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2023年四川省眉山市中考数学试卷（含答案解析）
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这是一份2023年四川省眉山市中考数学试卷（含答案解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省眉山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑。
1．（4分）的倒数是（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
2．（4分）生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000021毫米，数据0.0000021用科学记数法表示正确的是（ ）
A．2.1×10﹣6 B．21×10﹣6 C．2.1×10﹣5 D．21×10﹣5
3．（4分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3a3﹣a2＝2a B．（a+b）2＝a2+b2
C．a3b2÷a2＝a D．（a2b）2＝a4b2
4．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（ ）
A．70° B．100° C．110° D．140°
5．（4分）已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的方差为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．10
6．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B．m＞3 C．m≤3 D．m＜3
7．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（4分）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．14
9．（4分）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A．﹣5≤m＜﹣4 B．﹣5＜m≤﹣4 C．﹣4≤m＜﹣3 D．﹣4＜m≤﹣3
10．（4分）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）
A．25° B．35° C．40° D．45°
11．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＜0；
③3a+c＝0；
④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点，延长CB至点F，使BF＝DE，连结AE，AF，EF，EF交AB于点K，过点A作AG⊥EF，垂足为点H，交CF于点G，连结HD，HC．
下列四个结论：
①AH＝HC；
②HD＝CD；
③∠FAB＝∠DHE；
④AK•HD＝．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上。
13．（4分）分解因式：x3﹣4x2+4x＝ ．
14．（4分）已知方程x2﹣3x﹣4＝0的根为x1，x2，则（x1+2）•（x2+2）的值为 ．
15．（4分）如图，△ABC中，AD是中线，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，直线MN交AB于点E，连结CE交AD于点F，过点D作DG∥CE，交AB于点G，若DG＝2，则CF的长为 ．
16．（4分）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ．
17．（4分）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 海里．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（﹣8，6），过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点C，点A，直线y＝﹣2x﹣6与AB交于点D，与y轴交于点E，动点M在线段BC上，动点N在直线y＝﹣2x﹣6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为 ．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上。
19．（8分）计算：（2）0﹣|1﹣|+3tan30°+（﹣）﹣2．
20．（8分）先化简：（1﹣），再从﹣2，﹣1，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
21．（10分）某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．音乐，B．美术，C．体育，D．阅读，E．人工智能．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：
根据图中信息，完成下列问题：
（1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
②扇形统计图中的圆心角α的度数为 ．
（2）若该校有3600名学生，估计该校参加E组（人工智能）的学生人数；
（3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．
22．（10分）如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：AF＝AB；
（2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H，若AG＝2，FG＝6，求GH的长．
23．（10分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数在第四象限内的图象交于点C（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（10分）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若，BP＝4，求CD的长．
26．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
2023年四川省眉山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑。
1．（4分）的倒数是（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
【解答】解：的倒数是﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
2．（4分）生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000021毫米，数据0.0000021用科学记数法表示正确的是（ ）
A．2.1×10﹣6 B．21×10﹣6 C．2.1×10﹣5 D．21×10﹣5
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000021＝2.1×10﹣6；
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（4分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3a3﹣a2＝2a B．（a+b）2＝a2+b2
C．a3b2÷a2＝a D．（a2b）2＝a4b2
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝a2+b2+2ab，不符合题意；
C、原式＝ab2，不符合题意；
D、原式＝a4b2，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了整式的混合运算，合并同类项，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，以及单项式除单项式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
4．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（ ）
A．70° B．100° C．110° D．140°
【分析】根据等边对等角得到∠B＝∠ACB，利用三角形内角和定理求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠ACD的度数．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝∠ACB＝，
∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝40°+70°＝110°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质：等边对等角．
5．（4分）已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的方差为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．10
【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差公式计算即可．
【解答】解：＝×（2+3+4+5+6）＝4，
s2＝×[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了方差，掌握方差公式是解题的关键．
6．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B．m＞3 C．m≤3 D．m＜3
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）＝12﹣4m＞0，
解得：m＜3．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
7．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】把方程组的两个方程相减得到2x﹣2y＝2m+6，结合x﹣y＝4，得到m的值．
【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组为，
①﹣②，得：
∴2x﹣2y＝2m+6，
∴x﹣y＝m+3，
∵x﹣y＝4，
∴m+3＝4，
∴m＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是把方程组的两个方程相加得到m的方程，此题难度不大．
8．（4分）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．14
【分析】综合左视图和俯视图，所用的小正方体分上下三层，前后三行，最后一行有一层，三个小正方体；中间一行有二层，最少三个小正方体；前面一行有三层，三个小正方体，即可得出答案．
【解答】解：搭成该立体图形的小正方体的最少个数为3+3+3＝9（个），
故选：B．
【点评】本题考查由三视图判断几何体，推出每一行小正方体的个数是解题的关键．
9．（4分）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A．﹣5≤m＜﹣4 B．﹣5＜m≤﹣4 C．﹣4≤m＜﹣3 D．﹣4＜m≤﹣3
【分析】先解不等式组，再根据仅有4个整数解得出m的不等式组，再求解．
【解答】解：解不等式组得：m+3＜x＜3，
由题意得：﹣2≤m+3＜﹣1，
解得：﹣5≤m＜﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解不等式组的方法是解题的关键．
10．（4分）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）
A．25° B．35° C．40° D．45°
【分析】连接OB，由切线的性质得到∠ABO＝90°，由平行线的性质得到∠D＝∠OCD＝25°，由圆周角定理得出∠O＝2∠D＝50°，因此∠A＝90°﹣∠O＝40°．
【解答】解：连接OB，
∵AB切⊙O于B，
∴半径OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵BD∥OA，
∴∠D＝∠OCD＝25°，
∴∠O＝2∠D＝50°，
∴∠A＝90°﹣∠O＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠O＝2∠D，由切线的性质定理得到∠ABO＝90°，由直角三角形的性质即可求出∠A的度数．
11．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＜0；
③3a+c＝0；
④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数图象的开口方向，顶点的位置、与y轴交点的位置可对a，b，c的符号进行判断，进而可对结论①进行判断；根据抛物线的对称轴及与x轴的交点可对二次函数图象上的点（﹣2，4a﹣2b+c）的位置进行判定，进而可对结论②进行判断；根据二次函数的图象与x轴的两个交点坐标可对结论③、结论④进行判断，据此可得出此题的答案．
【解答】解：①∵二次函数图象的开口向上，
∴a＜0，
∵二次函数图象的顶点在第四象限，
∴，
∵a＞0，
∴b＞0，
∵二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∴abc＜0，故结论①正确；
②对于y＝ax2+bx+c，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，
∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在二次函数的图象上，
又∵二次函数的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），
∴二次函数与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在x轴下方的抛物线上，
∴4a﹣2b+c＜0，故结论②正确；
③∵二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为（1，0），（﹣3，0），
∴，消去b得：3a+c＝0，故结论③正确；
④∵二次函数图象的开口向上，与y轴的两个交点坐标分别为（1，0），（﹣3，0）
∴当﹣3＜x＜1时，二次函数图象的位置在x轴的下方，
∴y＜0，即：ax2+bx+c＜0，故结论④正确．
综上所述：结论①②③④正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标．
12．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点，延长CB至点F，使BF＝DE，连结AE，AF，EF，EF交AB于点K，过点A作AG⊥EF，垂足为点H，交CF于点G，连结HD，HC．
下列四个结论：
①AH＝HC；
②HD＝CD；
③∠FAB＝∠DHE；
④AK•HD＝．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①证明△EAF是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得AH＝EF＝CH，可得①正确；
②证明∠DAH与∠AHD不一定相等，则AD与DH不一定相等，可知②不正确；
③证明△ADH≌△CDH（SSS），则∠ADH＝∠CDH＝45°，再由等腰直角三角形的性质可得结论正确；
④证明△AKF∽△HED，列比例式可得结论正确．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ADE＝∠ABC＝90°，
∴∠ADE＝∠ABF＝90°，
∵DE＝BF，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，
∵∠DAE+∠EAB＝90°，
∴∠BAF+∠EAB＝90°，即∠EAF＝90°，
∵AG⊥EF，
∴EH＝FH，
∴AH＝EF，
Rt△ECF中，∵EH＝FH，
∴CH＝EF，
∴AH＝CH；
故①正确；
③∵AH＝CH，AD＝CD，DH＝DH，
∴△ADH≌△CDH（SSS），
∴∠ADH＝∠CDH＝45°，
∵△AEF为等腰直角三角形，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AFK＝∠EDH＝45°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD，
∴∠BKF＝∠CEH，
∴∠AKF＝∠DEH，
∴∠FAB＝∠DHE，
故③正确；
②∵∠ADH＝∠AEF，
∴∠DAE＝∠DHE，
∵∠BAD＝∠AHE＝90°，
∴∠BAE＝∠AHD，
∵∠DAE与∠BAG不一定相等，
∴∠DAH与∠AHD不一定相等，
则AD与DH不一定相等，即DH与CD不一定相等，
故②不正确；
④∵∠FAB＝∠DHE，∠AFK＝∠EDH，
∴△AKF∽△HED，
∴＝，
∴AK•DH＝AF•EH，
在等腰直角三角形AFH中，AF＝FH＝EH，
∴AK•HD＝．
故④正确；
∴本题正确的结论有①③④，共3个．
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一“的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一“的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解题的关键．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上。
13．（4分）分解因式：x3﹣4x2+4x＝ x（x﹣2）2 ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（x2﹣4x+4）
＝x（x﹣2）2．
故答案为：x（x﹣2）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．（4分）已知方程x2﹣3x﹣4＝0的根为x1，x2，则（x1+2）•（x2+2）的值为 6 ．
【分析】直接利用根与系数的关系作答．
【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣4＝0的根为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣4，
∴（x1+2）•（x2+2）＝x1•x2+2x1+2x2+4＝﹣4+2×3+4＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
15．（4分）如图，△ABC中，AD是中线，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，直线MN交AB于点E，连结CE交AD于点F，过点D作DG∥CE，交AB于点G，若DG＝2，则CF的长为 ．
【分析】先判断DG为△BCE的中位线，再根据三角形相似求解．
【解答】解：由作图得：MN垂直平分AB，
∴AE＝BE＝AB，
∵DG∥CE，
∴AD是中线，
∴GB＝EG＝BE＝AB，
∴GD为△BCE的中位线，
∴CE＝2GD＝4，
∵DG∥CE，
∴△AEF∽△AGD，
∴，即：，
解得：EF＝，
∴CF＝EC﹣EF＝4﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了基本作图，掌握三角形的中位线的性质和三角形相似的性质是解题的关键．
16．（4分）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 m≥﹣5且m≠﹣3 ．
【分析】根据解分式方程的方法，用含m的式子表示x的值，再根据解为非负数和分母不为0即可求解．
【解答】解：，
去分母得：x+m﹣3（x﹣2）＝1﹣x，
去括号移项得：x﹣3x+x＝1﹣m﹣6，
合并同类项得：﹣x＝﹣5﹣m，
系数化为1得：x＝5+m，
∵x﹣2≠0，
∴x≠2，即5+m≠2，
∴m≠﹣3，
∵解为非负数，
∴x＝5+m≥0，
∴m≥﹣5，
∴m≥﹣5且m≠﹣3．
故答案为：m≥﹣5且m≠﹣3．
【点评】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一定要注意分式方程的最简公分母不能为0．
17．（4分）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 6（﹣1） 海里．
【分析】过点C作CH⊥AB于H．证得BH＝CH，在Rt△ACH中，解直角三角形求出CH的值即可．
【解答】解：过点C作CH⊥AB于H．
∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°，
∴∠CAH＝90°﹣∠CAD＝30°，∠CBH＝90°﹣∠CBE＝45°，
∴∠BCH＝90°﹣45°＝45°＝∠CBH，
∴BH＝CH，
在Rt△ACH中，∠CAH＝30°，AH＝AB+BH＝12+CH，tan30°＝，
∴CH＝（12+CH），
解得CH＝6（﹣1）．
答：渔船与灯塔C的最短距离是6（﹣1）海里．
故答案为：6（﹣1）．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确根据题意画出辅助线，熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（﹣8，6），过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点C，点A，直线y＝﹣2x﹣6与AB交于点D，与y轴交于点E，动点M在线段BC上，动点N在直线y＝﹣2x﹣6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为 （﹣8，6） ．
【分析】过点N作PQ⊥y轴交y轴于点P，交BC于点Q，此时△APN≌△NQM（AAS），设N（t，2t﹣6），可得OP＝2t﹣6，NQ＝AP＝8﹣t，NP＝MQ＝t，所以8﹣t+2t﹣6＝6，求得t＝4，即可求解．
【解答】解：过点N作PQ⊥y轴交y轴于点P，交BC于点Q，
∴∠APQ＝∠NQM＝90°，
∵△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AN＝NM，∠ANM＝90°，
∴∠ANP+∠MNQ＝∠NMQ+∠MNQ，
∴∠ANP＝∠NMQ，
∴△△APN≌△NQM（AAS），
∴AP＝NQ，NP＝MQ，
设D（t，2t﹣6），
∴NP＝MQ＝t，OP＝2t﹣6，
又∵NQ＝AP＝8﹣NP＝8﹣t，
∴8﹣t+2t﹣6＝6，
∴t＝4，
CM＝MQ+CQ＝MQ+OP＝t+2t﹣6＝6，
∴M（﹣8，6）．
故答案为：（﹣8，6）．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，能够通过作垂线构造全等的直角三角形，由三角形全等对应边相等，将N点坐标转化到三角形的边长关系中，从而建立等量关系求解是解题的关键．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上。
19．（8分）计算：（2）0﹣|1﹣|+3tan30°+（﹣）﹣2．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1﹣（﹣1）+3×+4
＝1﹣+1++4
＝6．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，绝对值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（8分）先化简：（1﹣），再从﹣2，﹣1，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】先把括号里进行通分，再计算除法，最后代入求解．
【解答】解：（1﹣）
＝•
＝，
∵x≠1且x≠±2，
∴当x＝﹣1时，原式＝1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握因式分解是解题的关键．
21．（10分）某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．音乐，B．美术，C．体育，D．阅读，E．人工智能．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：
根据图中信息，完成下列问题：
（1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
②扇形统计图中的圆心角α的度数为 120° ．
（2）若该校有3600名学生，估计该校参加E组（人工智能）的学生人数；
（3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．
【分析】（1）①先根据B小组人数及其所对应的百分比可得被调查的总人数，再根据5个兴趣小组人数之和等于总人数求出D小组人数，从而补全图形；
②用360°乘以D小组人数占被调查人数的比例即可；
（2）用总人数乘以样本中E小组人数占被调查人数的比例即可；
（3）画树状图列举出所有等可能结果，再从树状图中确定恰好抽到一名男生一名女生的结果数，继而利用概率公式求解即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，被调查的总人数为30÷10%＝300（人），
所以D小组人数为300﹣（40+30+70+60）＝100（人），
补全图形如下：
②扇形统计图中的圆心角α的度数为360°×＝120°，
故答案为：120°；
（2）3600×＝720（名），
答：估计该校参加E组（人工智能）的学生有720名；
（3）画树状图为：
由树状图知，共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生一名女生的概率为＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识．注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：AF＝AB；
（2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H，若AG＝2，FG＝6，求GH的长．
【分析】（1）先根据AAS证明△CDE≌△FAE，得CE＝EF，再根据平行线分线段成比例定理可得结论；
（2）先根据（1）可得：AB＝AF＝8，由平行线的性质和等腰三角形的判定可得CG＝GF＝6，证明△DCH∽△AGH，列比例式可得GH的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴∠D＝∠FAD，∠DCE＝∠F，
∵E是AD的中点，
∴DE＝AE，
∴△CDE≌△FAE（AAS），
∴CE＝EF，
∵AE∥BC，
∴＝＝1，
∴AF＝AB；
（2）解：∵AG＝2，FG＝6，
∴AF＝FG+AG＝6+2＝8，
∴AB＝AF＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8，
∵∠DCE＝∠F，∠FCG＝∠FCD，
∴∠F＝∠FCG，
∴CG＝FG＝6，
∵CD∥AF，
∴△DCH∽△AGH，
∴＝，即＝，
∴GH＝1.2．
【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，掌握三角形全等和相似的性质和判定是解本题的关键．
23．（10分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【分析】（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100﹣m）本，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；
（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100﹣m）本，
根据题意得：35m+30（100﹣m）≤3200，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数在第四象限内的图象交于点C（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b，求得一次函数表达式，进而可得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可；
（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；
（3）过点A作AE⊥BC交y轴于点E，证明△AOB∽△EOA得出点E的坐标，在求出直线AE的表达式，与反比例函数联立方程组即可．
【解答】（1）将A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴一次函数表达式为：y＝﹣x+2，
将C（6，a）代入得：y＝﹣×6+2＝﹣1，
∴C（6，﹣1），
将C（6，﹣1）代入y＝得：m＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为：y＝；
（2）设一次函数与反比例函数在第二象限交于点D，
联立，
解得：或，
∴D（﹣2，3），
∴由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜6时，kx+b＞，
（3）存在，理由：
过点A作AE⊥BC交y轴于点E，
∵∠BAO+∠EAO＝90°，∠EAO+∠AEO＝90°，
∴∠BAO＝∠AEO，
∵∠AOB＝∠EOA＝90°，
∴△AOB∽△EOA，
∴，
∴，
∴OE＝8，
∴E（0，﹣8），
设直线AE的表达式为：y＝ax+b，
将（4，0），（0，﹣8）代入得：，
解得：，
∴直线AE的表达式为：y＝2x﹣8，
联立：，
解得：或，
∴点P的坐标为：（1，﹣6）或（3，﹣2）．
【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查的有待定系数法求一次函数、反比例函数表达式，相似三角形的判定及性质．
25．（10分）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若，BP＝4，求CD的长．
【分析】（1）连接OE，证明OE∥AD，即可得到结论；
（2）根据锐角三角函数先求出半径和AD的长，然后证明△AEB≌△AEC（ASA），AB＝AC＝4，进而根据线段的和差即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠OAE＝∠DAE，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∴∠DAE＝∠OEA，
∴OE∥AD，
∵ED⊥AC，
∴OE⊥PD，
∵OE是⊙O的半径，
∴PE是⊙O的切线；
（2）解：∵＝，BP＝4，OB＝OE，
∴＝，
∴OE＝2，
∴AB＝2OE＝4，
∴AP＝AB+BP＝8，
在Rt△APD中，sin∠P＝＝，
∴AD＝AP＝，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°＝∠AEC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AE＝AE，
∴△AEB≌△AEC（ASA），
∴AB＝AC＝4，
∴CD＝AC﹣AD＝4﹣＝，
∴CD的长为．
【点评】本题考查切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题．
26．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法，将点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，即可求得抛物线的解析式；
（2）运用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+3，过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），可得PE＝﹣t2﹣2t﹣t＝﹣t2﹣3t，由PE∥x轴，得△EPD∽△ABD，进而得出＝＝＝﹣（t+）2+，再运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）设点P的坐标，则点M的坐标可表示，PM长度可表示，利用翻折推出PM＝CM，列方程求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+n，则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，如图，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），
∴PE＝﹣t2﹣2t﹣t＝﹣t2﹣3t，
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∵PE∥x轴，
∴△EPD∽△ABD，
∴＝，
∴＝＝﹣（t+）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣时，的值最大，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）；
（3）如图，设P（m，﹣m2﹣2m+3），
则M（m，m+3），
∴PM＝|m+3﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|m2+3m|，
CM＝＝|m|，
∵△PCM沿直线PC翻折，M的对应点为点M′，M′落在y轴上，
而PM∥y轴，
∴PM∥CM′，PM＝PM′，CM＝CM′，∠PCM＝∠PCM′，
∴∠PCM′＝∠MPC，
∴∠PCM＝∠MPC，
∴PM＝CM，
∴|m2+3m|＝|m|，
当m2+3m＝m时，
解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣3，
此时点M（﹣3，）；
当m2+3m＝﹣m时，
解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣﹣3，
此时点M（﹣﹣3，﹣）；
综上，点M的坐标为（﹣3，）或（﹣﹣3，﹣）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转换为线段长度，几何图形与二次函数结合的问题，相似三角形的判定和性质，翻折变换的性质等，最后一问推出PM＝CM为解题关键．
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2023年四川省眉山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑。
1．（4分）的倒数是（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
2．（4分）生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000021毫米，数据0.0000021用科学记数法表示正确的是（ ）
A．2.1×10﹣6 B．21×10﹣6 C．2.1×10﹣5 D．21×10﹣5
3．（4分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3a3﹣a2＝2a B．（a+b）2＝a2+b2
C．a3b2÷a2＝a D．（a2b）2＝a4b2
4．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（ ）
A．70° B．100° C．110° D．140°
5．（4分）已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的方差为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．10
6．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B．m＞3 C．m≤3 D．m＜3
7．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（4分）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．14
9．（4分）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A．﹣5≤m＜﹣4 B．﹣5＜m≤﹣4 C．﹣4≤m＜﹣3 D．﹣4＜m≤﹣3
10．（4分）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）
A．25° B．35° C．40° D．45°
11．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＜0；
③3a+c＝0；
④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点，延长CB至点F，使BF＝DE，连结AE，AF，EF，EF交AB于点K，过点A作AG⊥EF，垂足为点H，交CF于点G，连结HD，HC．
下列四个结论：
①AH＝HC；
②HD＝CD；
③∠FAB＝∠DHE；
④AK•HD＝．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上。
13．（4分）分解因式：x3﹣4x2+4x＝ ．
14．（4分）已知方程x2﹣3x﹣4＝0的根为x1，x2，则（x1+2）•（x2+2）的值为 ．
15．（4分）如图，△ABC中，AD是中线，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，直线MN交AB于点E，连结CE交AD于点F，过点D作DG∥CE，交AB于点G，若DG＝2，则CF的长为 ．
16．（4分）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ．
17．（4分）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 海里．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（﹣8，6），过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点C，点A，直线y＝﹣2x﹣6与AB交于点D，与y轴交于点E，动点M在线段BC上，动点N在直线y＝﹣2x﹣6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为 ．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上。
19．（8分）计算：（2）0﹣|1﹣|+3tan30°+（﹣）﹣2．
20．（8分）先化简：（1﹣），再从﹣2，﹣1，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
21．（10分）某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．音乐，B．美术，C．体育，D．阅读，E．人工智能．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：
根据图中信息，完成下列问题：
（1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
②扇形统计图中的圆心角α的度数为 ．
（2）若该校有3600名学生，估计该校参加E组（人工智能）的学生人数；
（3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．
22．（10分）如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：AF＝AB；
（2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H，若AG＝2，FG＝6，求GH的长．
23．（10分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数在第四象限内的图象交于点C（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（10分）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若，BP＝4，求CD的长．
26．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
2023年四川省眉山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑。
1．（4分）的倒数是（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
【解答】解：的倒数是﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
2．（4分）生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000021毫米，数据0.0000021用科学记数法表示正确的是（ ）
A．2.1×10﹣6 B．21×10﹣6 C．2.1×10﹣5 D．21×10﹣5
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000021＝2.1×10﹣6；
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（4分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3a3﹣a2＝2a B．（a+b）2＝a2+b2
C．a3b2÷a2＝a D．（a2b）2＝a4b2
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝a2+b2+2ab，不符合题意；
C、原式＝ab2，不符合题意；
D、原式＝a4b2，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了整式的混合运算，合并同类项，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，以及单项式除单项式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
4．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（ ）
A．70° B．100° C．110° D．140°
【分析】根据等边对等角得到∠B＝∠ACB，利用三角形内角和定理求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠ACD的度数．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝∠ACB＝，
∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝40°+70°＝110°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质：等边对等角．
5．（4分）已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的方差为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．10
【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差公式计算即可．
【解答】解：＝×（2+3+4+5+6）＝4，
s2＝×[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了方差，掌握方差公式是解题的关键．
6．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B．m＞3 C．m≤3 D．m＜3
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）＝12﹣4m＞0，
解得：m＜3．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
7．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】把方程组的两个方程相减得到2x﹣2y＝2m+6，结合x﹣y＝4，得到m的值．
【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组为，
①﹣②，得：
∴2x﹣2y＝2m+6，
∴x﹣y＝m+3，
∵x﹣y＝4，
∴m+3＝4，
∴m＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是把方程组的两个方程相加得到m的方程，此题难度不大．
8．（4分）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．14
【分析】综合左视图和俯视图，所用的小正方体分上下三层，前后三行，最后一行有一层，三个小正方体；中间一行有二层，最少三个小正方体；前面一行有三层，三个小正方体，即可得出答案．
【解答】解：搭成该立体图形的小正方体的最少个数为3+3+3＝9（个），
故选：B．
【点评】本题考查由三视图判断几何体，推出每一行小正方体的个数是解题的关键．
9．（4分）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A．﹣5≤m＜﹣4 B．﹣5＜m≤﹣4 C．﹣4≤m＜﹣3 D．﹣4＜m≤﹣3
【分析】先解不等式组，再根据仅有4个整数解得出m的不等式组，再求解．
【解答】解：解不等式组得：m+3＜x＜3，
由题意得：﹣2≤m+3＜﹣1，
解得：﹣5≤m＜﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解不等式组的方法是解题的关键．
10．（4分）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）
A．25° B．35° C．40° D．45°
【分析】连接OB，由切线的性质得到∠ABO＝90°，由平行线的性质得到∠D＝∠OCD＝25°，由圆周角定理得出∠O＝2∠D＝50°，因此∠A＝90°﹣∠O＝40°．
【解答】解：连接OB，
∵AB切⊙O于B，
∴半径OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵BD∥OA，
∴∠D＝∠OCD＝25°，
∴∠O＝2∠D＝50°，
∴∠A＝90°﹣∠O＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠O＝2∠D，由切线的性质定理得到∠ABO＝90°，由直角三角形的性质即可求出∠A的度数．
11．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＜0；
③3a+c＝0；
④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数图象的开口方向，顶点的位置、与y轴交点的位置可对a，b，c的符号进行判断，进而可对结论①进行判断；根据抛物线的对称轴及与x轴的交点可对二次函数图象上的点（﹣2，4a﹣2b+c）的位置进行判定，进而可对结论②进行判断；根据二次函数的图象与x轴的两个交点坐标可对结论③、结论④进行判断，据此可得出此题的答案．
【解答】解：①∵二次函数图象的开口向上，
∴a＜0，
∵二次函数图象的顶点在第四象限，
∴，
∵a＞0，
∴b＞0，
∵二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∴abc＜0，故结论①正确；
②对于y＝ax2+bx+c，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，
∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在二次函数的图象上，
又∵二次函数的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），
∴二次函数与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在x轴下方的抛物线上，
∴4a﹣2b+c＜0，故结论②正确；
③∵二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为（1，0），（﹣3，0），
∴，消去b得：3a+c＝0，故结论③正确；
④∵二次函数图象的开口向上，与y轴的两个交点坐标分别为（1，0），（﹣3，0）
∴当﹣3＜x＜1时，二次函数图象的位置在x轴的下方，
∴y＜0，即：ax2+bx+c＜0，故结论④正确．
综上所述：结论①②③④正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标．
12．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点，延长CB至点F，使BF＝DE，连结AE，AF，EF，EF交AB于点K，过点A作AG⊥EF，垂足为点H，交CF于点G，连结HD，HC．
下列四个结论：
①AH＝HC；
②HD＝CD；
③∠FAB＝∠DHE；
④AK•HD＝．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①证明△EAF是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得AH＝EF＝CH，可得①正确；
②证明∠DAH与∠AHD不一定相等，则AD与DH不一定相等，可知②不正确；
③证明△ADH≌△CDH（SSS），则∠ADH＝∠CDH＝45°，再由等腰直角三角形的性质可得结论正确；
④证明△AKF∽△HED，列比例式可得结论正确．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ADE＝∠ABC＝90°，
∴∠ADE＝∠ABF＝90°，
∵DE＝BF，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，
∵∠DAE+∠EAB＝90°，
∴∠BAF+∠EAB＝90°，即∠EAF＝90°，
∵AG⊥EF，
∴EH＝FH，
∴AH＝EF，
Rt△ECF中，∵EH＝FH，
∴CH＝EF，
∴AH＝CH；
故①正确；
③∵AH＝CH，AD＝CD，DH＝DH，
∴△ADH≌△CDH（SSS），
∴∠ADH＝∠CDH＝45°，
∵△AEF为等腰直角三角形，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AFK＝∠EDH＝45°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD，
∴∠BKF＝∠CEH，
∴∠AKF＝∠DEH，
∴∠FAB＝∠DHE，
故③正确；
②∵∠ADH＝∠AEF，
∴∠DAE＝∠DHE，
∵∠BAD＝∠AHE＝90°，
∴∠BAE＝∠AHD，
∵∠DAE与∠BAG不一定相等，
∴∠DAH与∠AHD不一定相等，
则AD与DH不一定相等，即DH与CD不一定相等，
故②不正确；
④∵∠FAB＝∠DHE，∠AFK＝∠EDH，
∴△AKF∽△HED，
∴＝，
∴AK•DH＝AF•EH，
在等腰直角三角形AFH中，AF＝FH＝EH，
∴AK•HD＝．
故④正确；
∴本题正确的结论有①③④，共3个．
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一“的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一“的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解题的关键．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上。
13．（4分）分解因式：x3﹣4x2+4x＝ x（x﹣2）2 ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（x2﹣4x+4）
＝x（x﹣2）2．
故答案为：x（x﹣2）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．（4分）已知方程x2﹣3x﹣4＝0的根为x1，x2，则（x1+2）•（x2+2）的值为 6 ．
【分析】直接利用根与系数的关系作答．
【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣4＝0的根为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣4，
∴（x1+2）•（x2+2）＝x1•x2+2x1+2x2+4＝﹣4+2×3+4＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
15．（4分）如图，△ABC中，AD是中线，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，直线MN交AB于点E，连结CE交AD于点F，过点D作DG∥CE，交AB于点G，若DG＝2，则CF的长为 ．
【分析】先判断DG为△BCE的中位线，再根据三角形相似求解．
【解答】解：由作图得：MN垂直平分AB，
∴AE＝BE＝AB，
∵DG∥CE，
∴AD是中线，
∴GB＝EG＝BE＝AB，
∴GD为△BCE的中位线，
∴CE＝2GD＝4，
∵DG∥CE，
∴△AEF∽△AGD，
∴，即：，
解得：EF＝，
∴CF＝EC﹣EF＝4﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了基本作图，掌握三角形的中位线的性质和三角形相似的性质是解题的关键．
16．（4分）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 m≥﹣5且m≠﹣3 ．
【分析】根据解分式方程的方法，用含m的式子表示x的值，再根据解为非负数和分母不为0即可求解．
【解答】解：，
去分母得：x+m﹣3（x﹣2）＝1﹣x，
去括号移项得：x﹣3x+x＝1﹣m﹣6，
合并同类项得：﹣x＝﹣5﹣m，
系数化为1得：x＝5+m，
∵x﹣2≠0，
∴x≠2，即5+m≠2，
∴m≠﹣3，
∵解为非负数，
∴x＝5+m≥0，
∴m≥﹣5，
∴m≥﹣5且m≠﹣3．
故答案为：m≥﹣5且m≠﹣3．
【点评】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一定要注意分式方程的最简公分母不能为0．
17．（4分）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 6（﹣1） 海里．
【分析】过点C作CH⊥AB于H．证得BH＝CH，在Rt△ACH中，解直角三角形求出CH的值即可．
【解答】解：过点C作CH⊥AB于H．
∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°，
∴∠CAH＝90°﹣∠CAD＝30°，∠CBH＝90°﹣∠CBE＝45°，
∴∠BCH＝90°﹣45°＝45°＝∠CBH，
∴BH＝CH，
在Rt△ACH中，∠CAH＝30°，AH＝AB+BH＝12+CH，tan30°＝，
∴CH＝（12+CH），
解得CH＝6（﹣1）．
答：渔船与灯塔C的最短距离是6（﹣1）海里．
故答案为：6（﹣1）．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确根据题意画出辅助线，熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（﹣8，6），过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点C，点A，直线y＝﹣2x﹣6与AB交于点D，与y轴交于点E，动点M在线段BC上，动点N在直线y＝﹣2x﹣6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为 （﹣8，6） ．
【分析】过点N作PQ⊥y轴交y轴于点P，交BC于点Q，此时△APN≌△NQM（AAS），设N（t，2t﹣6），可得OP＝2t﹣6，NQ＝AP＝8﹣t，NP＝MQ＝t，所以8﹣t+2t﹣6＝6，求得t＝4，即可求解．
【解答】解：过点N作PQ⊥y轴交y轴于点P，交BC于点Q，
∴∠APQ＝∠NQM＝90°，
∵△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AN＝NM，∠ANM＝90°，
∴∠ANP+∠MNQ＝∠NMQ+∠MNQ，
∴∠ANP＝∠NMQ，
∴△△APN≌△NQM（AAS），
∴AP＝NQ，NP＝MQ，
设D（t，2t﹣6），
∴NP＝MQ＝t，OP＝2t﹣6，
又∵NQ＝AP＝8﹣NP＝8﹣t，
∴8﹣t+2t﹣6＝6，
∴t＝4，
CM＝MQ+CQ＝MQ+OP＝t+2t﹣6＝6，
∴M（﹣8，6）．
故答案为：（﹣8，6）．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，能够通过作垂线构造全等的直角三角形，由三角形全等对应边相等，将N点坐标转化到三角形的边长关系中，从而建立等量关系求解是解题的关键．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上。
19．（8分）计算：（2）0﹣|1﹣|+3tan30°+（﹣）﹣2．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1﹣（﹣1）+3×+4
＝1﹣+1++4
＝6．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，绝对值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（8分）先化简：（1﹣），再从﹣2，﹣1，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】先把括号里进行通分，再计算除法，最后代入求解．
【解答】解：（1﹣）
＝•
＝，
∵x≠1且x≠±2，
∴当x＝﹣1时，原式＝1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握因式分解是解题的关键．
21．（10分）某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．音乐，B．美术，C．体育，D．阅读，E．人工智能．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：
根据图中信息，完成下列问题：
（1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
②扇形统计图中的圆心角α的度数为 120° ．
（2）若该校有3600名学生，估计该校参加E组（人工智能）的学生人数；
（3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．
【分析】（1）①先根据B小组人数及其所对应的百分比可得被调查的总人数，再根据5个兴趣小组人数之和等于总人数求出D小组人数，从而补全图形；
②用360°乘以D小组人数占被调查人数的比例即可；
（2）用总人数乘以样本中E小组人数占被调查人数的比例即可；
（3）画树状图列举出所有等可能结果，再从树状图中确定恰好抽到一名男生一名女生的结果数，继而利用概率公式求解即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，被调查的总人数为30÷10%＝300（人），
所以D小组人数为300﹣（40+30+70+60）＝100（人），
补全图形如下：
②扇形统计图中的圆心角α的度数为360°×＝120°，
故答案为：120°；
（2）3600×＝720（名），
答：估计该校参加E组（人工智能）的学生有720名；
（3）画树状图为：
由树状图知，共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生一名女生的概率为＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识．注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：AF＝AB；
（2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H，若AG＝2，FG＝6，求GH的长．
【分析】（1）先根据AAS证明△CDE≌△FAE，得CE＝EF，再根据平行线分线段成比例定理可得结论；
（2）先根据（1）可得：AB＝AF＝8，由平行线的性质和等腰三角形的判定可得CG＝GF＝6，证明△DCH∽△AGH，列比例式可得GH的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴∠D＝∠FAD，∠DCE＝∠F，
∵E是AD的中点，
∴DE＝AE，
∴△CDE≌△FAE（AAS），
∴CE＝EF，
∵AE∥BC，
∴＝＝1，
∴AF＝AB；
（2）解：∵AG＝2，FG＝6，
∴AF＝FG+AG＝6+2＝8，
∴AB＝AF＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8，
∵∠DCE＝∠F，∠FCG＝∠FCD，
∴∠F＝∠FCG，
∴CG＝FG＝6，
∵CD∥AF，
∴△DCH∽△AGH，
∴＝，即＝，
∴GH＝1.2．
【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，掌握三角形全等和相似的性质和判定是解本题的关键．
23．（10分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【分析】（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100﹣m）本，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；
（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100﹣m）本，
根据题意得：35m+30（100﹣m）≤3200，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数在第四象限内的图象交于点C（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b，求得一次函数表达式，进而可得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可；
（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；
（3）过点A作AE⊥BC交y轴于点E，证明△AOB∽△EOA得出点E的坐标，在求出直线AE的表达式，与反比例函数联立方程组即可．
【解答】（1）将A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴一次函数表达式为：y＝﹣x+2，
将C（6，a）代入得：y＝﹣×6+2＝﹣1，
∴C（6，﹣1），
将C（6，﹣1）代入y＝得：m＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为：y＝；
（2）设一次函数与反比例函数在第二象限交于点D，
联立，
解得：或，
∴D（﹣2，3），
∴由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜6时，kx+b＞，
（3）存在，理由：
过点A作AE⊥BC交y轴于点E，
∵∠BAO+∠EAO＝90°，∠EAO+∠AEO＝90°，
∴∠BAO＝∠AEO，
∵∠AOB＝∠EOA＝90°，
∴△AOB∽△EOA，
∴，
∴，
∴OE＝8，
∴E（0，﹣8），
设直线AE的表达式为：y＝ax+b，
将（4，0），（0，﹣8）代入得：，
解得：，
∴直线AE的表达式为：y＝2x﹣8，
联立：，
解得：或，
∴点P的坐标为：（1，﹣6）或（3，﹣2）．
【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查的有待定系数法求一次函数、反比例函数表达式，相似三角形的判定及性质．
25．（10分）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若，BP＝4，求CD的长．
【分析】（1）连接OE，证明OE∥AD，即可得到结论；
（2）根据锐角三角函数先求出半径和AD的长，然后证明△AEB≌△AEC（ASA），AB＝AC＝4，进而根据线段的和差即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠OAE＝∠DAE，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∴∠DAE＝∠OEA，
∴OE∥AD，
∵ED⊥AC，
∴OE⊥PD，
∵OE是⊙O的半径，
∴PE是⊙O的切线；
（2）解：∵＝，BP＝4，OB＝OE，
∴＝，
∴OE＝2，
∴AB＝2OE＝4，
∴AP＝AB+BP＝8，
在Rt△APD中，sin∠P＝＝，
∴AD＝AP＝，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°＝∠AEC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AE＝AE，
∴△AEB≌△AEC（ASA），
∴AB＝AC＝4，
∴CD＝AC﹣AD＝4﹣＝，
∴CD的长为．
【点评】本题考查切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题．
26．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法，将点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，即可求得抛物线的解析式；
（2）运用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+3，过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），可得PE＝﹣t2﹣2t﹣t＝﹣t2﹣3t，由PE∥x轴，得△EPD∽△ABD，进而得出＝＝＝﹣（t+）2+，再运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）设点P的坐标，则点M的坐标可表示，PM长度可表示，利用翻折推出PM＝CM，列方程求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+n，则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，如图，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），
∴PE＝﹣t2﹣2t﹣t＝﹣t2﹣3t，
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∵PE∥x轴，
∴△EPD∽△ABD，
∴＝，
∴＝＝﹣（t+）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣时，的值最大，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）；
（3）如图，设P（m，﹣m2﹣2m+3），
则M（m，m+3），
∴PM＝|m+3﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|m2+3m|，
CM＝＝|m|，
∵△PCM沿直线PC翻折，M的对应点为点M′，M′落在y轴上，
而PM∥y轴，
∴PM∥CM′，PM＝PM′，CM＝CM′，∠PCM＝∠PCM′，
∴∠PCM′＝∠MPC，
∴∠PCM＝∠MPC，
∴PM＝CM，
∴|m2+3m|＝|m|，
当m2+3m＝m时，
解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣3，
此时点M（﹣3，）；
当m2+3m＝﹣m时，
解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣﹣3，
此时点M（﹣﹣3，﹣）；
综上，点M的坐标为（﹣3，）或（﹣﹣3，﹣）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转换为线段长度，几何图形与二次函数结合的问题，相似三角形的判定和性质，翻折变换的性质等，最后一问推出PM＝CM为解题关键．
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