2023年四川省眉山市中考数学试卷(含解析)

2023年四川省眉山市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  生物学家发现了某种花粉的直径约为毫米，数据用科学记数法表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，中，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  已知一组数据为，，，，，则该组数据的方差为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  关于的不等式组的整数解仅有个，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，切于点，连结交于点，交于点，连结，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：
；
；
；
当时，．
其中正确结论的个数为(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

12.  如图，在正方形中，点是上一点，延长至点，使，连结，，，交于点，过点作，垂足为点，交于点，连结，．
下列四个结论：
；
；
；
．
其中正确结论的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  分解因式： ______ ．

14.  已知方程的根为，，则的值为______ ．

15.  如图，中，是中线，分别以点，点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，直线交于点，连结交于点，过点作，交于点，若，则的长为______ ．

16.  关于的方程的解为非负数，则的取值范围是______ ．

17.  一渔船在海上处测得灯塔在它的北偏东方向，渔船向正东方向航行海里到达点处，测得灯塔在它的北偏东方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔的最短距离是______ 海里．

18.  如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点，点，直线与交于点，与轴交于点，动点在线段上，动点在直线上，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则点的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简：，再从，，，中选择一个合适的数作为的值代入求值．

21.  本小题分
某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组每个学生只能参加一个活动小组：音乐，美术，体育，阅读，人工智能为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：

根据图中信息，完成下列问题：
补全条形统计图要求在条形图上方注明人数；
扇形统计图中的圆心角的度数为______ ．
若该校有名学生，估计该校参加组人工智能的学生人数；
该学校从组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．

22.  本小题分
如图，▱中，点是的中点，连结并延长交的延长线于点．
求证：；
点是线段上一点，满足，交于点，若，，求的长．

23.  本小题分
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共本，已知购买本甲种书和本乙种书共需元；购买本甲种书和本乙种书共需元．
求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
若学校决定购买以上两种书的总费用不超过元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．
求反比例函数的表达式；
当时，直接写出的取值范围；
在双曲线上是否存在点，使是以点为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

25.  本小题分
如图，中，以为直径的交于点，平分，过点作于点，延长交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，，求的长．

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．

求抛物线的表达式；
当点在直线上方的抛物线上时，连接交于点，如图，当的值最大时，求点的坐标及的最大值；
过点作轴的垂线交直线于点，连结，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，请直接写出此时点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：；
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：、原式不能合并，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意．
故选：．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的混合运算，合并同类项，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，以及单项式除单项式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
是的一个外角，
，
故选：．
根据等边对等角得到，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求出的度数．
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质：等边对等角．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
先计算这组数据的平均数，再根据方差公式计算即可．
本题考查了方差，掌握方差公式是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
故选：．
根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：关于、的二元一次方程组为，
，得：
，
，
，
，
．
故选：．
把方程组的两个方程相减得到，结合，得到的值．
本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是把方程组的两个方程相加得到的方程，此题难度不大．
 

8.【答案】 

【解析】解：搭成该立体图形的小正方体的最少个数为个，
故选：．
综合左视图和俯视图，所用的小正方体分上下三层，前后三行，最后一行有一层，三个小正方体；中间一行有二层，最少三个小正方体；前面一行有三层，三个小正方体，即可得出答案．
本题考查由三视图判断几何体，推出每一行小正方体的个数是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：解不等式组得：，
由题意得：，
解得：，
故选：．
先解不等式组，再根据仅有个整数解得出的不等式组，再求解．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解不等式组的方法是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，
切于，
半径，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，由切线的性质得到，由平行线的性质得到，由圆周角定理得出，因此．
本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是由圆周角定理得到，由切线的性质定理得到，由直角三角形的性质即可求出的度数．
 

11.【答案】 

【解析】解：二次函数图象的开口向上，
，
二次函数图象的顶点在第四象限，
，
，
，
二次函数图象与轴的交点在轴的负半轴上，
，
，故结论正确；
对于，当时，，
点在二次函数的图象上，
又二次函数的对称轴为，与轴的一个交点为，
二次函数与轴的另一个交点为，
点在轴下方的抛物线上，
，故结论正确；
二次函数的图象与轴的两个交点坐标分别为，，
，消去得：，故结论正确；
二次函数图象的开口向上，与轴的两个交点坐标分别为，
当时，二次函数图象的位置在轴的下方，
，即：，故结论正确．
综上所述：结论正确．
故选：．
根据二次函数图象的开口方向，顶点的位置、与轴交点的位置可对，，的符号进行判断，进而可对结论进行判断；根据抛物线的对称轴及与轴的交点可对二次函数图象上的点的位置进行判定，进而可对结论进行判断；根据二次函数的图象与轴的两个交点坐标可对结论、结论进行判断，据此可得出此题的答案．
此题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
≌，
，，
，
，即，
，
，
，
中，，
，
；
故正确；
，，，
≌，
，
为等腰直角三角形，
，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
故正确；
，
，
，
，
与不一定相等，
与不一定相等，
则与不一定相等，即与不一定相等，
故不正确；
，，
∽，
，
，
在等腰直角三角形中，，
．
故正确；
本题正确的结论有，共个．
故选：．
证明是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得，可得正确；
证明与不一定相等，则与不一定相等，可知不正确；
证明≌，则，再由等腰直角三角形的性质可得结论正确；
证明∽，列比例式可得结论正确．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一“的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一“的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：方程的根为，，
，，
．
故答案为：．
直接利用根与系数的关系作答．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
 

15.【答案】 

【解析】解：由作图得：垂直平分，
，
，
是中线，
，
为的中位线，
，
，
∽，
，即：，
解得：，
，
故答案为：．
先判断为的中位线，再根据三角形相似求解．
本题考查了基本作图，掌握三角形的中位线的性质和三角形相似的性质是解题的关键．
 

16.【答案】且 

【解析】解：，
去分母得：，
去括号移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
，
，即，
，
解为非负数，
，
，
且．
故答案为：且．
根据解分式方程的方法，用含的式子表示的值，再根据解为非负数和分母不为即可求解．
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一定要注意分式方程的最简公分母不能为．
 

17.【答案】 

【解析】解：过点作于．
，，
，，
，
，

在中，，，，
，
解得．
答：渔船与灯塔的最短距离是海里．
故答案为：．
过点作于证得，在中，解直角三角形求出的值即可．
本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确根据题意画出辅助线，熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：过点作轴交轴于点，交于点，

，
是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
，，
，
，
≌，
，，
设，
，，
又，
，
，
，
．
故答案为：．
过点作轴交轴于点，交于点，此时≌，设，可得，，，所以，求得，即可求解．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，能够通过作垂线构造全等的直角三角形，由三角形全等对应边相等，将点坐标转化到三角形的边长关系中，从而建立等量关系求解是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，绝对值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：

，
且，
当时，原式． 

【解析】先把括号里进行通分，再计算除法，最后代入求解．
本题考查了分式的化简求值，掌握因式分解是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：由题意知，被调查的总人数为人，
所以小组人数为人，
补全图形如下：

扇形统计图中的圆心角的度数为，
故答案为：；
名，
答：估计该校参加组人工智能的学生有名；
画树状图为：

由树状图知，共有种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为，
所以恰好抽到一名男生一名女生的概率为．
先根据小组人数及其所对应的百分比可得被调查的总人数，再根据个兴趣小组人数之和等于总人数求出小组人数，从而补全图形；
用乘以小组人数占被调查人数的比例即可；
用总人数乘以样本中小组人数占被调查人数的比例即可；
画树状图列举出所有等可能结果，再从树状图中确定恰好抽到一名男生一名女生的结果数，继而利用概率公式求解即可得出答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识．注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
是的中点，
，
≌，
，
，
，
；
解：，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
∽，
，即，
． 

【解析】先根据证明≌，得，再根据平行线分线段成比例定理可得结论；
先根据可得：，由平行线的性质和等腰三角形的判定可得，证明∽，列比例式可得的长．
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，掌握三角形全等和相似的性质和判定是解本题的关键．
 

23.【答案】解：设甲种书的单价是元，乙种书的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种书的单价是元，乙种书的单价是元；
设该校购买甲种书本，则购买乙种书本，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：该校最多可以购买甲种书本． 

【解析】设甲种书的单价是元，乙种书的单价是元，根据“购买本甲种书和本乙种书共需元；购买本甲种书和本乙种书共需元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该校购买甲种书本，则购买乙种书本，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】将，代入得：，
解得：，
一次函数表达式为：，
将代入得：，
，
将代入得：，
反比例函数的表达式为：；
设一次函数与反比例函数在第二象限交于点，
联立，
解得：或，
，
由图象可知：当或时，，
存在，理由：
过点作交轴于点，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
设直线的表达式为：，
将，代入得：，
解得：，
直线的表达式为：，
联立：，
解得：或，
点的坐标为：或． 

【解析】将，代入，求得一次函数表达式，进而可得点的坐标，再将点的坐标代入反比例函数即可；
将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；
过点作交轴于点，证明∽得出点的坐标，在求出直线的表达式，与反比例函数联立方程组即可．
本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查的有待定系数法求一次函数、反比例函数表达式，相似三角形的判定及性质．
 

25.【答案】证明：如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：，，，
，
，
，
，
 在中，，
，
为的直径，
，
平分，
，
，
≌，
，
，
的长为． 

【解析】连接，证明，即可得到结论；
根据锐角三角函数先求出半径和的长，然后证明≌，，进而根据线段的和差即可解决问题．
本题考查切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题．
 

26.【答案】解：抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
过点作轴交直线于点，如图，

设，则，
，
，，
，
轴，
∽，
，
，
，
当时，的值最大，最大值为，此时点的坐标为；
如图，设，
则，

，
，
沿直线翻折，的对应点为点，落在轴上，
而轴，
，，，，
，
，
，
，
当时，
解得：舍去，，
此时点；
当时，
解得：舍去，，
此时点；
综上，点的坐标为或 

【解析】运用待定系数法，将点，，代入，即可求得抛物线的解析式；
运用待定系数法可得直线的解析式为，过点作轴交直线于点，设，则，可得，由轴，得∽，进而得出，再运用二次函数的性质即可求得答案；
设点的坐标，则点的坐标可表示，长度可表示，利用翻折推出，列方程求解即可求得答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转换为线段长度，几何图形与二次函数结合的问题，相似三角形的判定和性质，翻折变换的性质等，最后一问推出为解题关键．