人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示优秀达标测试

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1.3 空间向量及其运算的坐标表示
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：空间直角坐标系；空间中点的坐标公式；空间两点间的距离；空间向量的坐标运算；空间向量平行的坐标表示；空间中垂直的坐标表示；空间向量夹角的余弦表示
3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
知识归纳

一、空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。

注：①点A（x,y,z）关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)
二、若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。空间中任一向量=（x,y,z）
三、空间向量的直角坐标运算律：
①若，，
则，
，，
，
，
。
②若，，
则。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
③定比分点公式：若，，，则点P坐标为。推导：设P（x,y,z）
则,显然，当P为AB中点时，
④，三角形重心P坐标为
⑤ΔABC的五心：
内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。（单位向量）
外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。
垂心P：高的交点：（移项，内积为0，则垂直）
重心P：中线的交点，三等分点（中位线比）
中心：正三角形的所有心的合一。
四、模长公式：若，，
则，
（5）夹角公式：。
ΔABC中①<=>A为锐角②<=>A为钝角，钝角Δ
（6）两点间的距离公式：若，，
则，
考点讲解
或

考点1：空间直角坐标系
例1（多选）．如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（       ）

A．点的坐标为，5，
B．点关于点对称的点为，8，
C．点关于直线对称的点为，5，
D．点关于平面对称的点为，5，
【方法技巧】
1. 利用空间直角坐标系点关于坐标轴对称的特点求解作答.
2. 理解对称的含义
【变式训练】
【变式1】．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（    ）
A． B． C． D．
【变式2】．已知空间点，则点P关于y轴对称的点的坐标为（       ）
A． B．
C． D．
【变式3】．点到坐标平面的距离是______.
考点2：空间中点的坐标公式
例2．已知在空间直角坐标系中，平行四边形ABCD三个顶点的坐标分别为，则顶点D的坐标为（       ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
1.善用中点坐标公式。
2.根据平行四边形对角线的交点为中点可得答案.
【变式训练】
【变式1】（多选）．已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（       ）

A．点的坐标为（2，0，2） B．
C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2）
【变式2】．已知、，则线段中点的坐标是______.
【变式3】．在空间直角坐标系中，已知，，则的中点P到坐标原点O的距离为______．
考点3：空间两点间的距离
例3．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为的正方体，的中点到的中点的距离为_____.

【方法技巧】
1.建立合适的空间直角坐标系，找到需要点的坐标。
2.由空间中两点的距离公式代入即可求出答案.
【变式训练】
【变式1】．空间点，，，若，则的最小值为_____.
【变式2】．已知为轴上一点，且点到点与点的距离相等，则点的坐标为_____.
考点4：空间向量的坐标运算
例4．若，则=（       ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
1.空间向量坐标之间的关系
2.利用向量线性关系的坐标运
【变式训练】
【变式1】．已知向量，，则在的方向上的数量投影为（       ）
A． B． C． D．
【变式2】．已知 =(3，2，－1)， (2，1，2)，则=___________．
【变式3】．已知空间向量，且，则n＝_______，向量与的夹角为_______．
考点5：空间向量平行的坐标表示
例5．向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【方法技巧】
1.空间向量平行即共线
2.根据空间向量平行的坐标运算计算得解.
【变式训练】
【变式1】．已知向量，，若，则（       ）
A．1 B． C． D．2
【变式2】．已知向量 ， 若 ，则实数________．
【变式3】．已知空间三点，，共线，则________，________．
考点6：空间中垂直的坐标表示
例6．已知，．
(1)求的值；
(2)当时，求实数k的值．
【方法技巧】
1.根据空间向量的坐标线性运算与数量积公式求解即可；
2.根据垂直的数量积表示，结合向量的坐标公式求解即可
【变式训练】
【变式1】．已知向量，且与互相垂直，则k的值为（       ）
A．－2 B．－ C． D．2
【变式2】．已知，若，则m的值为（       ）
A．3 B． C． D．4
考点7：空间向量夹角的余弦表示
例7．已知正方体的棱长为，是棱的中点，则与的夹角的余弦值大小为____________.
【方法技巧】
1.建立合适的空间之间坐标系
2.分别求出所需向量的坐标，利用求夹角的公式即可求出
【变式训练】
【变式1】．已知，，且，则向量与的夹角为（       ）
A． B． C． D．
【变式2】．如图，已知点在正方体的对角线上，．设则的值为_________．

【变式3】．已知，，，，为与的夹角，求的余弦值．
知识小结

①若，，
则，
，，
，
，
。
②若，，
则。
巩固提升

一、单选题
1．已知向量，若，则实数x的值为（       ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．已知，，，则下列结论正确的是（       ）
A．， B．，
C．， D．以上都不对
3．若点，，在同一条直线上，则（       ）
A．21 B．4 C．4 D．10
4．平行六面体中，，则点的坐标为（       ）
A． B． C． D．
5．已知，，则（       ）
A． B． C．0 D．1
6．已知，，则向量与的夹角为（       ）
A．90° B．60° C．30° D．0°
7．设、，向量，，且，，则（          ）
A． B． C． D．
8．已知，则在上的投影向量为（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知空间向量，，则下列正确的是（       ）
A． B． C． D．，
10．对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是（       ）
A．若，则，的夹角是钝角
B．若，，则
C．若，则
D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底
三、填空题
11．已知点,,，则中角的大小是_____．
12．已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为_____。
13．已知是直线l的方向向量，是平面a的法向量．若，则_________．
14．已知，若，则_________．
四、解答题
15．已知三棱锥中，平面ABC，，若，，，建立空间直角坐标系.

(1)求各顶点的坐标；
(2)若点Q是PC的中点，求点Q坐标；
(3)若点M在线段PC上移动，写出点M坐标.
16．设，，且.记.
(1)求与y轴正方向的夹角的余弦值；
(2)若，，，向量与、都垂直，且，求的坐标.