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2023高考数学二轮专题复习与测试专题强化练三平面向量
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这是一份2023高考数学二轮专题复习与测试专题强化练三平面向量,共10页。试卷主要包含了故选D.,已知点A,直线AP与圆C,已知点A是圆C等内容,欢迎下载使用。
专题强化练(三) 平面向量
1.(2022·深圳模拟)已知点A(0,1),B(2,3),向量=(-3,1),则向量=( )
A.(1,-2) B.(-1,2)
C.(1,-3) D.(-1,3)
解析:因为A(0,1),B(2,3),
所以=(2,2),
所以=+=(2,2)+(-3,1)=(-1,3).故选D.
答案:D
2.(2022·榆林二模)已知||=||=2,||=1,则|+3|=( )
A.2 B.4
C. D.
解析:由题意,可得||=||=|-|,
即2=(-)2=2-2·+2,
又||=2,||=1,
代入可得4=1-2·+4,解得·=,
所以|+3|==
==4,
故选B.
答案:B
3.(2022·顺德区三模)已知点A(-2,0),直线AP与圆C:x2+y2-6x=0相切于点P,则·的值为( )
A.-15 B.-9 C.9 D.15
解析:由x2+y2-6x=0,
则(x-3)2+y2=9,
又AC=5,CP=3,
则cos∠PCA=,
则·=||||cos(π-∠PCA)=5×3×(-)=-9,故选B.
答案:B
4.(2022·江门模拟)已知|a|=1,|b|=2,〈a,b〉=120°,则|2a-3b|=( )
A.2 B.2
C.2 D.4
解析:|2a-3b|==
=2,故选C.
答案:C
5.(2022·佛山模拟)已知向量a,b满足|a|=4,b=(1,2),且(a+2b)⊥(3a-b).则向量a与向量b的夹角是( )
A. B.
C. D.
解析:因为|a|=4,|b|=3,(a+2b)⊥(3a-b)
所以(a+2b)·(3a-b)=3a2-2b2+5a·b=48-18+5a·b=0,
所以a·b=-6,
所以cos〈a,b〉==-,
又〈a,b〉∈[0,π],
所以〈a,b〉=.
故选C.
答案:C
6.(多选题)(2022·惠州一模)如图,点O是正八边形ABCDEFGH的中心,且||=1,则( )
A.与能构成一组基底
B.·=0
C.+=
D.·=
解析:由点O是正八边形ABCDEFGH的中心,且||=1,
对于选项A,由题意可知∥,即与不能构成一组基底,即选项A错误;
对于选项B,由题意可知∠OAB+∠OCB+∠ABC=270°,则∠AOC=90°,即·=0,即选项B正确;
对于选项C,由向量加法的平行四边形法则及选项B可知+=,即选项C正确;
对于选项D,·=(+)·=·+·=1×1×cos 45°=,即选项D错误,故选BC.
答案:BC
7.(多选题)(2022·深圳模拟)四边形ABCD为边长为1的正方形,M为边CD的中点,则( )
A.=2 B.-=
C.+= D.·=1
解析:对于A选项,=2,故A选项错误;对于B选项,-=+=+=,故B选项正确;对于C选项,+=+=,故C选项错误;
对于D选项,·=(+)·,
因为DM⊥BC所以·=0,
所以·=·=1,
故D选项正确,
故选BD.
答案:BD
8.(多选题)(2022·广东三模)“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理,它包含三个结论,其中一个是相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.如图,已知圆O的半径为2,点P是圆O内的定点,且OP=,弦AC、BD均过点P,则下列说法正确的是( )
A.(+)·=0
B.·为定值
C.·的取值范围是[-2,0]
D.当AC⊥BD时,·为定值
解析:对于A,取BD的中点为M,连接OM,则OM⊥DB,所以(+)·=2·=0,选项A正确;对于B,设直线PO与圆O于E,F,则·=-||||=-||·||=-(|OE|-|PO|)(|OE|+|PO|)=|PO|2-|EO|2=-2,选项B正确;
对于C,取AC的中点为N,连接ON,则ON⊥AC,·=(+)·(+)=2-2=2-(4-2)=22-4,而0≤2≤||2=2,故·的取值范围是[-4,0],选项C错误;
对于D,当AC⊥BD时,·=(+)·(+)=·+·=-||||-||
||=-2|EP||PF|=-4,选项D正确.
故选ABD.
答案:ABD
9.(多选题)(2022·茂名一模)已知点A是圆C:(x+1)2+y2=1上的动点,O为坐标原点,⊥,且||=||,O,A,B三点顺时针排列,下列选项正确的是( )
A.点B的轨迹方程为(x-1)2+(y-1)2=2
B.|CB|的最大距离为1+
C.·的最大值为+1
D.·的最大值为2
解析:如图,过O点作OD∥AB,且OD=AB,
则点C(-1,0),设点A(x0,y0),设∠xOA=α,则∠xOD=α-,设|OA|=a,
所以x0=acos α,y0=asin α,
所以,xD=acos (α-)=asin α=y0,yD=asin (α-)=-acos α=-x0,即点D(y0,-x0),
因为=+=(x0+y0,y0-x0),
设点B(x,y),可得
解得
因为点A在圆(x+1)2+y2=1上,所以(x0+1)2+y=1,
将代入方程(x0+1)2+y=1可得(+1)2+()2=1,整理可得(x+l)2+(y-1)2=2,故选项A错误;所以CB的最大距离为1+,故选项B正确;设∠CAO=θ,0°≤θ≤90°,·=·(+)=2+·=1+||·||cos (90°-θ)=1+|OA|sin θ=1+2cos θsin θ=1+sin 2θ≤2,所以·的最大值为2,故选项C错误,选项D正确.
故选BD.
答案:BD
10.(多选题)(2022·潍坊一模)已知向量=(1,2),将绕原点O旋转-30°,30°,60°到,,的位置,则( )
A.·=0
B.||=||
C.·=·
D.点P1坐标为(,)
解析:由题意作图如下图,
因为⊥,所以·=0,
故选项A正确;
因为PP1与PP2所对的圆心角相等,
所以||=||,
故选项B正确;
因为·=||||cos 60°=,
·=|1||2|cos 60°=,
所以选项C正确;
若点P1坐标为(,)
则||=≠5,
故选项D错误;
故选ABC.
答案:ABC
11.(2022·佛山模拟)已知点A(1,0),B(3,0),若·=2,则点P到直线l:3x-y+4=0的距离的最小值为 __________.
解析:设P(x,y),
由点A(1,0),B(3,0),·=2,
则(x-1)(x-3)+y2=2,
即(x-2)2+y2=3,
则点(2,0)到直线3x-y+4=0的距离为
=,
由直线与圆的位置关系可得:点P到直线l的距离的最小值为-.
答案:-
12.(2022·揭阳模拟)已知a,b,c是三个不同的非零向量,若|a|=|c|且cos〈a,b〉=cos〈c,b〉,则称c是a关于b的对称向量.已知向量a=(2,3),b=(1,2),则a关于b的对称向量为 ______(填坐标形式).
解析:设c=(x,y),
因为|a|=|c|,所以x2+y2=13,①
因为cos〈a,b〉=cos〈c,b〉,
所以=,
因为|a|=|c|,所以a·b=c·b,
即2+6=x+2y,②
由①②解得或
所以a关于b的对称向量为(,).
答案:(,)
13.(2022·广州一模)已知菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,点P在BC边上(包括端点),则·的取值范围是 ________.
解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),
D(2,0),C(1,),D(-1,),
当点P在BC上时,设P(x,),x∈[-1,1],=(2,0),=(x,),
则·=2x∈[-2,2].
答案:[-2,2]
14.(2022·汕头一模)已知四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3CD=3,AD=BC=,点E是CD的中点,则·=______.
解析:如图,分别过点C,D作CG⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为G,F.
由题得四边形ABCD为等腰梯形,
AF=BG=1,所以DF==1,
所以∠DAF=45°.
由题得·=(+)·(-)=(+)·(-)=-·+2-×9=-××3×+=-2.
答案:-2
15.(2022·佛山模拟)已知圆O的方程为x2+y2=1,P是圆C:(x-2)2+y2=16上一点,过P作圆O的两条切线,切点分别为A、B,则·的取值范围为 ____________.
解析:圆O的方程为x2+y2=1,圆C:(x-2)2+y2=16的圆心C(2,0),半径r=4,
设PA与PB的夹角为2α,如图所示:
则|PA|=|PB|=,
所以f(α)=·=|PA|·|PB|·cos 2α=·cos 2α=·cos 2α.
记cos 2α=u,P在圆C的左顶点时,sin α=,
所以cos 2α=1-2 sin2α=,u取得最小值,
P在圆C的右顶点时,sin α=,
所以cos 2α=1-2 sin2α=,
所以μ∈[,],y==,
记t=1-u,则t∈[,],y=-3+t+,
且该函数在t∈[,]内单调递减,
所以t=时,ymax=-3++36=,t=时,
ymin=-3++4=,
所以·的取值范围是[,].
答案:
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