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2023年黑龙江省哈尔滨六十九中中考数学四模试卷（含解析）
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这是一份2023年黑龙江省哈尔滨六十九中中考数学四模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年黑龙江省哈尔滨六十九中中考数学四模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 13的倒数是( )
A. 3 B. −13 C. −3 D. 13
2. 下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6 B. 2a+3b=5ab C. a5÷a2=a3 D. (a2b2)2=a4b
3. 下面的图案中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 如图是几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体主视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 抛物线y=−3(x−4)2+5的顶点坐标是( )
A. (4,5) B. (−4,5) C. (4,−5) D. (−4,−5)
6. 方程3x+2=1x−1解是( )
A. x=43 B. x=4 C. x=3 D. x=52
7. 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切，切点为D.如果∠A=35°，那么∠C等于( )
A. 20°
B. 30°
C. 35°
D. 55°
8. 某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x，列出方程正确的是( )
A. 580(1+x)2=1185 B. 1185(1+x)2=580
C. 580(1−x)2=1185 D. 1185(1−x)2=580
9. 将抛物线y=2(x−2)2+3向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线为( )
A. y=2(x−5)2+1 B. y=2(x+1)2+1
C. y=2(x+1)2+5 D. y=2(x+3)2−2
10. 如图，在△ABC中，DE//BC，DF//AC，则下列比例式中正确的是( )
A. BDAD=DFAC
B. BFFC=AEEC
C. BFFC=DFAC
D. BFFC=CEAE
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 将数据62000000用科学记数法表示为______ ．
12. 函数y=2x+1中，自变量x的取值范围是______．
13. 计算： 8+ 18=______．
14. 分解因式：a2−ab=______．
15. 不等式组3−x2≤13x+2≥1的解集是______ ．
16. 反比例函数y=−2x的图象经过点(2,a)，则a的值为______ ．
17. 一个扇形的圆心角是135°，半径为4，则这个扇形的面积为______.(保留π)
18. 在一个不透明的布袋中装有2个白球和3个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出两个球，摸到两个球是黄球的概率为______ ．
19. 在△ABC中，AB=AC，∠B的角平分线与AC边所夹的锐角为60°，则∠C= ______ 度.
20. 在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、AD边上，连接DE、EF，DE=EF，DG⊥EF交AB于点G，H为垂足，GH=2，DH=4，则线段HE的长度为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题7.0分)
先化简，再求代数式xx+2−x2+2x+1x+2÷x2−1x−1的值，其中x=2sin60°−2 2cos45°．
22. (本小题7.0分)
如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A，B均在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出一个以线段AB为一边的等腰△ABC，且△ABC为钝角三角形；
(2)在(1)的条件下再画一个△BCD，点D在小正方形的顶点上，tan∠CBD=12，且△BCD的面积等于14；
(3)在(2)的条件下，连接AD，请直接写出AD的长．
23. (本小题8.0分)
某校在疫情期间对线上教学学生满意度方面进行了抽样调查，宋老师根据调查数据绘制了如图所示不完整统计图.请根据统计图回答下面问题：
(1)本次抽样调查的人数有多少人？
(2)请通过计算补全条形统计图；
(3)根据本次调查情况，若全校有学生1200人，请估计有多少学生为满意．
24. (本小题8.0分)
如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别为BC、AD的中点，连接AE、CF．
(1)如图1，求证：AE=CF；
(2)如图2，连接DE，若ED平分∠AEC，请直接写出图中线段的长度等于2BE的线段．
25. (本小题10.0分)
某学校计划组织师生参加哈尔滨冰雪节，感受冰雪艺术的魅力.出租公司现有甲、乙两种型号的客车可供租用，且每辆乙型客车的租金比每辆甲型客车少60元.若该校租用3辆甲种客车，4辆乙种客车，则需付租金1720元．
(1)该出租公司每辆甲、乙两型客车的租金各为多少元？
(2)若学校计划租用6辆客车，租车的总租金不超过1560元，那么最多租用甲型客车多少辆？
26. (本小题10.0分)
如图，△ABC内接于⊙O，连接AO，∠BAO=∠CAO．
(1)如图1，求证：AB=AC；
(2)如图2，点D在⊙O上，连接CD，点E是CD上一点，连接DE，若∠ADE=∠ACD，求证：DE⊥OA；
(3)如图3，在(2)的条件下，延长BO交⊙O于点F，连接AF，若∠CDE=45°，AE= 2，BC=3 2，求AF的长．
27. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=43x+8与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，直线BC与x轴相交于点C，且点C与点A关于y轴对称．
(1)求直线BC的解析式；
(2)点P为线段AB上一点，连接PC，设点P的横坐标为t，△PBC的面积为S(S≠0)，求S与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，点Q为线段BC延长线上一点，AP=CQ，连接PQ交AC于点E，点D在第一象限，连接DP、DQ，且DP=DQ，∠PDQ=90°，过点D作x轴的平行线交BC于点F，连接DE并延长交y轴于点M，连接PM、FM，若MF平分∠PMD，求点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：13的倒数是3，
故选：A．
根据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数，求一个数的倒数，把这个数的分子和分母掉换位置即可．
此题考查的目的是理解倒数的意义，掌握求倒数的方法及应用，明确：1的倒数是1，0没有倒数．
2.【答案】C
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故A不符合题意；
B、2a与3b不能合并，故B不符合题意；
C、a5÷a2=a3，故C符合题意；
D、(a2b2)2=a4b4，故D不符合题意；
故选：C．
根据同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了轴对称图形与中心对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4.【答案】A
【解析】解：这个几何体的主视图是从正面看到的图形．
故选：A．
主视图是从正面看到的图形．
本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形是关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵二次函数的解析式为y=−3(x−4)2+5，
∴其顶点坐标为：(4,5)．
故选：A．
已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
考查二次函数的性质，将解析式化为顶点式y=a(x−h)2+k，顶点坐标是(h,k)，对称轴是x=h．
6.【答案】D
【解析】解：两边都乘以(x−1)(x+2)，得：3(x−1)=x+2，
解得：x=2.5，
检验：x=2.5时，(x−1)(x+2)=1.5×4.5=6.75≠0，
∴原分式方程的解为x=2.5，
故选：D．
根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．求解可得．
本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
7.【答案】A
【解析】解：连接BD，
AB是⊙O的直径，则
∠ADB=90°，∠ABD=90°−∠A=55°
∴BDC=∠A=35°，
∴∠C=∠ABD−∠BDC=20°．
故选：A．
连接BD，AB是⊙O的直径，根据定理可知∠ADB=90°，由弦切角定理知∠BDC=∠A=35°，从而利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求∠C．
本题利用了直径对的圆周角是直角，切线的性质，弦切角定理，三角形的外角与内角的关系求解．
8.【答案】D
【解析】解：设平均每次降价的百分率为x，
由题意得出方程为：1185(1−x)2=580．
故选：D．
根据降价后的价格=原价(1−降低的百分率)，本题可先用x表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．
本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a(1+x)2=c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．
9.【答案】B
【解析】解：将抛物线y=2(x−2)2+3向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线为：y=2(x−2+3)2+3−2，即y=2(x+1)2+1．
故选：B．
直接根据图形平移的性质即可得出结论．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：A、因为DF//AC，所以BDBA=DFAC，故A选项错误；
B、由DF//AC得BFFC=BDDA，由DE//BC得BDDA=CEEA，则BFFC=CEEA，故B选项错误；
C、由DF//AC得BFBC=DFAC，故C选项错误；
D、由DF//AC得BFFC=BDDA，由DE//BC得BDDA=CEEA，则BFFC=CEEA，故D选项正确．
故选：D．
根据平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例可直接对A、C进行判断；利用DF//AC得BFFC=BDDA，利用DE//BC得BDDA=CEEA，可对对B、D进行判断．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
11.【答案】6.2×107
【解析】解：62000000=6.2×107．
故答案为：6.2×107．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
12.【答案】x≠−1
【解析】解：根据题意得x+1≠0，
解得x≠−1；
故答案为x≠−1．
根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+1≠0，解得答案．
本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0．
13.【答案】5 2
【解析】解：原式=2 2+3 2=5 2．
故答案为：5 2．
先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式可得出答案．
本题考查二次根式的加减法，比较简单，注意先将二次根式化为最简．
14.【答案】a(a−b)
【解析】解：a2−ab=a(a−b)．
直接把公因式a提出来即可．
本题主要考查提公因式法分解因式，属于基础题．
15.【答案】x≥1
【解析】解：解不等式3−x2≤1，得：x≥1，
解不等式3x+2≥1，得：x≥−13，
∴不等式组的解集为x≥1．
故答案为：x≥1．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】−1
【解析】解：把点(2,a)代入y=−2x中，
得a=−22=−1，
故答案为：−1．
把点(2,a)代入y=−2x即可求得a的值．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标满足解析式．
17.【答案】6π
【解析】解：扇形的面积=135×π×42360=6π，
故答案为：6π．
利用扇形的面积公式求解即可．
本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积：S=nπr2360．
18.【答案】35
【解析】解：根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的2个白球和3个黄球，共5个，
从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是35．
故答案为：35．
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn．
19.【答案】40或80
【解析】解：设∠B的角平分线交AC于点E，
当∠BEC=60°时，如图1，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=12(180°−∠A)，
∴∠ABE=12∠ABC=14(180°−∠A)，
∵∠ABE+∠A=∠BEC，
∴14(180°−∠A)+∠A=60°，
∴∠A=20°，
∴∠C=12(180°−20°)=80°；
当∠AEB=60°时，如图2，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=12(180°−∠A)，
∴∠ABE=12∠ABC=14(180°−∠A)，
∵∠ABE+∠A+∠BEC=180°，
∴14(180°−∠A)+∠A+60°=180°，
∴∠A=100°，
∴∠C=12(180°−100°)=40°，
综上所述，∠C的度数为40或80．
故答案为：40或80．
根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得到∠ABE=12∠ABC=14(180°−∠A)，当∠BEC=60°时，根据三角形外角的性质得到14(180°−∠A)+∠A=60°，即可求得∠A=20°；当∠AEB=60°时，根据三角形内角和定理得到14(180°−∠A)+∠A+60°=180°，即可求得∠A=100°，进而求出∠C．
本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键．
20.【答案】2 5
【解析】解：∵DE=EF，
∴∠EDF=∠EFD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，∠A=90°，
∴∠EDF=∠DEC，
∴∠EFD=∠DEC，
∵DG⊥EF，
∴∠DHF=90°，
∴∠EFD+∠FDH=90°，
∵∠A=90°，
∴∠DGA+∠FDH=90°，
∴∠DGA=∠EFD，
∴∠DGA=∠DEC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=90°，AD=CD，
在△ADG和△CDE中，
∠A=∠C∠DGA=∠DECAD=CD，
∴△ADG≌△CDE(AAS)，
∴DE=DG=GH+DH=2+4=6，
∵DG⊥EF，
∴∠DHE=90°，
∴HE= DE2−DH2= 62−42= 20=2 5，
故答案为：2 5．
先根据等边对等角得到∠EDF=∠EFD，再根据正方形的性质、同角的余角相等证出∠DGA=∠DEC，从而利用AAS证得△ADG和△CDE全等，得出DE的长，在Rt△DHE中根据勾股定理即可求出HE的长．
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，等边对等角，同角的余角相等，掌握这些性质是解题的关键．
21.【答案】解：xx+2−x2+2x+1x+2÷x2−1x−1
=xx+2−(x+1)2x+2⋅x−1(x+1)(x−1)
=xx+2−x+1x+2
=x−x−1x+2
=−1x+2，
当x=2sin60°−2 2cos45°=2× 32−2 2× 22= 3−2时，原式=−1 3−2+2=− 33．
【解析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
22.【答案】解：(1)如图，△ABC即为所求．
(2)如图，△BCD即为所求．
(3)AD= 42+42=4 2．
【解析】(1)根据等腰三角形的定义画出图形即可；
(2)根据题意，画出图象即可；
(3)周长底为7，高为4的三角形即可，利用勾股定理求出AD．
本题考查作图−应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)8÷20%=40(人)，
答：本次抽样调查的人数有40人；
(2)样本中，“满意”的人数为：40−8−14−13=6(人)，补全条形统计图如下：
(3)1200×640=180(人)，
答：全校有学生1200人，满意的人数大约有180人．
【解析】(1)从两个统计图可知，样本中“非常满意”的有8人，占调查人数的20%，由频率=频数总数进行计算即可；
(2)求出样本中“满意”的人数，即可补全条形统计图；
(3)求出样本中“满意”所占的百分比，估计总体中“满意”所占的百分比，进而求出相应的人数即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率=频数总数是正确解答的关键．
24.【答案】(1)证明：∵E，F分别为BC，AD中点，
∴EC=12BC，AF=12AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，
∴AF//EC，且AF=EC，
∴四边形AECF为平行四边形；
(2)解：∵DE平分∠AEC，
∴∠AED=∠CED，
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
由(1)知，四边形AECF为平行四边形，
∴AE=CF，
∴AD=AE=CF=BC，
∵BC=2BE，
∴AD=AE=CF=BC=2BE，
∴图中线段的长度等于2BE的线段有AD、AE、CF、BC．
【解析】(1)根据线段中点的定义得到EC=12BC，AF=12AD根据平行四边形的性质得到BC//AD由平行四边形的判定定理即可得到结论；
(2)根据角平分线的定义得到∠AED=∠CED，根据平行线的性质得到∠ADE=∠CED，得到AD=AE，由(1)知，四边形AECF为平行四边形，得到AE=CF，于是得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
25.【答案】(1)设该出租公司每辆甲型客车的租金为x，则每辆乙型客车的租金为(x−60)元，由题意，得
3x+4(x−60)=1720，
解得：x=280
∴乙型客车的租金为：220元．
答：该出租公司每辆甲型客车的租金为280元，则每辆乙型客车的租金为220元；
(2)设租用甲型客车m辆，则乙型客车(6−m)辆，由题意，得
280m+220(6−m)≤1560，
解得：m≤4．
∴最多租用甲型客车4辆．
【解析】(1)设该出租公司每辆甲型客车的租金为x，则每辆乙型客车的租金为(x−60)元，根据题意建立方程求出其解就可以了；
(2)设租用甲型客车m辆，则乙型客车(6−m)辆，根据题意建立不等式求出其解就可以了．
本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用及解法的运用，一元一次不等式的运用，再解答时求出甲、乙客车的租金是关键．
26.【答案】(1)证明：过点O作OD⊥AC，OE⊥AB，如图所示，
由垂径定理可知：AD=12AC，AE=12AB，
在△AOD和△AOE中，
∠BAO=∠CAO∠ADO=∠AEO=90°AO=AO，
∴△AOD≌△AOE(AAS)，
∴AD=AE，
∴AB=AC．
(2)证明：延长AO交BC于M，如图，
由(1)知，AB=AC，
∵∠BAO=∠CAO，根据等腰三角形三线合一，
∴AM⊥BC，∠ACB=∠ABC，
∵AC=AC，
∴∠ADC=∠ABC，
∴∠ADC=∠ACB，
∵∠ADE=∠ACD，
∴∠CDE=∠DCB，
∴DE//BC，
∵AM⊥BC，
∴DE⊥AM，即DE⊥OA，
(3)解：连接OD、OC、DB，延长AO交BC于点M，如图，
由(2)可得BM=CM=12BC=3 22，
∵DE⊥AO，
∴DE//BC，
∴∠EDC=∠DCB=45°，
∴∠DOB=90°，
∴∠EOD+∠BOM=90°，
∵∠EOD+∠ODE=90°，
∴∠BOM=∠ODE，
在△DEO和△OMB中，
∠DEO=∠OMB∠EOD=∠MBOOD=BO，
∴△DEO≌△OMB(AAS)，
∴EO=BM=3 22，
∵AE= 2，
∴OA=AE+EO=5 22，
∴OM= BO2−BM2=2 2，
∴AM=AO+OM=9 22，
∴AB= AM2+BM2=3 5，
∵BF=2AO=5 2，且BF为直径，
∴∠BAF=90°，
∴AF= BF2−AB2= 5．
【解析】(1)过点O作OD⊥AB，OE⊥AC，如图所示，由垂径定理可知：AD=12AB，AE=12AC，再由△AOD≌△AOE(AAS)，得到AD=AE，即可得证；
(2)延长AO交BC于M，如图所示，由(1)知AB=AC，从而由等腰三角形“三线合一”得到AM⊥BC，且∠ACB=∠ABC，从而得到∠ADC=∠ACB，即可有∠CDE=∠DCB，由内错角相等两直线平行得到DE//BC，进而DE⊥AM，即DE⊥OA；
(3)连接OD、OC、DB，延长A0交BC于点M，证明△DEO≌△OMB(AAS)，利用勾股定理即可解答．
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，全都三角形的判定及性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
27.【答案】解：(1)当x=0时，y=8，
∴B(0,8)，
当y=0时，43x+8=0，
∴x=6，
∴A(−6,0)，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴C(6,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B(0,8)和C(6,0)代入，
得b=86k+b=0，
解得b=8k=−43，
∴yBC：y=−43x+8．
答：直线BC的解析式为y=−43x+8．
(2)设P(t,43t+8)，过点P作PH⊥x轴于点H，连接PC，
∴S=S△ABC−S△APC=12AC⋅OB−12AC⋅PH=12×12[8−(43t+8)]=−8t．
答：S与t之间的函数关系式为S=−8t．
(3)过点Q作QH//AB，交x轴于点H，
∵△ABC为等腰三角形，
∴∠BAC=∠ACB=∠HCQ，
∵AB//QH，
∴∠BAC=∠CHQ，
∴∠HCQ=∠CHQ，
∴CQ=CH，
∴△CQH为等腰三角形，
在△APE和△HQE中，∠PAE=∠QHC，∠AEP=∠HEQ，AP=HQ，
∴△APE≌△HQE(AAS)，
∴PE=QE，AE=HE，
∵DP=DQ，∠PDQ=90°，
∴△PDQ等腰直角三角形，
∴DE垂直平分PQ(三线合一)，
∴PM=QM，
∴△PMD≌△QMB(SSS)，
∴∠PMD=∠QMD，∠PDM=∠QDM=45°，
∵MF平分∠PMD，
∴设∠DMF=∠PMF=α，
∴∠PMD=∠QMD=2α，
∵∠ABO=∠CBO，PM=QM，
∴∠PBQ=180°−∠PMQ=180°−4a，
∴∠ABO=∠CBO=90°−2a，
∴∠BAC=∠BCA=2α=∠EHQ，
在Rt△AOB中，tan2a=tan∠OAB=OBOA=86=43，
∴tanα=12，
过点P作PN⊥x轴于N，作QS⊥x轴S，
∵PE=QE，
∴△PNE≌△QSE(AAS)，
∴PN=QS，NE=SE，
∴△APN≌△HQS(SAS)，
∴AN=HS=CS，
∴AN+NC=CS+NC=12，
∴AC=NS=12，
设P(3m,4m+8)，则Q(3m+12,−4m−8)，
∴NE=SE=12NS=6，
∴E(3m+6,0)，
∴∠AEP+∠AEM=90°，∠EMO+∠AEM=90°，
∴∠AEP=∠EMO，
∴tan∠AEP=tan∠EMO，
∴PNEN=EOOM，
∴4m+86=3m+6OM，
解得OM=92，
∴M(0,−92)，
∵PE=DE，
∴△PEN≌△EDK(AAS)，
∴EN=DK=6，PN=EK=4m+8，
∴OK=OE+EK=3m+6+4m+8=7m+14，
∴D(7m+14,6)，
∵点F在直线BC上，DF//x轴，
∴F(32,6)，
过点F作FT⊥DM于T，延长DF交y轴于点J，
∴DJ⊥y轴，
在Rt△FJM中，FM= FJ2+MJ2= (32)2+(6+92)2=15 22，
在Rt△FTM中，tan∠FMT=tanα=FTMT=12，
设FT=a，则MT=2a，
∴FM= 5a，
∴ 5a=15 22，
解得a=3 102，
∵DF//x轴，
∴∠FDM=∠OEM，
∴tan∠FDM=tan∠OEM，
在Rt△FTD和Rt△MOE中，FTDT=OMOE，
∴3 102DT=923m+6，
∴DT= 10(m+2)，DF=7m+14−32=7m+252，
在Rt△DTF中，DF2=DT2+FT2，
∴(7m+252)2=[ 10(m+2)]2+(3 102)2，
整理得156m2+540m+375=0，
解得m1=−2526，m2=−52，
当m=−52时，P(−152,−2)不在线段AB上，不符合题意舍去，
∴P(−7526,5413)．
【解析】(1)令x=0时，求出B点坐标，令y=0时，求出A点坐标，根据点C与点A关于y轴对称，求出C点坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求解析式即可．
(2)设P(t,43t+8)，过点P作PH⊥x轴于点H，连接PC，即可求解．
(3)作辅助线，证明△APE≌△HQE(AAS)，△PMD≌△QMB(SSS)，设∠DMF=∠PMF=α，求出tanα=12，设P(3m,4m+8)，则Q(3m+12,−4m−8)，求出M点的坐标，F点的坐标，根据勾股定理及三角函数求解即可．
本题考查了一次函数的综合应用，作辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
2023年黑龙江省哈尔滨六十九中中考数学四模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 13的倒数是( )
A. 3 B. −13 C. −3 D. 13
2. 下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6 B. 2a+3b=5ab C. a5÷a2=a3 D. (a2b2)2=a4b
3. 下面的图案中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 如图是几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体主视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 抛物线y=−3(x−4)2+5的顶点坐标是( )
A. (4,5) B. (−4,5) C. (4,−5) D. (−4,−5)
6. 方程3x+2=1x−1解是( )
A. x=43 B. x=4 C. x=3 D. x=52
7. 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切，切点为D.如果∠A=35°，那么∠C等于( )
A. 20°
B. 30°
C. 35°
D. 55°
8. 某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x，列出方程正确的是( )
A. 580(1+x)2=1185 B. 1185(1+x)2=580
C. 580(1−x)2=1185 D. 1185(1−x)2=580
9. 将抛物线y=2(x−2)2+3向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线为( )
A. y=2(x−5)2+1 B. y=2(x+1)2+1
C. y=2(x+1)2+5 D. y=2(x+3)2−2
10. 如图，在△ABC中，DE//BC，DF//AC，则下列比例式中正确的是( )
A. BDAD=DFAC
B. BFFC=AEEC
C. BFFC=DFAC
D. BFFC=CEAE
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 将数据62000000用科学记数法表示为______ ．
12. 函数y=2x+1中，自变量x的取值范围是______．
13. 计算： 8+ 18=______．
14. 分解因式：a2−ab=______．
15. 不等式组3−x2≤13x+2≥1的解集是______ ．
16. 反比例函数y=−2x的图象经过点(2,a)，则a的值为______ ．
17. 一个扇形的圆心角是135°，半径为4，则这个扇形的面积为______.(保留π)
18. 在一个不透明的布袋中装有2个白球和3个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出两个球，摸到两个球是黄球的概率为______ ．
19. 在△ABC中，AB=AC，∠B的角平分线与AC边所夹的锐角为60°，则∠C= ______ 度.
20. 在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、AD边上，连接DE、EF，DE=EF，DG⊥EF交AB于点G，H为垂足，GH=2，DH=4，则线段HE的长度为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题7.0分)
先化简，再求代数式xx+2−x2+2x+1x+2÷x2−1x−1的值，其中x=2sin60°−2 2cos45°．
22. (本小题7.0分)
如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A，B均在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出一个以线段AB为一边的等腰△ABC，且△ABC为钝角三角形；
(2)在(1)的条件下再画一个△BCD，点D在小正方形的顶点上，tan∠CBD=12，且△BCD的面积等于14；
(3)在(2)的条件下，连接AD，请直接写出AD的长．
23. (本小题8.0分)
某校在疫情期间对线上教学学生满意度方面进行了抽样调查，宋老师根据调查数据绘制了如图所示不完整统计图.请根据统计图回答下面问题：
(1)本次抽样调查的人数有多少人？
(2)请通过计算补全条形统计图；
(3)根据本次调查情况，若全校有学生1200人，请估计有多少学生为满意．
24. (本小题8.0分)
如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别为BC、AD的中点，连接AE、CF．
(1)如图1，求证：AE=CF；
(2)如图2，连接DE，若ED平分∠AEC，请直接写出图中线段的长度等于2BE的线段．
25. (本小题10.0分)
某学校计划组织师生参加哈尔滨冰雪节，感受冰雪艺术的魅力.出租公司现有甲、乙两种型号的客车可供租用，且每辆乙型客车的租金比每辆甲型客车少60元.若该校租用3辆甲种客车，4辆乙种客车，则需付租金1720元．
(1)该出租公司每辆甲、乙两型客车的租金各为多少元？
(2)若学校计划租用6辆客车，租车的总租金不超过1560元，那么最多租用甲型客车多少辆？
26. (本小题10.0分)
如图，△ABC内接于⊙O，连接AO，∠BAO=∠CAO．
(1)如图1，求证：AB=AC；
(2)如图2，点D在⊙O上，连接CD，点E是CD上一点，连接DE，若∠ADE=∠ACD，求证：DE⊥OA；
(3)如图3，在(2)的条件下，延长BO交⊙O于点F，连接AF，若∠CDE=45°，AE= 2，BC=3 2，求AF的长．
27. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=43x+8与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，直线BC与x轴相交于点C，且点C与点A关于y轴对称．
(1)求直线BC的解析式；
(2)点P为线段AB上一点，连接PC，设点P的横坐标为t，△PBC的面积为S(S≠0)，求S与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，点Q为线段BC延长线上一点，AP=CQ，连接PQ交AC于点E，点D在第一象限，连接DP、DQ，且DP=DQ，∠PDQ=90°，过点D作x轴的平行线交BC于点F，连接DE并延长交y轴于点M，连接PM、FM，若MF平分∠PMD，求点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：13的倒数是3，
故选：A．
根据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数，求一个数的倒数，把这个数的分子和分母掉换位置即可．
此题考查的目的是理解倒数的意义，掌握求倒数的方法及应用，明确：1的倒数是1，0没有倒数．
2.【答案】C
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故A不符合题意；
B、2a与3b不能合并，故B不符合题意；
C、a5÷a2=a3，故C符合题意；
D、(a2b2)2=a4b4，故D不符合题意；
故选：C．
根据同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了轴对称图形与中心对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4.【答案】A
【解析】解：这个几何体的主视图是从正面看到的图形．
故选：A．
主视图是从正面看到的图形．
本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形是关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵二次函数的解析式为y=−3(x−4)2+5，
∴其顶点坐标为：(4,5)．
故选：A．
已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
考查二次函数的性质，将解析式化为顶点式y=a(x−h)2+k，顶点坐标是(h,k)，对称轴是x=h．
6.【答案】D
【解析】解：两边都乘以(x−1)(x+2)，得：3(x−1)=x+2，
解得：x=2.5，
检验：x=2.5时，(x−1)(x+2)=1.5×4.5=6.75≠0，
∴原分式方程的解为x=2.5，
故选：D．
根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．求解可得．
本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
7.【答案】A
【解析】解：连接BD，
AB是⊙O的直径，则
∠ADB=90°，∠ABD=90°−∠A=55°
∴BDC=∠A=35°，
∴∠C=∠ABD−∠BDC=20°．
故选：A．
连接BD，AB是⊙O的直径，根据定理可知∠ADB=90°，由弦切角定理知∠BDC=∠A=35°，从而利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求∠C．
本题利用了直径对的圆周角是直角，切线的性质，弦切角定理，三角形的外角与内角的关系求解．
8.【答案】D
【解析】解：设平均每次降价的百分率为x，
由题意得出方程为：1185(1−x)2=580．
故选：D．
根据降价后的价格=原价(1−降低的百分率)，本题可先用x表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．
本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a(1+x)2=c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．
9.【答案】B
【解析】解：将抛物线y=2(x−2)2+3向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线为：y=2(x−2+3)2+3−2，即y=2(x+1)2+1．
故选：B．
直接根据图形平移的性质即可得出结论．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：A、因为DF//AC，所以BDBA=DFAC，故A选项错误；
B、由DF//AC得BFFC=BDDA，由DE//BC得BDDA=CEEA，则BFFC=CEEA，故B选项错误；
C、由DF//AC得BFBC=DFAC，故C选项错误；
D、由DF//AC得BFFC=BDDA，由DE//BC得BDDA=CEEA，则BFFC=CEEA，故D选项正确．
故选：D．
根据平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例可直接对A、C进行判断；利用DF//AC得BFFC=BDDA，利用DE//BC得BDDA=CEEA，可对对B、D进行判断．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
11.【答案】6.2×107
【解析】解：62000000=6.2×107．
故答案为：6.2×107．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
12.【答案】x≠−1
【解析】解：根据题意得x+1≠0，
解得x≠−1；
故答案为x≠−1．
根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+1≠0，解得答案．
本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0．
13.【答案】5 2
【解析】解：原式=2 2+3 2=5 2．
故答案为：5 2．
先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式可得出答案．
本题考查二次根式的加减法，比较简单，注意先将二次根式化为最简．
14.【答案】a(a−b)
【解析】解：a2−ab=a(a−b)．
直接把公因式a提出来即可．
本题主要考查提公因式法分解因式，属于基础题．
15.【答案】x≥1
【解析】解：解不等式3−x2≤1，得：x≥1，
解不等式3x+2≥1，得：x≥−13，
∴不等式组的解集为x≥1．
故答案为：x≥1．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】−1
【解析】解：把点(2,a)代入y=−2x中，
得a=−22=−1，
故答案为：−1．
把点(2,a)代入y=−2x即可求得a的值．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标满足解析式．
17.【答案】6π
【解析】解：扇形的面积=135×π×42360=6π，
故答案为：6π．
利用扇形的面积公式求解即可．
本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积：S=nπr2360．
18.【答案】35
【解析】解：根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的2个白球和3个黄球，共5个，
从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是35．
故答案为：35．
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn．
19.【答案】40或80
【解析】解：设∠B的角平分线交AC于点E，
当∠BEC=60°时，如图1，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=12(180°−∠A)，
∴∠ABE=12∠ABC=14(180°−∠A)，
∵∠ABE+∠A=∠BEC，
∴14(180°−∠A)+∠A=60°，
∴∠A=20°，
∴∠C=12(180°−20°)=80°；
当∠AEB=60°时，如图2，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=12(180°−∠A)，
∴∠ABE=12∠ABC=14(180°−∠A)，
∵∠ABE+∠A+∠BEC=180°，
∴14(180°−∠A)+∠A+60°=180°，
∴∠A=100°，
∴∠C=12(180°−100°)=40°，
综上所述，∠C的度数为40或80．
故答案为：40或80．
根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得到∠ABE=12∠ABC=14(180°−∠A)，当∠BEC=60°时，根据三角形外角的性质得到14(180°−∠A)+∠A=60°，即可求得∠A=20°；当∠AEB=60°时，根据三角形内角和定理得到14(180°−∠A)+∠A+60°=180°，即可求得∠A=100°，进而求出∠C．
本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键．
20.【答案】2 5
【解析】解：∵DE=EF，
∴∠EDF=∠EFD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，∠A=90°，
∴∠EDF=∠DEC，
∴∠EFD=∠DEC，
∵DG⊥EF，
∴∠DHF=90°，
∴∠EFD+∠FDH=90°，
∵∠A=90°，
∴∠DGA+∠FDH=90°，
∴∠DGA=∠EFD，
∴∠DGA=∠DEC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=90°，AD=CD，
在△ADG和△CDE中，
∠A=∠C∠DGA=∠DECAD=CD，
∴△ADG≌△CDE(AAS)，
∴DE=DG=GH+DH=2+4=6，
∵DG⊥EF，
∴∠DHE=90°，
∴HE= DE2−DH2= 62−42= 20=2 5，
故答案为：2 5．
先根据等边对等角得到∠EDF=∠EFD，再根据正方形的性质、同角的余角相等证出∠DGA=∠DEC，从而利用AAS证得△ADG和△CDE全等，得出DE的长，在Rt△DHE中根据勾股定理即可求出HE的长．
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，等边对等角，同角的余角相等，掌握这些性质是解题的关键．
21.【答案】解：xx+2−x2+2x+1x+2÷x2−1x−1
=xx+2−(x+1)2x+2⋅x−1(x+1)(x−1)
=xx+2−x+1x+2
=x−x−1x+2
=−1x+2，
当x=2sin60°−2 2cos45°=2× 32−2 2× 22= 3−2时，原式=−1 3−2+2=− 33．
【解析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
22.【答案】解：(1)如图，△ABC即为所求．
(2)如图，△BCD即为所求．
(3)AD= 42+42=4 2．
【解析】(1)根据等腰三角形的定义画出图形即可；
(2)根据题意，画出图象即可；
(3)周长底为7，高为4的三角形即可，利用勾股定理求出AD．
本题考查作图−应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)8÷20%=40(人)，
答：本次抽样调查的人数有40人；
(2)样本中，“满意”的人数为：40−8−14−13=6(人)，补全条形统计图如下：
(3)1200×640=180(人)，
答：全校有学生1200人，满意的人数大约有180人．
【解析】(1)从两个统计图可知，样本中“非常满意”的有8人，占调查人数的20%，由频率=频数总数进行计算即可；
(2)求出样本中“满意”的人数，即可补全条形统计图；
(3)求出样本中“满意”所占的百分比，估计总体中“满意”所占的百分比，进而求出相应的人数即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率=频数总数是正确解答的关键．
24.【答案】(1)证明：∵E，F分别为BC，AD中点，
∴EC=12BC，AF=12AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，
∴AF//EC，且AF=EC，
∴四边形AECF为平行四边形；
(2)解：∵DE平分∠AEC，
∴∠AED=∠CED，
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
由(1)知，四边形AECF为平行四边形，
∴AE=CF，
∴AD=AE=CF=BC，
∵BC=2BE，
∴AD=AE=CF=BC=2BE，
∴图中线段的长度等于2BE的线段有AD、AE、CF、BC．
【解析】(1)根据线段中点的定义得到EC=12BC，AF=12AD根据平行四边形的性质得到BC//AD由平行四边形的判定定理即可得到结论；
(2)根据角平分线的定义得到∠AED=∠CED，根据平行线的性质得到∠ADE=∠CED，得到AD=AE，由(1)知，四边形AECF为平行四边形，得到AE=CF，于是得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
25.【答案】(1)设该出租公司每辆甲型客车的租金为x，则每辆乙型客车的租金为(x−60)元，由题意，得
3x+4(x−60)=1720，
解得：x=280
∴乙型客车的租金为：220元．
答：该出租公司每辆甲型客车的租金为280元，则每辆乙型客车的租金为220元；
(2)设租用甲型客车m辆，则乙型客车(6−m)辆，由题意，得
280m+220(6−m)≤1560，
解得：m≤4．
∴最多租用甲型客车4辆．
【解析】(1)设该出租公司每辆甲型客车的租金为x，则每辆乙型客车的租金为(x−60)元，根据题意建立方程求出其解就可以了；
(2)设租用甲型客车m辆，则乙型客车(6−m)辆，根据题意建立不等式求出其解就可以了．
本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用及解法的运用，一元一次不等式的运用，再解答时求出甲、乙客车的租金是关键．
26.【答案】(1)证明：过点O作OD⊥AC，OE⊥AB，如图所示，
由垂径定理可知：AD=12AC，AE=12AB，
在△AOD和△AOE中，
∠BAO=∠CAO∠ADO=∠AEO=90°AO=AO，
∴△AOD≌△AOE(AAS)，
∴AD=AE，
∴AB=AC．
(2)证明：延长AO交BC于M，如图，
由(1)知，AB=AC，
∵∠BAO=∠CAO，根据等腰三角形三线合一，
∴AM⊥BC，∠ACB=∠ABC，
∵AC=AC，
∴∠ADC=∠ABC，
∴∠ADC=∠ACB，
∵∠ADE=∠ACD，
∴∠CDE=∠DCB，
∴DE//BC，
∵AM⊥BC，
∴DE⊥AM，即DE⊥OA，
(3)解：连接OD、OC、DB，延长AO交BC于点M，如图，
由(2)可得BM=CM=12BC=3 22，
∵DE⊥AO，
∴DE//BC，
∴∠EDC=∠DCB=45°，
∴∠DOB=90°，
∴∠EOD+∠BOM=90°，
∵∠EOD+∠ODE=90°，
∴∠BOM=∠ODE，
在△DEO和△OMB中，
∠DEO=∠OMB∠EOD=∠MBOOD=BO，
∴△DEO≌△OMB(AAS)，
∴EO=BM=3 22，
∵AE= 2，
∴OA=AE+EO=5 22，
∴OM= BO2−BM2=2 2，
∴AM=AO+OM=9 22，
∴AB= AM2+BM2=3 5，
∵BF=2AO=5 2，且BF为直径，
∴∠BAF=90°，
∴AF= BF2−AB2= 5．
【解析】(1)过点O作OD⊥AB，OE⊥AC，如图所示，由垂径定理可知：AD=12AB，AE=12AC，再由△AOD≌△AOE(AAS)，得到AD=AE，即可得证；
(2)延长AO交BC于M，如图所示，由(1)知AB=AC，从而由等腰三角形“三线合一”得到AM⊥BC，且∠ACB=∠ABC，从而得到∠ADC=∠ACB，即可有∠CDE=∠DCB，由内错角相等两直线平行得到DE//BC，进而DE⊥AM，即DE⊥OA；
(3)连接OD、OC、DB，延长A0交BC于点M，证明△DEO≌△OMB(AAS)，利用勾股定理即可解答．
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，全都三角形的判定及性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
27.【答案】解：(1)当x=0时，y=8，
∴B(0,8)，
当y=0时，43x+8=0，
∴x=6，
∴A(−6,0)，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴C(6,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B(0,8)和C(6,0)代入，
得b=86k+b=0，
解得b=8k=−43，
∴yBC：y=−43x+8．
答：直线BC的解析式为y=−43x+8．
(2)设P(t,43t+8)，过点P作PH⊥x轴于点H，连接PC，
∴S=S△ABC−S△APC=12AC⋅OB−12AC⋅PH=12×12[8−(43t+8)]=−8t．
答：S与t之间的函数关系式为S=−8t．
(3)过点Q作QH//AB，交x轴于点H，
∵△ABC为等腰三角形，
∴∠BAC=∠ACB=∠HCQ，
∵AB//QH，
∴∠BAC=∠CHQ，
∴∠HCQ=∠CHQ，
∴CQ=CH，
∴△CQH为等腰三角形，
在△APE和△HQE中，∠PAE=∠QHC，∠AEP=∠HEQ，AP=HQ，
∴△APE≌△HQE(AAS)，
∴PE=QE，AE=HE，
∵DP=DQ，∠PDQ=90°，
∴△PDQ等腰直角三角形，
∴DE垂直平分PQ(三线合一)，
∴PM=QM，
∴△PMD≌△QMB(SSS)，
∴∠PMD=∠QMD，∠PDM=∠QDM=45°，
∵MF平分∠PMD，
∴设∠DMF=∠PMF=α，
∴∠PMD=∠QMD=2α，
∵∠ABO=∠CBO，PM=QM，
∴∠PBQ=180°−∠PMQ=180°−4a，
∴∠ABO=∠CBO=90°−2a，
∴∠BAC=∠BCA=2α=∠EHQ，
在Rt△AOB中，tan2a=tan∠OAB=OBOA=86=43，
∴tanα=12，
过点P作PN⊥x轴于N，作QS⊥x轴S，
∵PE=QE，
∴△PNE≌△QSE(AAS)，
∴PN=QS，NE=SE，
∴△APN≌△HQS(SAS)，
∴AN=HS=CS，
∴AN+NC=CS+NC=12，
∴AC=NS=12，
设P(3m,4m+8)，则Q(3m+12,−4m−8)，
∴NE=SE=12NS=6，
∴E(3m+6,0)，
∴∠AEP+∠AEM=90°，∠EMO+∠AEM=90°，
∴∠AEP=∠EMO，
∴tan∠AEP=tan∠EMO，
∴PNEN=EOOM，
∴4m+86=3m+6OM，
解得OM=92，
∴M(0,−92)，
∵PE=DE，
∴△PEN≌△EDK(AAS)，
∴EN=DK=6，PN=EK=4m+8，
∴OK=OE+EK=3m+6+4m+8=7m+14，
∴D(7m+14,6)，
∵点F在直线BC上，DF//x轴，
∴F(32,6)，
过点F作FT⊥DM于T，延长DF交y轴于点J，
∴DJ⊥y轴，
在Rt△FJM中，FM= FJ2+MJ2= (32)2+(6+92)2=15 22，
在Rt△FTM中，tan∠FMT=tanα=FTMT=12，
设FT=a，则MT=2a，
∴FM= 5a，
∴ 5a=15 22，
解得a=3 102，
∵DF//x轴，
∴∠FDM=∠OEM，
∴tan∠FDM=tan∠OEM，
在Rt△FTD和Rt△MOE中，FTDT=OMOE，
∴3 102DT=923m+6，
∴DT= 10(m+2)，DF=7m+14−32=7m+252，
在Rt△DTF中，DF2=DT2+FT2，
∴(7m+252)2=[ 10(m+2)]2+(3 102)2，
整理得156m2+540m+375=0，
解得m1=−2526，m2=−52，
当m=−52时，P(−152,−2)不在线段AB上，不符合题意舍去，
∴P(−7526,5413)．
【解析】(1)令x=0时，求出B点坐标，令y=0时，求出A点坐标，根据点C与点A关于y轴对称，求出C点坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求解析式即可．
(2)设P(t,43t+8)，过点P作PH⊥x轴于点H，连接PC，即可求解．
(3)作辅助线，证明△APE≌△HQE(AAS)，△PMD≌△QMB(SSS)，设∠DMF=∠PMF=α，求出tanα=12，设P(3m,4m+8)，则Q(3m+12,−4m−8)，求出M点的坐标，F点的坐标，根据勾股定理及三角函数求解即可．
本题考查了一次函数的综合应用，作辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
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