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    2023高考数学二轮专题复习与测试专题强化练三平面向量

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    2023高考数学二轮专题复习与测试专题强化练三平面向量

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    这是一份2023高考数学二轮专题复习与测试专题强化练三平面向量,共10页。试卷主要包含了故选D.,已知点A,直线AP与圆C,已知点A是圆C等内容,欢迎下载使用。
    专题强化练(三) 平面向量
    1.(2022·深圳模拟)已知点A(0,1),B(2,3),向量=(-3,1),则向量=(  )
    A.(1,-2)        B.(-1,2)
    C.(1,-3) D.(-1,3)
    解析:因为A(0,1),B(2,3),
    所以=(2,2),
    所以=+=(2,2)+(-3,1)=(-1,3).故选D.
    答案:D
    2.(2022·榆林二模)已知||=||=2,||=1,则|+3|=(  )
    A.2 B.4
    C. D.
    解析:由题意,可得||=||=|-|,
    即2=(-)2=2-2·+2,
    又||=2,||=1,
    代入可得4=1-2·+4,解得·=,
    所以|+3|==
    ==4,
    故选B.
    答案:B
    3.(2022·顺德区三模)已知点A(-2,0),直线AP与圆C:x2+y2-6x=0相切于点P,则·的值为(  )
    A.-15    B.-9    C.9    D.15
    解析:由x2+y2-6x=0,

    则(x-3)2+y2=9,
    又AC=5,CP=3,
    则cos∠PCA=,
    则·=||||cos(π-∠PCA)=5×3×(-)=-9,故选B.
    答案:B
    4.(2022·江门模拟)已知|a|=1,|b|=2,〈a,b〉=120°,则|2a-3b|=(  )
    A.2 B.2
    C.2 D.4
    解析:|2a-3b|==
    =2,故选C.
    答案:C
    5.(2022·佛山模拟)已知向量a,b满足|a|=4,b=(1,2),且(a+2b)⊥(3a-b).则向量a与向量b的夹角是(  )
    A. B.
    C. D.
    解析:因为|a|=4,|b|=3,(a+2b)⊥(3a-b)
    所以(a+2b)·(3a-b)=3a2-2b2+5a·b=48-18+5a·b=0,
    所以a·b=-6,
    所以cos〈a,b〉==-,
    又〈a,b〉∈[0,π],
    所以〈a,b〉=.
    故选C.
    答案:C
    6.(多选题)(2022·惠州一模)如图,点O是正八边形ABCDEFGH的中心,且||=1,则(  )

    A.与能构成一组基底
    B.·=0
    C.+=
    D.·=
    解析:由点O是正八边形ABCDEFGH的中心,且||=1,

    对于选项A,由题意可知∥,即与不能构成一组基底,即选项A错误;
    对于选项B,由题意可知∠OAB+∠OCB+∠ABC=270°,则∠AOC=90°,即·=0,即选项B正确;
    对于选项C,由向量加法的平行四边形法则及选项B可知+=,即选项C正确;
    对于选项D,·=(+)·=·+·=1×1×cos 45°=,即选项D错误,故选BC.
    答案:BC
    7.(多选题)(2022·深圳模拟)四边形ABCD为边长为1的正方形,M为边CD的中点,则(  )
    A.=2 B.-=
    C.+= D.·=1
    解析:对于A选项,=2,故A选项错误;对于B选项,-=+=+=,故B选项正确;对于C选项,+=+=,故C选项错误;
    对于D选项,·=(+)·,
    因为DM⊥BC所以·=0,
    所以·=·=1,
    故D选项正确,
    故选BD.
    答案:BD
    8.(多选题)(2022·广东三模)“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理,它包含三个结论,其中一个是相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.如图,已知圆O的半径为2,点P是圆O内的定点,且OP=,弦AC、BD均过点P,则下列说法正确的是(  )

    A.(+)·=0
    B.·为定值
    C.·的取值范围是[-2,0]
    D.当AC⊥BD时,·为定值
    解析:对于A,取BD的中点为M,连接OM,则OM⊥DB,所以(+)·=2·=0,选项A正确;对于B,设直线PO与圆O于E,F,则·=-||||=-||·||=-(|OE|-|PO|)(|OE|+|PO|)=|PO|2-|EO|2=-2,选项B正确;

    对于C,取AC的中点为N,连接ON,则ON⊥AC,·=(+)·(+)=2-2=2-(4-2)=22-4,而0≤2≤||2=2,故·的取值范围是[-4,0],选项C错误;
    对于D,当AC⊥BD时,·=(+)·(+)=·+·=-||||-||
    ||=-2|EP||PF|=-4,选项D正确.
    故选ABD.
    答案:ABD
    9.(多选题)(2022·茂名一模)已知点A是圆C:(x+1)2+y2=1上的动点,O为坐标原点,⊥,且||=||,O,A,B三点顺时针排列,下列选项正确的是(  )
    A.点B的轨迹方程为(x-1)2+(y-1)2=2
    B.|CB|的最大距离为1+
    C.·的最大值为+1
    D.·的最大值为2
    解析:如图,过O点作OD∥AB,且OD=AB,

    则点C(-1,0),设点A(x0,y0),设∠xOA=α,则∠xOD=α-,设|OA|=a,
    所以x0=acos α,y0=asin α,
    所以,xD=acos (α-)=asin α=y0,yD=asin (α-)=-acos α=-x0,即点D(y0,-x0),
    因为=+=(x0+y0,y0-x0),
    设点B(x,y),可得
    解得
    因为点A在圆(x+1)2+y2=1上,所以(x0+1)2+y=1,
    将代入方程(x0+1)2+y=1可得(+1)2+()2=1,整理可得(x+l)2+(y-1)2=2,故选项A错误;所以CB的最大距离为1+,故选项B正确;设∠CAO=θ,0°≤θ≤90°,·=·(+)=2+·=1+||·||cos (90°-θ)=1+|OA|sin θ=1+2cos θsin θ=1+sin 2θ≤2,所以·的最大值为2,故选项C错误,选项D正确.
    故选BD.
    答案:BD
    10.(多选题)(2022·潍坊一模)已知向量=(1,2),将绕原点O旋转-30°,30°,60°到,,的位置,则(  )
    A.·=0
    B.||=||
    C.·=·
    D.点P1坐标为(,)
    解析:由题意作图如下图,

    因为⊥,所以·=0,
    故选项A正确;
    因为PP1与PP2所对的圆心角相等,
    所以||=||,
    故选项B正确;
    因为·=||||cos 60°=,
    ·=|1||2|cos 60°=,
    所以选项C正确;
    若点P1坐标为(,)
    则||=≠5,
    故选项D错误;
    故选ABC.
    答案:ABC
    11.(2022·佛山模拟)已知点A(1,0),B(3,0),若·=2,则点P到直线l:3x-y+4=0的距离的最小值为 __________.
    解析:设P(x,y),
    由点A(1,0),B(3,0),·=2,
    则(x-1)(x-3)+y2=2,
    即(x-2)2+y2=3,
    则点(2,0)到直线3x-y+4=0的距离为
    =,
    由直线与圆的位置关系可得:点P到直线l的距离的最小值为-.
    答案:-
    12.(2022·揭阳模拟)已知a,b,c是三个不同的非零向量,若|a|=|c|且cos〈a,b〉=cos〈c,b〉,则称c是a关于b的对称向量.已知向量a=(2,3),b=(1,2),则a关于b的对称向量为 ______(填坐标形式).
    解析:设c=(x,y),
    因为|a|=|c|,所以x2+y2=13,①
    因为cos〈a,b〉=cos〈c,b〉,
    所以=,
    因为|a|=|c|,所以a·b=c·b,
    即2+6=x+2y,②
    由①②解得或
    所以a关于b的对称向量为(,).
    答案:(,)
    13.(2022·广州一模)已知菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,点P在BC边上(包括端点),则·的取值范围是 ________.
    解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),
    D(2,0),C(1,),D(-1,),

    当点P在BC上时,设P(x,),x∈[-1,1],=(2,0),=(x,),
    则·=2x∈[-2,2].
    答案:[-2,2]
    14.(2022·汕头一模)已知四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3CD=3,AD=BC=,点E是CD的中点,则·=______.
    解析:如图,分别过点C,D作CG⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为G,F.

    由题得四边形ABCD为等腰梯形,
    AF=BG=1,所以DF==1,
    所以∠DAF=45°.
    由题得·=(+)·(-)=(+)·(-)=-·+2-×9=-××3×+=-2.
    答案:-2
    15.(2022·佛山模拟)已知圆O的方程为x2+y2=1,P是圆C:(x-2)2+y2=16上一点,过P作圆O的两条切线,切点分别为A、B,则·的取值范围为 ____________.
    解析:圆O的方程为x2+y2=1,圆C:(x-2)2+y2=16的圆心C(2,0),半径r=4,
    设PA与PB的夹角为2α,如图所示:

    则|PA|=|PB|=,
    所以f(α)=·=|PA|·|PB|·cos 2α=·cos 2α=·cos 2α.
    记cos 2α=u,P在圆C的左顶点时,sin α=,
    所以cos 2α=1-2 sin2α=,u取得最小值,
    P在圆C的右顶点时,sin α=,
    所以cos 2α=1-2 sin2α=,
    所以μ∈[,],y==,
    记t=1-u,则t∈[,],y=-3+t+,
    且该函数在t∈[,]内单调递减,
    所以t=时,ymax=-3++36=,t=时,
    ymin=-3++4=,
    所以·的取值范围是[,].
    答案:

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