且均不为0.
设直线的方程为，，，
由得，
所以，所以，
因为，所以将中的替换为可得，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故的最小值是50.
故选:C.
13．/
【分析】根据向量坐标运算及垂直关系的向量表示求解即可.
【详解】解：因为，
所以，
因为，
所以，解得
故答案为：
14．/0.96
【分析】根据三角函数的定义列出求解出，得到，结合诱导公式和正弦二倍角公式即可计算得到答案.
【详解】由题意知，，，
所以，
化简得
解得或
又因为，即，所以，
所以角的终边经过点，所以，
所以．
故答案为：
15．
【分析】由奇、偶函数和周期函数的定义，可得的最小正周期，结合对数的运算性质可得答案．
【详解】解：由是定义在上的奇函数，为偶函数，
可得，，即，
所以，可得，
则的最小正周期为4，
当时，，
则．
故答案为：．
16．1
【分析】先得到圆的内接四边形中，正方形面积最大，从而得到当四棱锥的高一定时，要使体积最大，则要底面四边形面积最大，此时四棱锥的底面为正方形，表达出
，利用导函数得到其单调性，从而得到极值和最值情况，得到答案.
【详解】首先说明圆的内接四边形中，正方形面积最大，过程如下：如图1，四边形ABCD为圆内接四边形，面积为，设，圆的半径为，

由三角形面积公式得：



，
因为，
所以，
当且仅当为圆的直径且时，等号成立，
此时四边形ABCD为正方形，
即半径为的圆内接四边形中，正方形面积最大，最大面积为，
如图2，设球的半径为，则，解得：，
该四棱锥底面积为，四棱锥的高为，则其体积为，
当一定时，要使最大，则要最大，此时四棱锥的底面为正方形，
因为，由勾股定理得：，
所以，，
所以，当时，，
当时，，
即在单调递增，在上单调递减，
在时取得极大值，也是最大值.

故答案为：1
17．(1)
(2)

【分析】（1）利用切化弦，结合两角和差正弦公式可化简已知等式得到，利用正弦定理角化边可得，利用同角三角函数关系求得后，可得的值，代入三角形面积公式即可得到结果；
（2）利用正弦定理可求得，代入即可求得结果.
【详解】（1），，
即，，
由正弦定理得：，即，，
，则，
.
（2）由（1）知：；
由正弦定理知：，则，
，又，.
18．(1)表格见解析，有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关
(2)分布列见解析，2

【分析】（1）完成下面的列联表，计算得到，对比得到答案.
（2）X的所有可能取值为1，2，3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
【详解】（1）

女生
男生
总计
购买
80
40
120
未购买
140
140
280
总计
220
180
400
根据列联表中的数据，可得，
因为，所以有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关.
（2）抽取6人中，女生有：（人），男生有：（人）.
X的所有可能取值为1，2，3，
，，，
所以X的分布列为：
X
1
2
3
P



所以.
19．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）利用三角形中位线证明线线平行，即可由线面平行的判断求证，
（2）根据垂直关系以及相似求解长度，即可利用等体积法求解.
【详解】（1）连接交于，连接，如图所示．
  
因为四边形是正方形，所以是的中点，又点是棱的中点，
所以是的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）因为平面，，平面，所以，，
又，，，平面，所以平面，
又，平面，所以，．
在中，，，是的中点，所以，，
又，，，平面，
所以平面，所以是三棱锥的高．
在中，，，，所以，
所以，所以，
得，，，
．
在中，，，，
所以，所以，
所以．
设点到平面的距离为，所以，解得，
即点到平面的距离为．
20．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）将两点坐标代入，求出椭圆方程；
（2）依据斜率是否为零，分类讨论，斜率为零时易得结论，斜率不为零时证明QP平分，可得结论.
【详解】（1）由题知，椭圆E过，，
所以，解得，，
所以椭圆E的方程为．
（2）证明：当直线l的斜率为0时，直线l的方程为，所以，或，．
所以．
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，
由，得，
所以，，
，
所以，，所以

，
所以QP平分，因为，，
所以，即．
21．(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析

【分析】（1）求导，利用导数的正负，结合对的讨论即可求解，
（2）求解，将问题转化为证明，构造函数，利用导数求解最值即可求解.
【详解】（1）的定义域为，．
当时，对任意的恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得；令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）可知，当时，．
要证，只需证，即证．
令，，所以，
所以在上单调递增，所以，所以．所以．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．
22．(1)（为参数）．
(2)6

【分析】（1）根据题意得到曲线表示过原点，倾斜角为的直线，进而写出一个参数方程；
（2）由，均在直线和曲线上，得到，，即可求得的长．
【详解】（1）解：由直线的极坐标方程为，
可得曲线表示过原点，倾斜角为的直线，此时斜率为，
可得曲线的一个参数方程为（为参数）．
（2）解：因，均在直线和曲线上，所以，，
，，
故．
23．(1)
(2)

【分析】（1）分，和三种情况求解即可；
（2）先分情况求出的最小值为2，则，两边平方化简后利用基本不等式可求得的最大值．
【详解】（1）当时，，解得；
当时，，解得（舍去）；
当时，，解得．
综上，的解集为．
（2）当时，；
当时，；
当时，．
所以的最小值为2，即，则，
所以
，
当且仅当时，取等号，
即，所以的最大值为．