新教材2023年高中数学第六章计数原理检测题新人教A版选择性必修第三册

这是一份新教材2023年高中数学第六章计数原理检测题新人教A版选择性必修第三册，共7页。

第六章检测题
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买1张，则不同的买法共有(　A　)
A．7种 B．8种
C．6种 D．9种
[解析]　要完成的“一件事”是“至少买1张IC电话卡”，分三类完成：买1张IC电话卡、买2张IC电话卡、买3张IC电话卡．而每一类都能独立完成“至少买1张IC电话卡”这件事．买1张IC电话卡有2种方法，买2张IC电话卡有3种方法，买3张IC电话卡有2种方法，所以不同的买法共有2＋3＋2＝7(种)．
2．已知A－A＝10，则n的值为(　B　)
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析]　由A－A＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.
3．(2022·四川成都)已知n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于(　C　)
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析]　二项式n的各项系数的和为(1＋3)n＝4n，二项式n的各项二项式系数的和为2n，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，所以＝2n＝64，n＝6.故选C．
4．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的情况有(　B　)
A．1种 B．2种
C．3种 D．4种
[解析]　由题意，现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，其中乙、丙两人恰好参加同一项活动的情况有CCA＝2(种)．
5．将多项式a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0分解因式得(x－2)(x＋2)5，则a5＝(　A　)
A．8 B．10
C．12 D．1
[解析]　(x－2)(x＋2)5＝(x2－4)(x＋2)4，所以(x＋2)4的展开式中的三次项系数为C·21＝8，所以a5＝8.
6．(2022·河南郑州)5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法种数是(　B　)
A．40 B．36
C．32 D．24
[解析]　由题可得甲与乙必须相邻的情况有AA＝48(种)，甲分别站在两端且与乙相邻的情况有CA＝12(种)，所以甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法共有AA－CA＝48－12＝36(种)．
7．(2022·陕西城固)如图所示，若从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的情况有(　B　)

A．3种 B．5种
C．7种 D．9种
[解析]　从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的情况有C＝5(种)．
8．某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们的演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为(　D　)
A．720 B．520
C．600 D．264
[解析]　若甲、乙两节目只有一个参加，则演出顺序的种数为CCA＝192；
若甲、乙两节目都参加，则演出顺序的种数为CAA＝72.
因此不同的演出顺序的种数为192＋72＝264.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知A－C＋0！＝4，则m可能的取值是(　CD　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析]　∵A－C＋0！＝4，∴A＝6，∴m＝2或m＝3，故选CD．
10．对于n(n∈N＋)，以下判断正确的有(　AD　)
A．存在n∈N＋，展开式中有常数项
B．对任意n∈N＋，展开式中没有常数项
C．对任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项
D．存在n∈N＋，展开式中有x的一次项
[解析]　设n(n∈N＋)展开式的通项为Tr＋1＝Cn－r(x3)r＝Cx4r－n(r＝0，1，2，…，n)，不妨令n＝4，则当r＝1时，展开式中有常数项，故选项A正确，选项B错误；令n＝3，则当r＝1时，展开式中有x的一次项，故选项C错误，选项D正确，故选AD．
11．高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法正确的有(　AC　)
A．若任意选择三门课程，选法总数为C种
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为CC
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为C－C种
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为CC－C种
[解析]　A显然正确；对于B应为CC＋CC种；对于C，用间接法，显然正确；对于D应分三种情况：
①只选物理，则有C种选法；
②只选化学，则有C种选法；
③若物理与化学都选，则有C种选法．
即共有C＋C＋C＝20种选法．
综上可知AC正确，BD错误．
12．在(1－x)2 021的展开式中，有下列四个命题，其中为真命题的是(　CD　)
A．非常数项系数的绝对值的和是1
B．系数最大的项是第1 010项
C．偶数项的系数和是－22 020
D．当x＝2 022时，(1－x)2 021除以2 022的余数为1
[解析]　对于A，(1－x)2 021的展开式中，常数项为1，令x＝－1，得所有项系数的绝对值的和为(1＋1)2 021＝22 021，所以展开式中非常数项系数的绝对值的和为22 021－1，所以A中命题是假命题；对于B，展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(－x)r＝(－1)rCxr(r＝0，1，2，…，2 021)，所以系数最大的项是第1 011项，所以B中命题是假命题；对于C，令x＝1，得(1－1)2 021＝0，易知展开式中奇数项系数为正，偶数项系数为负，故展开式中偶数项的系数和是－22 020，所以C中命题是真命题；对于D，当x＝2 022时，(1－2 022)2 021＝1－C×2 022＋C×2 0222－…－2 0222 021，展开式中不含2 022的项是1，所以当x＝2 022时，(1－x)2 021除以2 022的余数为1，所以D中命题是真命题．故选D．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知(1＋x)n的展开式中，唯有x3的系数最大，则(1＋x)n的系数和为_64__.
[解析]　由题意知，
则
解得5 14．已知等比数列{an}的第5项是二项式4的展开式中的常数项，则a3·a7＝_36__.
[解析]　4的展开式的通项为Tr＋1＝C·x4－2r，令4－2r＝0，求得r＝2，可得展开式中的常数项为C＝6，即a5＝6.根据数列{an}为等比数列，可得a3·a7＝a＝36.
15．(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为___.
[解析]　从甲、乙等5名同学中随机选3名，有C种情况，其中甲、乙都入选有C种情况，所以甲、乙都入选的概率P＝＝.
16．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位的前面．不同的安排方法共有_20__种．
[解析]　由题意得，要求甲安排在另外两位的前面，则甲有3种安排方法，即甲在周一、二、三；可分为三个类别计算：甲在周一有A＝12种安排方法；甲在周二有A＝6种安排方法；甲在周三有A＝2种安排方法．所以共有12＋6＋2＝20种不同的安排方法．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A，B，C三个智力竞赛项目，每个人都要报名参加．分别求在下列情况下的不同报名方法的种数．
(1)甲、乙报同一项目，丙不报A项目；
(2)甲不报A项目，且B，C项目报名的人数相同．
[解析]　(1)甲、乙报同一项目，丙不报A项目，共有CCC＝3×2×3＝18(种)报名方法．
(2)由题意，若B，C项目各有一人，有CA＝6(种)报名方法；若B，C项目各有两人，有C＝6(种)报名方法，所以甲不报A项目，且B，C项目报名的人数相同的报名方法共有6＋6＝12(种)．
18．(本小题满分12分)已知在n的展开式中，第9项为常数项，求：
(1)n的值；
(2)展开式中x5的系数；
(3)含x的整数指数幂的项的个数．
[解析]　二项展开式的通项为Tk＋1＝Cn－kk＝(－1)kn－kCx2n－k(k＝0，1，2，…，n)．
(1)因为第9项为常数项，所以当k＝8时，2n－k＝0，
解得n＝10.
(2)令2n－k＝5，得k＝(2n－5)＝6，
所以x5的系数为(－1)64C＝.
(3)要使2n－k，即为整数，只需k为偶数．
由于k＝0，1，2，3，…，9，10，
故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．
19．(本小题满分12分)已知(1＋m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112.
(1)求m，n的值；
(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和；
(3)求(1＋m)n(1－x)的展开式中含x2项的系数．
[解析]　(1)由题意可得2n＝256，解得n＝8.
∴通项Tr＋1＝Cmrx，
∴含x项的系数为Cm2＝112，
解得m＝2，或m＝－2(舍去)．
故m，n的值分别为2，8.
(2)展开式中奇数项的二项式系数之和为C＋C＋C＋C＝28－1＝128.
(3)(1＋2)8(1－x)＝(1＋2)8－x(1＋2)8，
所以含x2项的系数为C24－C22＝1 008.
20．(本小题满分12分)某兴趣小组有9名学生，若从这9名学生中选取3人，且选取的3人中恰好有一名女生的概率是.
(1)该小组中男、女学生各有多少人？
(2)9名学生站成一列，现要求女生保持相对顺序不变(即女生前后顺序保持不变)重新站队，有多少种重新站队的方法？(要求用数字作答)
(3)9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？(要求用数字作答)
[解析]　(1)设男生有x人，则＝，
即x(x－1)(9－x)＝90，解得x＝6.经检验符合题意，故男生有6人，女生有3人．
(2)由(1)知，男生有6人，女生有3人．
方法一：第一步：让6名男生先从9个位置中选6个位置，共有A＝60 480(种)方法；
第二步：余下的位置让3名女生去站，因为要保持相对顺序不变，故只有1种选择，因此一共有60 480×1－1＝60 479(种)重新站队的方法．
方法二：9名学生站队共有A种站队方法，3名女生有A种站队顺序，因此一共有＝60 480(种)站队方法，所以重新站队的方法有60 480－1＝60 479(种)．
(3)由(1)知，男生有6人，女生有3人，第一步：将6名男生分成3组，每组2人，共有＝15(种)分法；
第二步：三名女生站好队，然后将3组男生插入她们形成的空中，共有AA＝144(种)站队方法；
第三步：3组男生中每组男生站队方法都有(A)3＝8(种)，故一共有15×144×8＝17 280(种)站队方法．
21．(本小题满分12分)已知n(n∈N*)的展开式的各项系数之和等于5的展开式中的常数项，求n的展开式中a－1项的二项式系数．
[解析]　对于5：Tr＋1＝C(4)5－rr＝C·(－1)r·45－r·5－b.
若Tr＋1为常数项，则10－5r＝0，所以r＝2，此时得常数项为T3＝C·(－1)2·43·5－1＝27.
令a＝1，得n展开式的各项系数之和为2n.由题意知2n＝27，所以n＝7.对于7：Tr＋1＝
C7－r·(－)r＝C·(－1)r·37－ra.
若Tr＋1为a－1项，则＝－1，所以r＝3.
所以n的展开式中a－1项的二项式系数为C＝35.
22．(本小题满分12分)0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．
(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
(2)在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；
(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．
[解析]　(1)将所有的三位偶数分为两类：①若个位数为0，则共有A＝12(种)；②若个位数为2或4，则共有2×3×3＝18(种)．所以共有30个符合题意的三位偶数．
(2)将这些“凹数”分为三类：①若十位数字为0，则共有A＝12(种)；②若十位数字为1，则共有A＝6(种)；③若十位数字为2，则共有A＝2(种)．所以共有20个符合题意的“凹数”．
(3)将符合题意的五位数分为三类：①若两个奇数数字在一、三位置，则共有A·A＝12(种)；②若两个奇数数字在二、四位置，则共有A·C·A＝8(种)；③若两个奇数数字在三、五位置，则共有A·C·A＝8(种)．所以共有28个符合题意的五位数．