四川省眉山市仁寿县九校联考2022年中考数学模拟试卷（含解析）

四川省眉山市仁寿县九校联考2022年中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 的绝对值是

A.  B.  C.  D.

2. 将用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

4. 下列各式正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 不等式的解集是

A.  B.  C.  D.

6. 某班名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：

那么该班名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

7. 已知，，其中，为正整数，则

A.  B.  C.  D.

8. 红星商店计划用不超过元的资金，购进甲、乙两种单价分别为元、元的商品共件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利元、元，两种商品均售完．若所获利润大于元，则该店进货方案有   

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

9. 一次函数与反比列函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是

A.
B.
C.
D.
 

10. 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度或坡比：的山坡上发现有一棵古树测得古树底端到山脚点的距离米，在距山脚点水平距离米的点处，测得古树顶端的仰角古树与山坡的剖面、点在同一平面上，古树与直线垂直，则古树的高度约为
    参考数据：，，

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

11. 如图是函数的图象，直线轴且过点，将该函数在直线上方的图象沿直线向下翻折，在直线下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于，则的取值范围是

A.
B.
C.
D. 或
 

12. 如图，在中，是边上的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接，若，，则点到的距离为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 方程组的解是______．
14. 分解因式：______．
15. 方程的解是______．
16. 如图所示，是的直径，弦于，，，则的半径是______．
    
     

17. 一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相同，则江水的流速为______．
18. 某活动小组购买了个篮球和个足球，一共花费了元，其中篮球的单价比足球的单价多元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为元，足球的单价为元，依题意，可列方程组为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8分）

19. 计算：
    
    
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共7小题，共70分）

20. 某市气象局统计了月日至日中午时的气温单位：，整理后分别绘制成如图所示的两幅统计图．
    根据图中给出的信息，解答下列问题：
    
    该市月日至日中午时气温的平均数是______，中位数是______；
    求扇形统计图中扇形的圆心角的度数；
    现从该市月日至日的天中，随机抽取天，求恰好抽到天中午时的气温均低于的概率．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点．
     

若，求的度数；   

求证：   






 

22. 辰星旅游度假村有甲种风格客房间，乙种风格客房间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为元；若甲、乙两种风格客房均有间入住，一天营业额为元．

求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？

度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是多少元？






 

23. 如图，正方形的对角线、相交于点，是上一点，连接过点作，垂足为，与相交于点求证：．
    
    
     

24. 如图，在平行四边形中，点在边上，连结，，垂足为，交于点，，垂足为，，垂足为，交于点，点是上一点，连接．
    若，，，求的面积．
    若，，求证：．

25. 如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，，．
    
    求证：≌；
    若，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点在点的左侧，交轴于点，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．
    连结，点是线段上一动点点不与端点，重合，过点作，交抛物线于点点在对称轴的右侧，过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值；
    在中，当取得最大值，取得最小值时，把点向上平移个单位得到点，连结，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了绝对值的意义，如果用字母表示有理数，则数绝对值要由字母本身的取值来确定：当是正数时，的绝对值是它本身；当是负数时，的绝对值是它的相反数；当是零时，的绝对值是零．
根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
【解答】
解：的绝对值是．
故选：．  

2.【答案】
 

【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故选：．
根据有效数字表示方法，以及科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
直接利用单项式乘以单项式运算法则化简得出答案．
此题主要考查了单项式乘以单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了合并同类项的法则、幂的运算法则以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算性质是解答本题的关键．
分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及二次根式的性质解答即可．
【解答】
解：、，故选项A不合题意；
B、，故选项B符合题意；
C、，故选项C不合题意；
D、，故选项D不合题意．
故选B．  

5.【答案】
 

【解析】解：，

．
故选：．
移项、合并同类项，系数化为即可求解．
本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了中位数、众数的概念，属于基础题．
根据中位数、众数的概念结合题中所给表格分别求得这组数据的中位数、众数．
【解答】
解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即；
将所有锻炼时间从小到大排列，处于第，位的两个数的平均数就是中位数，
这组数据的中位数为；
故选D．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方与同底数幂的乘法的运算法则．
将已知等式代入可得．
【解答】
解：，，




，
故选A．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的不等关系，并据此列出不等式组．设该店购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据“购进甲乙商品不超过元的资金、两种商品均售完所获利润大于元”列出关于的不等式组，解之求得整数的值即可得出答案．
【解答】
解：设该店购进甲种商品件，则购进乙种商品件，
根据题意，得：，
解得：，
因为为整数，
所以、、、、，
所以该店进货方案有种，
故选C．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出、、的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系是解题的关键．
根据一次函数与反比例函数图象找出、、的正负，再根据抛物线的对称轴为，找出二次函数对称轴在轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．
【解答】
解：一次函数图象过第一、二、四象限，
，，
，
二次函数开口向下，二次函数对称轴在轴右侧；
反比例函数的图象在第一、三象限，
，
与轴交点在轴上方．
满足上述条件的函数图象只有选项A．
故选：．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图，根据已知条件得到：，设，，根据勾股定理得到，求得，，得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：如图，：，
设，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
答：古树的高度约为米，
故选：．  

11.【答案】
 

【解析】解：如图所示，当时，
，
顶点坐标为，
当时，，
，
当时，，
，
当时，
，
此时最大值为，最小值为；
如图所示，当时，
此时最小值为，最大值为．
综上所述：，
故选：．
找到最大值和最小值差刚好等于的时刻，则的范围可知
此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为的的值为解题关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，交于点，过点作于点，
，是边上的中点，
，
由翻折知，≌，垂直平分，
，，，
，
为等边三角形，
，
，
，
在中，
，，
，，
，
在中，
，
，
，
，
故选：．
连接，交于点，过点作于点，由翻折知，≌，垂直平分，证为等边三角形，利用解直角三角形求出，，，在中，利用勾股定理求出的长，在中利用面积法求出的长．
本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．
 

13.【答案】
 

【解析】解：
得：
，
把代入得：
，
解得：，
方程组的解为：，
故答案为：．
利用加减消元法解之即可．
本题考查了解二元一次方程组，正确掌握加减消元法是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【解答】
解：．
故答案为．  

15.【答案】
 

【解析】解：
去分母，得
去括号，得
移项并整理，得
所以
解得或
经检验，是原方程的解．
故答案为：．
去分母，把分式方程化为整式方程，求解并验根即可．
本题考查了分式方程、一元二次方程的解法．掌握分式方程的解法是解决本题的关键．注意验根．
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
连接，由圆周角定理和垂径定理得出，，由直角三角形的性质得出，，，得出，，求出．
【解答】
解：连接，如图所示：

是的直径，弦于，
，，
，
，
在中，，
，，
，，
，
即的半径是；
故答案为：．  

17.【答案】
 

【解析】解：设江水的流速为，根据题意可得：
，
解得：，
经检验得：是原方程的根，
答：江水的流速为．
故答案为：．
直接利用顺水速静水速水速，逆水速静水速水速，进而得出等式求出答案．
此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
 

18.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
根据题意可得等量关系：个篮球的花费个足球的花费元，篮球的单价足球的单价元，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】
解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，由题意得：
，
故答案为．  

19.【答案】解：

；




．
 

【解析】本题考查分式的混合运算、完全平方公式、单项式乘多项式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
根据完全平方公式、单项式乘多项式可以解答本题；
根据分式的加法和除法可以解答本题．
 

20.【答案】 
 

【解析】解：月日至日中午时气温的平均数：
将天的温度按低到高排列：，，，，，，，，因此中位数为，
故答案为，；
因为低于的天数有天，则扇形统计图中扇形的圆心角的度数，
答：扇形统计图中扇形的圆心角的度数；
设这个月月日至日的天中午时的气温依次即为，，，，，
则抽到天中午时的气温，共有，，，，，，，，，共种不同取法，
其中抽到天中午时的气温均低于有，，种不同取法，
因此恰好抽到天中午时的气温均低于的概率为．
月日至日中午时气温的平均数：，中位数为；
扇形统计图中扇形的圆心角的度数；
设这个月月日至日的天中午时的气温依次即为，，，，，则抽到天中午时的气温，共有共种不同取法，其中抽到天中午时的气温均低于有种不同取法，因此恰好抽到天中午时的气温均低于的概率为．
本题考查了统计图与概率，熟练掌握列表法与树状图求概率是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
，
，
，
，，
，
，
．

证明：平分，
，
，
，
，
．


 

【解析】利用等腰三角形的三线合一的性质证明，再利用等腰三角形的性质求出即可解决问题．
只要证明即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是元、元，
根据题意，得：，
解得，
答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是元、元；
设当每间房间定价为元，
，
当时，此时入住间，取得最大值，此时，
答：当每间房间定价为元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是元．
 

【解析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
根据题意可以得到关于乙种房价的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
本题考查二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

23.【答案】证明：四边形是正方形．
，．
又，
，
．
≌．
．
 

【解析】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到，，根据，即可得出，从而证出≌，得到．
 

24.【答案】解：作于，如图所示：
设，则，
在中，，
在中，，
，
解得：，即，
，
，
，
；
证明：连接，如图所示：
，，，
，
，
在和中，，
≌，
，，
，，，
，，
在和中，，
≌，
，
又，
，
．
 

【解析】作于，设，则，在和中，由勾股定理得出方程，解方程得出，即，得出，求出，由三角形面积公式即可得出结果；
连接，证明≌得出，，再证明≌得出，由，得出，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

25.【答案】证明：是的中点，
，
是的直径，且，
，
，
，
在和中，

≌；

如图，连接，交于，

点是的中点，
，
，
，
，
，，，
≌，
，
，
，
．
 

【解析】此题考查了勾股定理，圆周角定理、垂径定理、三角形中位线定理，三角形全等的性质和判定．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法．
先证，然后根据证明≌；
连接，交于，根据垂径定理和三角形的中位线定理可得，证明≌，得到，则，再利用勾股定理求得，进而可得结论．
 

26.【答案】解：如图

抛物线与轴交于点，点在点的左侧，交轴于点
令解得：，，令，解得：，
，，
点为抛物线的顶点，且，
点的坐标为
直线的解析式为：，
由题意，可设点，则点

当时，取到最大值，此时取到最大值，此时，
此时，，，
在轴上找一点，连接，过点作的垂线交于点点，交轴于点，
，直线的解析式为：，且点，
，直线的解析式为：
点
的最小值即为的长，且
；
由知，点，
把点向上平移个单位得到点
点
在中，，，取的中点，连接，则，此时，
把绕点顺时针旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点
如图

点落在轴的负半轴，则，过点作轴交轴于点，且
则，

，解得：
在中根据勾股定理可得
点的坐标为；
如图，

当点落在轴的正半轴上时，同理可得
如图

当点落在轴的正半轴上时，同理可得
如图

当点落在轴的负半轴上时，同理可得
综上所述，所有满足条件的点的坐标为：，，，
 

【解析】先确定点的位置，可设点，则点，可得，根据二次函数的性质得时，取到最大值，此时取到最大值，此时，此时，在轴上找一点，连接，过点作的垂线交于点点，交轴于点，，直线的解析式为：，从而得到直线的解析式为：联立解出点得的最小值即为的长，且最后得出；
由题意可得出点，，应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半”取的中点，连接，则，此时，，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点，则用，分四种情况求解．
本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点求法和与几何图形结合的综合能力的培养及直角三角形的中线性质．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用通过求点的坐标来表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．