人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用优秀第2课时测试题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用优秀第2课时测试题，共7页。试卷主要包含了下列命题中等内容，欢迎下载使用。

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第2课时 空间向量与垂直关系
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.已知平面α的法向量n＝(1，2，－2)，平面β的法向量m＝(－2，3，k)，若α⊥β，则k的值为(　　)
A．2 B．4 C．1 D．
2.若a＝(2，－1,0)，b＝(3，－4,7)，且(λa＋b)⊥a，则λ的值是(　　)
A．0 B．1 C．－2 D．2
3.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD­A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是(　　)
A．平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)
B．平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)
C．平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)
D．平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)
4.（多选）在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中一定成立的是(　　)
A．⊥ B．⊥ C．⊥ D．⊥
5.已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则_____,___．
6.下列命题中：
①若u，v分别是平面α，β的法向量且α⊥β⇔u·v＝0；
②若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；
③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
正确命题的序号是________．
7.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.



8.在四面体A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点．判断平面BEF与平面ABC是否垂直．

能 力 练
综合应用 核心素养
9.在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则下列等式中可能不成立的是(　　)
A.⊥ B.⊥ C.⊥ D.⊥
10.已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是(　　)
A．－3或1 B．3或－1 C．－3 D．1
11.已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且＝2，设C，若CD⊥AB，则λ的值为(　　)
A． B．－ C． D．
12.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)
A．EF至多与A1D，AC之一垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
13.（多选）已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，点D满足条件：DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标可以为(　　)
A．(1，1，1) B．(－1，－1，－1) C． D．
14.(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1，2，－1)．对于下列结论正确的有(　　)
A．AP⊥AB B．AP⊥AD C．是平面ABCD的法向量 D．∥
15.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．
16.如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD.
(2)已知点G在平面PAD内，且GF⊥平面PCB，试确定点G的位置．



【参考答案】
1.A 解析：由题意，得m·n＝0，所以－2＋6－2k＝0，得k＝2.
2.C 解析　λa＋b＝λ(2，－1,0)＋(3，－4,7)＝(3＋2λ，－4－λ，7)．∵(λa＋b)⊥a，∴2(3＋2λ)＋4＋λ＝0，即λ＝－2.
3.AC解析 ∵＝(0,1,0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正确；∵＝(－1，0,0)，而(1,1,1)·＝－1≠0，∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，∴B不正确；C中易证AC1⊥面B1CD1且＝(1,1,1)，∴C正确，D中，因＝(1,0,0)，∴·(0,1,1)＝0，又＝(0,1,1)，且(0,1,1)·(0,1,1)≠0，∴D不正确．
4.ABC 解析 由题意知⊥平面ABCD，所以与平面上的线AB，CD都垂直，A，B正确；
又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故⊥，C选项正确．
只有D选项不一定成立．
5.-6 -10 解析：，∴，且，，，解得，.
故答案为：①；②.
6.①②③ 解析　两平面垂直则它们的法向量垂直，反之亦然．
7.证明　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2，四边形ABCD是矩形，
∴A，B，C，D，P的坐标分别为A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．又E，F分别是AD，PC的中点，
∴E(0，，0)，F(1，，1)．∴＝(2，2，－2)，＝(－1，，1)，＝(1，0，1)．
∴·＝－2＋4－2＝0，·＝2＋0－2＝0.∴⊥，⊥.
∴PC⊥BF，PC⊥EF.又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.
8.解：

建立如图所示坐标系Bxyz，取A(0,0，a)，则易得
B(0,0,0)，C，D(0，a,0)，E，F，
则有＝，
＝(0,0，a)、＝．
∵·＝0，·＝0，
∴EF⊥AB，EF⊥BC．
又∵AB∩BC＝B，∴EF⊥平面ABC．
又∵EF⊂平面BEF，∴平面ABC⊥平面BEF．
9. D 解析 由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面上的线AB、CD都垂直，A，B正确；
又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C正确．
10.A 解析　∵|a|＝＝6，∴x＝±4，又∵a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，
∴y＝－1－x，∴当x＝4时，y＝－3，当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝1或－3.
11.B 解析 设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，
∵＝2，∴∴∴D，＝，
∵⊥，∴·＝2＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－.]
12.B解析　建立以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则＝(1,0,1)，＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)，E，F，＝，∴·＝0，·＝0，∴EF⊥A1D，EF⊥AC.
13.AD 解析 设D(x，y，z)，则＝(x，y－1，z)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y，z)，＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)，＝(0，－1，1).又DB⊥AC⇔－x＋z＝0　①，DC⊥AB⇔－x＋y＝0　②，
AD＝BC⇔(x－1)2＋y2＋z2＝2　③，联立①②③得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－，
所以点D的坐标为(1，1，1)或.
14.ABC解析　由于·＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以A、B、C正确，又＝－＝(2,3,4)．∵＝(－1,2，－1)，不满足＝λ，∴D不正确，故选ABC.
15.平行 解析　＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋＋(＋)＝＋
＝＋.∴与，共面．又∵MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.
16.解：(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图)，
设AD＝a，则D(0，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F，∴＝，＝(0，a，0)，
∴·＝·(0，a，0)＝0，
∴EF⊥CD.
(2)∵G∈平面PAD，设G(x，0，z)，
∴＝.
由(1)，知＝(a，0，0)，＝(0，－a，a)．
∵GF⊥平面PCB，
∴·＝·(a，0，0)＝a＝0，
·＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，
∴x＝，z＝0.
∴点G的坐标为，即点G为AD的中点．