2023年黑龙江省哈尔滨十七中中考数学四模试卷（含解析）

这是一份2023年黑龙江省哈尔滨十七中中考数学四模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 717的相反数是( )
A. 717B. −717C. 177D. −177
2. 下列运算一定正确的是( )
A. (a2b3)2=a4b6B. 3b2+b2=4b4
C. (a+3)2=a2+9D. a3⋅a3=a9
3. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4. 八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 将抛物线y=x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为( )
A. y=(x+3)2+5B. y=(x−3)2+5C. y=(x+5)2+3D. y=(x−5)2+3
6. 如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7m，则树高BC为(用含α的代数式表示)( )
A. 7sinα
B. 7csα
C. 7tanα
D. 7tanα
7. 如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD，OA，若∠ADC=35°，则∠ABO的度数为( )
A. 25°B. 20°C. 30°D. 35°
8. 一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是( )
A. 23B. 12C. 13D. 19
9. 如图，小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点P处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该城墙CD的高度为( )
A. 6B. 8C. 10D. 18
10. 一辆汽车油箱中剩余的油量y(L)与已行驶的路程x(km)的对应关系如图所示．如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为35L时，那么该汽车已行驶的路程为( )
A. 150kmB. 165kmC. 125kmD. 350km
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 火星赤道半径约为3396000米，用科学记数法表示为______ 米.
12. 在函数y=2x5x+7中，自变量x的取值范围是______ ．
13. 计算 18−2 12的结果是______ ．
14. 把多项式2xy2−18x分解因式的结果是______ ．
15. 不等式组3x+6≥05−2x<−3的解集是______ ．
16. 已知反比例函数y=−6x的图象经过点(4,−m)，则m的值为______ ．
17. 如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点B逆时针方向旋转60°，得到△A′BC′，若A′C′⊥AB，则∠ABC′的度数为______ ．
18. 一个扇形的弧长是8πcm，圆心角是144°，则此扇形的面积是______ ．
19. 在△ABC中，∠ABC=60°，AB=8，AC=2 13，则BC的长为______ ．
20. 矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，把EB绕点E逆时针旋转15°交BC于点F，过点C作CG⊥EF于点G，连接BG，若CF=2BF，CE=6，则BG= ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题7.0分)
先化简，再求代数式(1x−1−x−3x2−2x+1)÷2x−1的值，其中x= 2cs45°+3tan30°
22. (本小题7.0分)
如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画以AB为一边的菱形ABEF，点E、F在小正方形的顶点上，且菱形ABEF的面积为3；
(2)在方格纸中画以CD为一边的等腰△CDG，点G在小正方形的顶点上，连接EG，使∠BEG=90°，并直接写出线段EG的长．
23. (本小题8.0分)
“小组合作学习”成为我区推动课堂教学改革，打造自主高效课堂的重要举措，某中学从七年级学生中随机抽取若干人作为样本，对“小组合作学习”实施前后学生的学习兴趣变化情况进行调查分析，统计如下：

其中小组合作学习后学生学习兴趣为“高”的人数比小组合作学习前学生学习兴趣为“高”的人数多5人，结合图中信息解答下列问题：
(1)求样本容量；
(2)通过计算补全小组合作学习后学生学习兴趣的统计图；
(3)通过“小组合作学习”前后学生学习兴趣的对比，请你估计小组合作学习后，某中学全校七年级2200名学生中学习兴趣“低”的学生有多少人？
24. (本小题8.0分)
已知：▱ABCD中，DE=BC，BE=EF．

(1)求证：AF=DC；
(2)如图2，连接AE，当AE=AF时，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中与∠B互补的角．
25. (本小题10.0分)
某商店准备从厂家购进甲、乙两种零件进行销售，若一个甲种零件的进价比一个乙种零件的进价多40元，用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍，
(1)求每个甲种零件，每个乙种零件的进价分别为多少元？
(2)商店根据市场需求，决定向该厂购进一批零件，购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的2倍还多5个，甲种零件每件售价为200元，乙种零件每件售价为150元，若本次购进的两种零件全部售出后，总获利不少于3450元，求该商店本次购进甲种零件至少是多少个？
26. (本小题10.0分)
△ABC内接于⊙O，直径BD与弦AC相交于点E，且∠BDC=2∠ABD．
(1)如图，求证：AB=AC；
(2)如图，点G为BD上一点，且DB−DC=2DG，求证：AG⊥BD；
(3)如图，在(2)的条件下，延长AG交⊙O于点F，过F作FH⊥AB于点H，交BD于点Q，交⊙O于点P，连接AP，过点H作直线MN//CD，分别交BC、PA于点M、N，若BM=125，CM=285，求HN的长．
27. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，直线y=2kx+6k与x轴、y轴分别交于点B、点A，直线y=−3x+b与x轴、y轴分别交于点D、点C，直线AB与直线CD交于点M(1,m)，且△COB的面积是332．
(1)如图1，求线段AC的长；
(2)如图2，当点P在线段MD上时，连接PA、PB，若点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)如图3，当点P在线段MD延长线上时，连接PA、PB，PA交x轴于点E，在PB上取点F，使BF=AE，连接FA交x轴于点G，且∠BPA=2∠OAG，过B作BH⊥AP于点H，在BH延长线上取点N，使∠BNP=∠BPC，求点N的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：717的相反数是−717，
故选：B．
符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可得出答案．
本题考查相反数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】A
【解析】解：A、(a2b3)2=a4b6，故A符合题意；
B、3b2+b2=4b2，故B不符合题意；
C、(a+3)2=a2+6a+9，故C不符合题意；
D、a3⋅a3=a6，故D不符合题意；
故选：A．
利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】B
【解析】解：A、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、原图既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4.【答案】C
【解析】解：从正面看，共有三列，每列的小正方形个数分别为2、1、2，
故选：C．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．
根据二次函数的平移变换，先得到将抛物线y=x2向上平移3个单位的解析式为y=x2+3，再得到将抛物线y=x2+3向右平移5个单位的解析式即可．
【解答】
解：将抛物线y=x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=x2+3，
将抛物线y=x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y=(x−5)2+3，
所以，将抛物线y=x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度得到的拋物线为y=(x−5)2+3．
故选：D．
6.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，tanα=BCAC，
则BC=AC⋅tanα═7tanαm，
故选：C．
根据正切的概念进行解答即可．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握以仰角俯角的概念以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】
解：∵AB为圆O的切线，
∴AB⊥OA，即∠OAB=90°，
∵∠ADC=35°，
∴∠AOB=2∠ADC=70°，
∴∠ABO=90°−70°=20°．
故选B．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
用红球的个数除以球的总个数即可得．
【解答】
解：∵袋子中一共有9个除颜色不同外其它均相同的小球，其中红球有6个，
∴摸出的小球是红球的概率是69=23，
故选：A．
9.【答案】B
【解析】解：根据题意得∠APB=∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴ABCD=BPPD，
即1.2CD=1.812，
∴CD=8(m)．
故选：B．
根据入射角与反射角的关系得到∠APB=∠CPD，则可证明Rt△ABP∽Rt△CDP，然后利用相似比可计算出CD．
本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度(测量距离)；借助标杆或直尺测量物体的高度．
10.【答案】A
【解析】解：当油箱中剩余的油量为35L时，那么该汽车已行驶的路程为：(50−35)×(500÷50)=150(km)，
故选：A．
由图象可知，汽车行驶10km耗油1L，据此解答即可．
本题考查了函数的图象，由题意得出汽车行驶10km耗油1L是解答本题的关键．
11.【答案】3.396×106
【解析】解：3396000=3.396×106．
故答案是：3.396×106．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】x≠−75
【解析】解：由题意得：5x+7≠0，
解得：x≠−75，
故答案为：x≠−75．
根据分母不为0可得：5x+7≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
13.【答案】2 2
【解析】解：原式=3 2−2× 22
=3 2− 2
=2 2．
故答案为：2 2．
直接化简二次根式，再合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
14.【答案】2x(y+3)(y−3)
【解析】解：原式=2x(y2−9)
=2x(y+3)(y−3)．
故答案为：2x(y+3)(y−3)．
直接提取公因式2x，再利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
15.【答案】x>4
【解析】解：3x+6≥0①5−2x<−3②，
解不等式①，得x≥−2，
解不等式②，得x>4，
故不等式组的解集为：x>4．
故答案为：x>4．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大”确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】32
【解析】解：点(4,−m)代入反比例函数y=−6x得，−m=−64=−32，
解得：m=32，
故答案为：32．
将点(4,−m)代入反比例函数y=−6x即可求出m的值．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
17.【答案】15°
【解析】解：∵△ABC绕点B逆时针方向旋转60°得到△A′BC′，
∴∠ABA′=∠CBC′=60°，∠A=∠A′，
∵A′C′⊥AB，
∴∠A′=90°−60°=30°，
∴∠A=30°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=12(180°−30°)=75°，
∴∠ABC′=∠ABC−∠CBC′=75°−60°=15°．
故答案为15°．
先根据旋转的性质得∠ABA′=∠CBC′=60°，∠A=∠A′，再由A′C′⊥AB，则根据互余可计算出∠A′=30°，则∠A=30°，接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠ABC=∠C=75°，然后计算∠ABC−∠CBC′即可．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．
18.【答案】40πcm2
【解析】解：设此扇形的半径是R，
则144360×2πR=8π，
解得R=10，
∴此扇形的面积为：
12lR=12×8π×10=40π(cm2).
故答案为：40πcm2．
首先设此扇形的半径是R，根据扇形的弧长为8πcm，圆心角为144°，求出扇形的半径是多少；然后根据S扇形=12lR(其中l为扇形的弧长)，求出此扇形的面积为多少即可．
此题主要考查了扇形的面积的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n360πR2或S扇形=12lR(其中l为扇形的弧长)．
19.【答案】6或2
【解析】解：作AD⊥BC于D，
当点D在BC上时，如图，

∵∠ABC=60°，∠ADB=90°，
∴∠BAD=30°，
∴BD=12AB=4，
∴AD= AB2−BD2= 82−42=4 3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，CD= AC2−AD2= (2 13)2−(4 3)2=2．
∴BC=BD+CD=4+2=6，
当点D在BC延长线上时，如图，

同理可得BC=BD−CD=4−2=2，
∴BC=6或2，
故答案为：6或2．
作AD⊥BC于D，分点点D在BC上或点D在BC的延长线上两种情形，分别利用勾股定理求出CD的长，即可解决问题．
本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，三角形的高等知识，熟练运用勾股定理和分类讨论思想是解题的关键．
20.【答案】3 2
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠A=90°，AD//BC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=45°，
∴∠AEB=∠CBE=45°，
∵∠BEF=15°，
∴∠AEF=60°=∠CFE，
∵CG⊥EF，
∴∠CGF=∠CGE=90°，
∴∠FCG=30°，
∴FG=12CF，
∵CF=2BF，
∴GF=BF，
∴∠FBG=∠FGB，
∴∠CFE=2∠FBG=2∠FGB，
∴∠FBG=∠FGB=30°=∠FCG，
∴BG=CG，
∵∠FGB=∠BEF+∠EBG，
∴∠EBG=15°=∠BEF，
∴BG=EG=CG，
∴△EGC是等腰直角三角形，
∵CE=6，
∴CG= 22CE=3 2=BG；
故答案为：3 2．
由题意易得∠ABC=∠A=90°，AD//BC，∠ABE=∠CBE=45°，则有∠AEF=60°=∠CFE，然后可得GF=BF，进而可得BG=EG=CG，最后问题可求解．
本题主要考查矩形的性质、含30°角的直角三角形的三边关系及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、含30°角的直角三角形的三边关系及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．
21.【答案】解：原式=[x−1(x−1)2−x−3(x−1)2]⋅x−12
=x−1−x+3(x−1)2⋅x−12
=2(x−1)2⋅x−12
=1x−1，
∵x= 2× 22+3× 33=1+ 3，
∴原式=11+ 3−1= 33．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，涉及到实数的运算及特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图所示：
(2)如图所示：
EG= 12+22= 5．
【解析】(1)根据题意、菱形的四边相等，菱形面积公式画图即可；
(2)根据等腰直角的性质和题意画图即可．
本题考查的是设计作图、菱形的性质，勾股定理的应用，正确理解题意和菱形的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)小组合作学习前学生学习兴趣为“高”的人数为35−5=30(人)，
所占的百分比为1−25%−20%−25%=30%，
样本容量为30÷30%=100；
(2)“小组合作学习”学习兴趣“中”的人数是100−30−35−5=30(人)，补图如下：

(3)2200×5100=110(人)，
答：估计中学全校七年级2200名学生中学习兴趣“低”的学生有110人．
【解析】(1)先求出小组合作学习前学生学习兴趣为“高”的人数，再除以其所占的百分比，即可得出样本容量；
(2)用抽查的总人数减去学习兴趣很高、高和低的人数，求出学习兴趣“中”的人数，从而补全统计图；
(3)用全校七年级的总人数乘以小组合作学习后学习兴趣“低”的学生所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了样本容量以及利用样本估计总体．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，AD//BC，
连接AE，

∴∠DAE=∠AEB，
∵DE=BC，
∴DE=AD，
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠AEB=∠DEA=∠AEF，
在△ABE与△AFE中，
AE=AE∠AEB=∠AEFBE=EF，
∴△ABE≌△AFE(SAS)，
∴AB=AF，
∵AB=CD，
∴AF=CD；
(2)解：图中与∠B互补的角是∠BAD，∠BCD，∠AEC，∠AFD；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠BAD=180°，∠B+∠BCD=180°，
∵AE=CD，
∴四边形AECD是等腰梯形，
∴∠AEC=∠BCD，
∴∠B+∠AEC=180°，
∵AD=EC，∠ADF=∠DEC，AF=DC，
∴△ADF≌△EDC(SAS)，
∴∠AFD=∠BCD，
∴∠B+∠AFD=180°．
【解析】(1)根据等边对等角得出∠DAE=∠DEA，进而利用SAS证明△ABE与△AFE全等，进而解答即可；
(2)根据全等三角形的性质和平行四边形的性质以及等腰梯形的性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等且平行解答．
25.【答案】解：(1)设每个乙种零件的进价为x元，则每个甲种零件的进价为(x+40)元，
依题意，得：4000x+40=2×1500x，
解得：x=120，
经检验，x=120是分式方程的解，且符合题意，
∴x+40=160．
答：每个甲种零件的进价为160元，每个乙种零件的进价为120元；
(2)设该商店本次购进甲种零件m个，则购进乙种零件(2m+5)个，
依题意，得：(200−160)m+(150−120)(2m+5)≥3450，
解得：m≥33，
∵m为正整数，
∴m的最小值为33．
答：该商店本次购进甲种零件至少是33个．
【解析】(1)设每个乙种零件的进价为x元，则每个甲种零件的进价为(x+40)元，根据数量=总价÷单价结合用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设该商店本次购进甲种零件m个，则购进乙种零件(2m+5)个，根据总利润=单个利润×销售数量，结合总获利不少于3450元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】(1)证明：设∠ABD=α，∠BDC=2α，
∴∠BAC=∠BDC=2α，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠CBD=90°−∠BDC=90°−2α，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=90°−α，
∴∠ACB=180°−∠BAC−∠ABC=180°−2α−(90°−α)=90°−α，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
(2)证明：如图1，

连接AD，在BD上截取BF=CD，连接AF，
∴BD−CD=BD−BF=DF，
∵BD−CD=2DG，
∴DF=2DG，
∴DG=FG，
∵∠ABD=∠ACD，AB=AC，
∴△ABF≌△ACD(SAS)，
∴AF=AD，
∴AG⊥BD；
(3)如图2，

作AR⊥BC于R，连接BF，作NT⊥AB于T，
可得AR过点O，
∵BM=125，CM=285，
∴BC=8BM+CM=8，
∵AB=AC，
∴BR=CR=12BC=4，
∴MR=BR−BM=4−125=85，
∵MN⊥BC，
∴MN//AR，
∴BHAH=BMMR=32，
设BH=3a，AH=2a，AG=x，则AB=5a，
∵直径BD⊥AF，
∴AF=2AG=2x，AD=DF，
∴∠ABF=2∠ABD，
∵FH⊥AB，
∴∠BHQ=∠AGB=90°，
∵cs∠BAG=cs∠FAH，
∴AGAB=AHAF，
∴x5a=2a2x，
∴x= 5a，
∴AG= 5a，
∴BG= AB2−AG2=2 5x，
∴tan∠BAG=AGBG=12，
∵OA=OB，
∴∠BAR=∠BAG，
∴tan∠BAR=BRAR=12，
∴AR=2BR=8，
∴AB= AR2+BR2= 42+82=4 5，
∴AH=25AB=8 55，
∵∠P=∠ABF=2∠ABD，∠AOG=2∠ABD，
∴∠P=∠AOG，
∴90°−∠P=90°−∠AOG，
∴∠PAH=∠OAG，
设OA=OB=r，则OR=AR−OA=8−r，
在Rt△BOR中，由勾股定理得，
r2−(8−r)2=42，
∴r=5，
∴OR=8−r=3，
∴tan∠OBR=ORBR=34，
∵∠AOG=∠BOR，∠BRO=∠AGO=90°，
∴∠OAG=∠OBR，
∴∠PAH=∠OBR，
∴tan∠PAH=NTAT=34，
设NT=3t，AT=4t，
∵tan∠AHN=tan∠BHM=tan∠BAR=BRAR=12，
∴NTHT=12，
∴HT=2NT=6t，
∴AH=AT+HT=4t+6t=10t，
∴10t=8 55，
∴t=425 5，
∴NT=3t=12 525，HT=2425 5，
∴HN=125．
【解析】(1)设∠ABD=α，∠BDC=2α，可表示出∠BAC=∠BDC=2α，进而得出∠ABC=∠ACB=90°−α，从而∠ABC=∠ACB，进而得出AB=AC；
(2)连接AD，在BD上截取BF=CD，连接AF，可推出DG=FG，进而证明△ABF≌△ACD，从而AF=AD，进而得出AG⊥BD；
(3)作AR⊥BC于R，连接BF，作NT⊥AB于T，可得出BR=CR=12BC=4，MR=BR−BM=4−125=85，由MN//AR得出BHAH=BMMR=32，从而设BH=3a，AH=2a，AG=x，则AB=5a，AF=2AG=2x，由cs∠BAG=cs∠FAH得出AGAB=AHAF，从而x5a=2a2x，于是得出x= 5a，AG= 5a，BG=2 5x，从而tan∠BAG=AGBG=12，由∠BAR=∠BAG得出tan∠BAR=BRAR=12，于是AR=2BR=8，从而得出AB=4 5，从而AH=25AB=8 55，由∠P=∠ABF=2∠ABD，∠AOG=2∠ABD，可得出∠P=∠AOG，进而得出∠PAH=∠OAG，设OA=OB=r，则OR=AR−OA=8−r，在Rt△BOR中得出r2−(8−r)2=42，解得r=5，OR=8−r=3，从而得出tan∠OBR=ORBR=34，进而得到tan∠PAH=NTAT=34，解斜三角形AHN：设NT=3t，AT=4t，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是根据三角函数的定义得出比例式，求得三角形各边的长度．
27.【答案】解：(1)在直线y=2kx+6k上，令y=0，2kx+6k=0，
x=−3，B(−3,0)，OB=3，
∵S△COB=12OB⋅OC=32OC=332，
∴OC=11，C(0,11)，
∵直线y=−3x+b过C(0,11)，
解得b=11，
∴y=−3x+11，
∵M在直线y=2kx+6k上，过M(1,8)，
2k+6k=8，k=1，y=2x+6，
在直线y=2x+6上，
令x=0，y=6，A(0,6)，OA=6，
∴AC=OC−OA=5；
(2)在直线y=−3x+11上，令y=0，−3x+11=0，x=113，
D(113,0)，OD=113，
过点P作PW⊥x轴于W，过A作AT⊥PW交WP延长线于T，

∴∠PWB=∠T=90°=∠AOW，
∴四边形AOWT是矩形，
∴AT=OW，AO=TW=6，
∵P在直线y=−3x+11上，P(t,−3t+11)，
∴S△PAB=S梯形ABWT−S△PWB−S△ATP
=12(AT+BW)⋅TW−12PW⋅BW−12AT⋅PT
=12(t+3+t)×6−12(3+t)(−3t+11)−12t[6−(−3t+11)]
=152t−152，
∴S=152t−152；
(3)设∠OAG=α，则∠BPA=2∠OAG=2α，设∠PAF=β，
∴∠AFB=∠BPA+∠PAF=2α+β，
在BO上截取OK=OG，连接AK，可得△AOK≌△AOG，

∴∠KAO=∠GAO=α，∠KAE=2α+β=∠AFB，
过点B作BL⊥AF于L，
过点E作ER⊥AK于R，
∴∠BLF=∠ARE=90°，
∵BF=AE，
∴△BLF≌△ERA(AAS)，
∴BL=ER，FL=AR，∠FBL=∠AER=90°−2α−β，
在△KER和△GBL中，
∠KRE=∠GLB=90°∠RKE=∠LGB=90°−αBL=ER，
∴△KER≌△GBL(AAS)，
∴KR=GL，KE=GB，
∴KG+EG=KG+BK，
∴EG=BK，
∵OK=OG，
∴OB=OE=3，
又∵AO=AO，∠AOB=∠AOE=90°，
∴△AOB≌△AOE(SAS)，E(3,0)
设直线AE的解析式为y=kx+b1，
把A(0,6)和E(3,0)代入得b1=63k+b1=0，
解得k=−2b1=6，
∴直线AE解析式为y=−2x+6，
∵点P是直线CD上的点，
∴把P(t,−3t+11)代入得−2t+6=−3t+11，
解得t=5，P(5,−4)，
在△AOE中，tan(α+β)=OEOA=36=12，
过点P作PW⊥x轴于W，
在△BWP中，tan∠PBW=tan(90°−3α−β)=PWBW=43+5=12，
∴90°−3α−β=α+β，
∴2α+β=45°，α+β=45°−α，
∴∠BFL=2α+β=45°，
∵∠BLF=90°，
∴∠FBL=∠BFL=45°，
∴BL=FL，
∴△BLF是等腰直角三角形，
∵∠BAF=2α+β=45°=∠AFB，
∴∠ABF=90°，
∴AB=FB，
∴△ABF是等腰直角三角形，
过点M作MI⊥x轴于I，
∵B(−3,0)，M(1,8)，
∴BI=4，MI=8，
在Rt△BMI和Rt△PBW中，
BI=PW=4，∠BIM=∠PWB=90°，
MI=BW=8，
∴△BMI≌△PBW(SAS)，
∴BM=BP，
∴△BMP是等腰直角三角形，∠BMP=45°=∠BAF，
∴AF//MP，
∴∠PAF=∠APM=β，
∴∠BPC=45°=∠BNP，
∴HN=HP，
∵BH⊥AP，
∴△PHN是等腰直角三角形，
∵∠OAE=α+β=45°−α，
∴∠AEO=45°+α，
过点N作NV⊥x轴于V，
∵∠PDV=∠PBD+∠BPM=90°−3α−β+45°
=90°−α−(2α+β)+45°
=90°−α−45°+45°
=90°−α=∠ODC，
∴∠OCD=α，设PN交x轴于点Q，
∠VQN=∠NBD+∠BNQ=α+β+45°=45°−α+45°=90°−α=∠PQD，
∴∠PDQ=∠PQD=90°−α，
∴PD=PQ，
∴△PDQ是等腰三角形，
∵PW⊥DQ，
∴DW=QW=5−113=43，
∴DQ=83，
W(5,0)，BQ=BW+WQ=8+43=283，
∵PW//NV，
∴∠QPW=∠QNV=α，
∴QVNV=tanα=13，
设QV=m，则NV=3m，
在Rt△BVN中，tan∠NBV=tan∠PBD=tan(45°−α)=NVBV=12，
∴3m283+m=12，
解得m=2815，
∴NV=3×2815=285，
∴OV=BQ+QV−OB=283+2815−3=415，
∴N(415,285)．
【解析】(1)根据直线y=2kx+6k推出点B坐标，结合△COB的面积是332，求出点C坐标，代入y=−3x+b求出完整表达式，再得到点M坐标，再代入y=2kx+6k求出表达式，得到点A坐标，最后根据AC=OC−OA计算即可；
(2)过点P作PW⊥x轴于W，过A作AT⊥PW交WP延长线于T，根据表达式结合S△PAB=S梯形ABWT−S△PWB−S△ATP，代入化简计算即可；
(3)在BO上截取OK=OG，连接AK；过点B作BL⊥AF于L，过点E作ER⊥AK于R；过点M作MI⊥x轴于I，过点P作PW⊥x轴于W，过点N作NV⊥x轴于V.推理证明△AOB≌△AOE，求出直线AE表达式，再求出点P坐标，根据三角函数列方程求出QV，算出NV，再根据OV=BQ+QV−OB算出OV，即可得到点N的坐标．
本题考查了一次函数综合，结合全等三角形证明、勾股定理、三角函数解直角三角形知识点，数形结合、画出图象分析、推理和计算是解题的关键．